Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

13. Смешанное произведение векторов

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
335.63 Кб
Скачать
☆

§ 13. Смешанное произведение векторов

Б.М.Верников

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук,

кафедра алгебры и дискретной математики

§ 13. Смешанное произведение векторов

Определениесмешанногопроизведения

Определение

 

 

~

 

 

Смешанным произведением векторов ~a, b и ~c называется число, равное

 

 

 

 

~

 

скалярному произведению векторного произведения векторов ~a и b на

 

вектор ~c. Смешанное произведение векторов

~

~

~a, b,~c обозначается через ~ab~c

~

~

~

 

 

или (~a, b,~c). Таким образом, ~ab~c = (~a × b)~c.

 

 

Как и в случае со скалярным произведением, результатом смешанного произведения является число. Поэтому смешанное произведение не является алгебраической операцией на множестве всех векторов в смысле определения, данного в § 4.

§ 13. Смешанное произведение векторов

Критерийкомпланарностивекторов

Первым утверждением, показывающим полезность понятия смешанного произведения, является следующий факт.

Критерий компланарности векторов

~

Векторы ~a, b и ~c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное

произведение равно нулю.

 

 

 

 

 

~

Доказательство. Необходимость. Предположим, что векторы ~a, b и ~c

~

~

~

 

~

~

компланарны. Если ~a k b, то ~a × b = 0, и потому ~ab~c = (~a × b,~c) = 0.

~

 

 

~

 

 

Пусть теперь ~a b. Отложим векторы

~a, b и ~c от одной точки. Тогда они

 

 

 

~

 

 

будут лежать в некоторой плоскости. Вектор ~a × b ортогонален этой

 

 

 

 

~

~

плоскости, а значит, и вектору ~c. Следовательно, ~ab~c

= (~a × b,~c) = 0.

~

 

 

 

 

~

Достаточность. Если ~a k b, то компланарность векторов ~a, b и ~c очевидна.

~

 

 

 

~

отложены от одной

Пусть теперь ~a b. Будем считать, что векторы ~a, b,~c

~

 

 

 

 

~

и той же точки. Пусть ~ab~c = 0. Это означает, что

(~a × b,~c) = 0.

 

~

 

 

 

~

Следовательно, вектор ~a × b ортогонален вектору

~c. Но вектор ~a × b

ортогонален плоскости , образованной векторами и ~. Поскольку

σ ~a b ~c

ортогонален этому вектору, то он лежит в σ. А это означает, что векторы

~

компланарны.

~a, b и ~c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 13. Смешанное произведение векторов

Геометрическийсмыслсмешанногопроизведения(1)

Следующее утверждение указывает еще одно важное для приложений свойство смешанного произведения.

Геометрический смысл смешанного произведения

Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен модулю их смешанного произведения.

 

 

 

 

~

 

Доказательство. Предположим сначала, что тройка (~a, b,~c) правая.

 

Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. 1 на следующем слайде.

 

~

 

 

 

 

 

Отложим векторы ~a, b и ~c от некоторой точки O. Пусть точка C такова,

 

−→

 

~

 

что OC = ~c, а D проекция точки C

на плоскость векторов ~a и b,

 

которую мы обозначим через π. Угол между вектором ~c и плоскостью π

 

 

 

 

 

~

 

обозначим через α, а угол между векторами ~a × b и ~c через β. .

 

Учитывая, что α + β =

π

, и потому sin α = cos β, и используя

 

2

 

геометрический смысл векторного произведения (см. § 12), имеем

 

~

 

~

 

V = Sосн · h = |~a × b| · |CD| = |~a × b| · |~c| · sin α =

 

~

 

 

~

~

 

= |~a × b| · |~c| · cos β = (~a × b,~c) = ~ab~c.

 

~

 

~

 

Предположим теперь, что тройка (~a, b,~c) левая. Тогда тройка (b,~a,~c)

правая. Но эти две тройки определяют один и тот же параллелепипед. В

силу доказанного выше объем этого параллелепипеда равен ~ . b~a~c

§ 13. Смешанное произведение векторов

Геометрическийсмыслсмешанногопроизведения(2)

Пользуясь свойствами векторного произведения, получаем, что

~ = [ ~] = −[~ ] = − [~ ] = −~ = −

~ab~c ~a, b ~c b,~a ~c b,~a ~c b~a~c V ,

и потому | ~ | = | − | = .

~ab~c V V

C s

~c

× ~ ~a b

β ~

b

α

π

ssD

O

~a

Рис. 1. Вычисление объема параллелипипеда

§ 13. Смешанное произведение векторов

Ориентациятройкивекторовизнаксмешанногопроизведения

Из доказательства геометрического смысла смешанного произведения вытекает следующий факт, который объясняет, почему правая тройка векторов называется положительно ориентированной, а левая отрицательно ориентированной.

Замечание об ориентации тройки векторов

( ~ )

Тройка векторов ~a, b,~c является правой тогда и только тогда, когда их смешанное произведение больше нуля, и левой тогда и только тогда, когда оно меньше нуля.

