12 Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы

Б.М.Верников

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики

Вступительные замечания

В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы ее ранг. Сначала будут введены три ранга матрицы: по строкам, по столбцам и по минорам. Затем будет доказано, что все три ранга совпадают. Из доказательства этого фундаментального результата, известного как теорема о ранге матрицы, будет вытекать алгоритм нахождения ранга. Кроме того, как мы увидим, теорема о ранге позволит обосновать некоторые из сформулированных ранее алгоритмов и доказать упоминавшееся в лекции 8 утверждение о невырожденности матрицы перехода от одного базиса к другому. После этого мы докажем теорему о ранге произведения матриц. Понятие ранга матрицы часто возникает и играет важную роль в линейной алгебре и ее приложениях. В частности, оно оказывается очень полезным при исследовании систем линейных уравнений. Одним из проявлений этого является критерий совместности системы линейных уравнений, который формулируется на языке рангов основной и расширенной матриц системы. Этот результат будет доказан в конце лекции. Еще одному применению понятия ранга матрицы при анализе систем линейных уравнений будет посвящена следующая лекция.

Векторы-строки и векторы-столбцы матрицы

Определение

Рассмотрим произвольную матрицу

Векторы, компонентами которых являются элементы строк матрицы A, т. е. векторы

a1 = (a11; a12; : : : ; a1n); a2 = (a21; a22; : : : ; a2n); : : : ; am = (am1; am2; : : : ; amn);

называются векторами-строками матрицы A. Аналогично, векторы, компонентами которых являются элементы столбцов матрицы A, т. е. векторы

a1 = (a11; a21; : : : ; am1); a2 = (a12; a22; : : : ; am2); : : : ; an = (a1n; a2n; : : : ; amn);

называются векторами-столбцами матрицы A.

Векторы a1; a2; : : : ; am принадлежат пространству Rn, а векторы a1; a2; : : : ; an пространству Rm.

Ранги матрицы по строкам, по столбцам и по минорам

В следующем определении используется понятие минора матрицы, которое было введено в лекции 5.

Определение

Рангом матрицы A по строкам называется размерность подпространства, порожденного векторами-строками этой матрицы, а рангом матрицы A по столбцам размерность подпространства, порожденного векторами-столбцами этой матрицы. Ранг матрицы A по строкам обозначается через rs (A), а ранг A по столбцам через rc (A).

Рангом матрицы по минорам называется наибольший из порядков тех миноров этой матрицы, которые не равны нулю. Ранг матрицы A по минорам обозначается через rm(A).

Теорема о ранге матрицы

Большая часть данной лекции будет посвящена доказательству следующего фундаментального результата.

Теорема 1 (теорема о ранге матрицы)

Пусть A произвольная матрица. Ранг матрицы A по строкам равен ее рангу по столбцам и равен ее рангу по минорам.

Прежде чем переходить к непосредственному доказательству этого утверждения, мы докажем ряд лемм.

Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по строкам (1)

Лемма 1

Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга по строкам.

Доказательство. Пусть A произвольная матрица, а B матрица, полученная из A с помощью некоторого элементарного преобразования. Обозначим векторы-строки матрицы A через a1; a2; : : : ; am, а векторы-строки матрицы B через b1; b2; : : : ; bm. Положим

VA = ha1; a2; : : : ; ami и VB = hb1; b2; : : : ; bmi. Требуется доказать, что dim VA = dim VB . Рассмотрим пять случаев, соответствующих пяти элементарным преобразованиям матриц. Как мы увидим, в большинстве случаев совпадают сами пространства VA и VB , что, естественно, влечет равенство их размерностей.

Случай 1: B получена из A умножением i-й строки матрицы A на ненулевое число t. В этом случае bj = aj для всех j = 1; 2; : : : ; m, j 6= i и bi = tai . Ясно, что каждый из векторов b1; b2; : : : ; bm лежит в VA, и потому VB VA. С другой стороны, каждый из векторов a1; a2; : : : ; am лежит в VB (для всех векторов, кроме ai , это очевидно, а для ai вытекает из того, что ai = 1t bi ). Следовательно, VA VB , и потому VA = VB .

Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по строкам (2)

Случай 2: B получена из A прибавлением j-й строки матрицы A к ее i-й строке. В этом случае bk = ak для всех k = 1; 2; : : : ; m, k 6= i и bi = ai + aj . Как и в предыдущем случае, ясно, что каждый из векторов b1; b2; : : : ; bm лежит в VA, и потому VB VA. Остается справедливым и обратное утверждение: каждый из векторов a1; a2; : : : ; am лежит в VB (для всех векторов, кроме ai , это очевидно, а для ai вытекает из того, что

ai = bi bj ). Следовательно, VA VB , и потому VA = VB .

Случай 3: B получена из A перестановкой i-й и j-й строк матрицы A. В этом случае равенство VA = VB очевидно.

Случай 4: B получена из A перестановкой i-го и j-го столбцов матрицы A. В этом случае для всякого k = 1; 2; : : : ; m вектор bk отличается от ak только порядком следования компонент (i-тая компонента вектора bk равна j-й компоненте вектора ak и наоборот). Ясно, что для любых чисел t1; t2; : : : ; tm равенство t1a1 + t2a2 + + tmam = 0 выполнено тогда и только тогда, когда t1b1 + t2b2 + + tmbm = 0. Следовательно, максимальное число линейно независимых векторов в пространствах VA и VB совпадает, т. е. dim VA = dim VB .

Случай 5: B получена из A добавлением или вычеркиванием нулевой строки. Как и в случае 3, здесь равенство VA = VB очевидно.

Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по минорам (1)

Лемма 2

Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга по минорам.

Доказательство. Вновь предположим, что A произвольная матрица, а Bматрица, полученная из A с помощью некоторого элементарного преобразования. Пусть M произвольный минор матрицы A. Матрицу, определителем которой является минор M, будем обозначать через AM . Если матрица AM расположена в строках с номерами i1; i2; : : : ; ik и столбцах с номерами j1; j2; : : : ; jk матрицы A, то определитель матрицы, расположенной в строках и столбцах матрицы B с теми же номерами, обозначим через M0. Ясно, что M0 минор матрицы B, и порядки миноров M и M0 совпадают. Рассмотрим те же пять случаев, что и в доказательстве леммы 1.

Случай 1: B получена из A умножением i-й строки матрицы A на ненулевое число t. Пусть M произвольный минор матрицы A. Если матрица AM не содержит элементов i-й строки матрицы A, то M0 = M. В противном случае предложение 1 из лекции 5 влечет, что M0 = tM. Учитывая, что t 6= 0, получаем, что M = 0 тогда и только тогда, когда M0 = 0. Следовательно, максимальные порядки ненулевых миноров в матрицах A и B совпадают, т. е. rm(A) = rm(B).

Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по минорам (2)

Случай 2: B получена из A прибавлением j-й строки матрицы A к ее i-й строке. Пусть M ненулевой минор k-го порядка матрицы A. Покажем, что в матрице B тоже есть ненулевой минор k-го порядка. Если матрица AM не содержит элементов i-й и j-й строк матрицы A, то M0 = M 6= 0.

Если AM содержит элементы как i-й, так и j-й строки матрицы A, то в силу предложения 6 из лекции 5 вновь получаем, что M0 = M 6= 0. Предположим, наконец, что AM содержит элементы i-й строки матрицы A, но не содержит элементов ее j-й строки. Если M0 6= 0, то нужный нам факт установлен. Пусть теперь M0 = 0. Будем для простоты предполагать, что матрица AM расположена в первых k строках и первых k столбцах матрицы A, i = 1 и j = k + 1 (в общем случае доказательство вполне аналогично).

Элементарные преобразования матрицы и ее ранг по минорам (3)

Используя предложение 5 из лекции 5, мы получаем, что

ak+1 1 ak+1 2 : : : ak+1 k

Обозначим последний из определителей, возникших в этой цепочке равенств, через D. Поскольку M + D = M0 = 0, имеем

ak+1 1 ak+1 2 : : : ak+1 k