Vektory2lekts
.pdfВекторная алгебра.
Лекция 6
1.1. Скалярное произведение векторов.
Определение:
! ! ! |
j!j |
! |
|
! |
|||
|
|
|
|
|
\ |
||
a b = |
|
a |
|
b cos ' |
, ãäå ' = a |
|
b . |
|
|
|
|
|
|
||
1.1. Скалярное произведение векторов.
Определение:
Следствия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
! |
|
! |
! j!j |
cos ' |
|
|
|
||||||||
|
a |
|
b = |
|
a |
|
b |
, ãäå |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
! |
|
! |
||||
|
|
|
|
|
|
! |
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
a |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
!\!
' = a b .
1.1. Скалярное произведение векторов.
Определение:
Следствия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
! |
|
! |
! j!j |
cos ' |
|
|
||||||||||||
|
a |
|
b = |
|
a |
|
b |
, ãäå |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
! ! |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
= |
|
|
a |
|
|
! |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
b |
||
|
|
|
|
|
cos ' = |
|
|
|
|
: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! j!j |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
!\!
' = a b .
1.1. Скалярное произведение векторов.
Определение:
Следствия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
! |
|
! |
! j!j |
cos ' |
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
b = |
|
a |
|
b |
, ãäå |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
! ! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
= |
|
|
a |
|
|
! |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|||||||
|
|
|
|
|
cos |
' |
= |
|
|
! |
: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! j!j |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
!\!
' = a b .
Выражение скалярного произведения и его следствий через координаты векторов (прямоугольная система координат (СК)):
1.1. Скалярное произведение векторов.
Определение:
Следствия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
! |
|
! |
! j!j |
cos ' |
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
b = |
|
a |
|
b |
, ãäå |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
! ! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
= |
|
|
a |
|
|
! |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|||||||
|
|
|
|
|
cos |
' |
= |
|
|
! |
: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! j!j |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
!\!
' = a b .
Выражение скалярного произведения и его следствий через координаты векторов (прямоугольная система координат (СК)):
a |
|
! |
y y |
z |
z ) |
! |
x x |
||||
|
|
b = a b |
+ a b |
+ a b |
|
1.1. Скалярное произведение векторов.
Определение:
Следствия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
! |
|
! |
! j!j |
cos ' |
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
b = |
|
a |
|
b |
, ãäå |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
! ! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
= |
|
|
a |
|
|
! |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|||||||
|
|
|
|
|
cos |
' |
= |
|
|
! |
: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! j!j |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
!\!
' = a b .
Выражение скалярного произведения и его следствий через координаты векторов (прямоугольная система координат (СК)):
! ! |
x x y y z z ) |
|
! |
|
q |
|
|
|
x |
y z |
|||||||
a b = a b + a b + a b |
|
a |
|
= a2 |
+ a2 + a2; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
1.1. Скалярное произведение векторов.
Определение:
Следствия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
! |
|
! |
! j!j |
cos ' |
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
b = |
|
a |
|
b |
, ãäå |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
! ! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
= |
|
|
a |
|
|
! |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|||||||
|
|
|
|
|
cos |
' |
= |
|
|
! |
: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! j!j |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
!\!
' = a b .
Выражение скалярного произведения и его следствий через координаты векторов (прямоугольная система координат (СК)):
! ! |
x x |
y y |
|
z z ) |
! |
q |
|
|
|
|
||||
a b |
x |
|
y z |
|||||||||||
|
|
|
|
+ a b |
|
+ a b |
|
|
|
|||||
a b = a b + a b + a b |
|
a |
= a2 + a2 + a2; |
|||||||||||
|
cos ' = |
|
|
x |
x y y |
|
|
z z |
|
: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
qax2 + ay2 + az2 qbx2 + by2 + bz2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
1.1. Скалярное произведение векторов.
Условие перпендикулярности векторов:
a |
? |
! |
, |
! |
|
! |
! |
b |
b = |
||||
|
|
|
a |
|
1.1. Скалярное произведение векторов.
Условие перпендикулярности векторов:
a |
? |
! |
, |
! |
|
! |
, |
! |
b |
b = 0 |
|||||
|
|
|
a |
|
|