§ 13. Смешанное произведение векторов

Свойствасмешанногопроизведения

Перечислим теперь алгебраические свойства смешанного произведения векторов.

Свойства смешанного произведения

 

~

~

 

 

 

 

 

Если ~a, b,~c и d произвольные векторы, а t произвольное число, то:

1)

~

~

 

~

~

~

~

(~a, b,~c) = (b,~c,~a) = (~c,~a, b) = −(~a,~c, b) = −(~c, b,~a) = −(b,~a,~c);

2)

~

 

~

~

~

 

 

(t~a, b,~c) = (~a, tb,~c) = (~a, b, t~c) = t · (~a, b,~c);

 

 

3)

~

~

~

~

~

 

 

(~a + b,~c

, d) = (~a,~c, d ) + (b,~c, d) (смешанное произведение

 

дистрибутивно относительно сложения векторов по первому

 

аргументу);

 

 

 

 

 

4)

~

~

~ ~

 

~

 

 

(~a, b + ~c

, d) = (~a, b, d) + (~a,~c, d) (смешанное произведение

 

дистрибутивно относительно сложения векторов по второму

 

аргументу);

 

 

 

 

 

5)

~

~

~

 

~ ~

 

 

(~a, b,~c + d) = (~a, b,~c) + (~a, b, d) (смешанное произведение

дистрибутивно относительно сложения векторов по третьему аргументу).

§ 13. Смешанное произведение векторов

Доказательствосвойств1)и2)смешанногопроизведения

 

~

~

Доказательство свойства 1). Упорядоченные тройки (~a, b,~c) и (b,~c,~a)

имеют одну и ту же ориентацию и определяют один и тот же

 

параллелепипед. В силу геометрического смысла смешанного

 

~

~

 

произведения, смешанные произведения ~ab~c

и b~c~a либо оба равны объему

этого параллелепипеда, взятому со знаком плюс, либо оба равны объему

 

 

~

~

этого параллелепипеда, взятому со знаком минус, и потому ~ab~c = b~c~a.

~

~

проверено в процессе доказательства

 

Равенство ~ab~c = −b~a~c

 

геометрического смысла смешанного произведения. Остальные равенства из свойства 1) доказываются аналогично одному из этих двух.

Доказательство свойства 2). Используя свойство 1) смешанного произведения и свойство 3) скалярного произведения (см. § 11), имеем

~

~

~

~

~

~

(t~a, b,~c) = (b,~c, t~a) = (b × ~c, t~a) = t · (b × ~c,~a) = t · (b,~c,~a) = t · (~a, b,~c).

 

 

 

~

~

 

Аналогично доказывается равенство (~a, tb,~c) = t · (~a, b,~c). Наконец,

 

~

 

~

~

~

 

(~a, b, t~c) = (~a × b, t~c) = t · (~a

× b,~c) = t · (~a, b,~c).

Свойство 2) доказано.

§ 13. Смешанное произведение векторов

Доказательствосвойств3)–5)смешанногопроизведения

Свойства 3)–5) доказываются аналогично друг другу, мы докажем только первое из них. Используя свойство 1) смешанного произведения и свойство 2) скалярного произведения (см. § 11), имеем

~ ~

~

~

~ ~

 

(~a + b,~c, d) = (~c, d ,~a + b) = (~c × d,~a + b) =

 

~

~ ~

~

~ ~

~ ~ ~

= (~c × d,~a) + (~c × d , b) = (~c, d ,~a) + (~c, d , b) = (~a,~c, d) + (b,~c, d).

Свойство 3) доказано.

§ 13. Смешанное произведение векторов

Доказательствосвойств2)и3)векторногопроизведения

Два свойства, указанных в заголовке слайда, были сформулированы в

§ 12, но не были там доказаны. Напомним, в чем они состоят. Пусть ~ и ~a, b

~c произвольные векторы, а t произвольное число. Свойство 2) утверждает, что

~

~

~

[t~a, b] = [~a, tb] = t[~a, b],

а свойство 3) что

 

 

~

 

~

[~a + b,~c] = [~a,~c] + [b,~c].

В силу ослабленного закона сокращения для скалярного произведения (см. § 11), для их доказательства достаточно установить, что для любого

 

 

~

~

 

вектора ~x выполняются равенства ([t~a, b], ~x) = (t · [~a, b], ~x) и

 

~

~

 

 

 

([~a + b,~c], ~x) = ([~a,~c] + [b,~c], ~x). Имеем

 

 

~

~

~

~

~

([t~a, b], ~x) = (t~a, b, ~x) = t(~a, b, ~x) = t · ([~a, b], ~x) = (t · [~a, b], ~x);

~

 

~

~

 

([~a + b,~c], ~x) = (~a

+ b,~c, ~x) = (~a,~c, ~x) + (b,~c, ~x) =

 

 

~

~

 

 

=([~a,~c], ~x) + ([b,~c],

~x) = ([~a,~c] + [b,~c], ~x).

 

 

Оба свойства доказаны.

§ 13. Смешанное произведение векторов

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности