electrodynamics
.pdf
§4. Уравнения электростатики |
81 |
4.12. Бесконечная пластина из изотропного диэлектрика помещена в перпендикулярное электрическое поле напряженностью E (см. рис.4.10).
Толщина пластины a , диэлектрическая проницаемость изменяется линейно от значения ε1 на левой границе до ε 2 на правой границе. Вне пластины ε = 1 .
Найдите объемную плотность ρ связанных зарядов как функцию x .
Определите численное значение ρ в
середине пластины, если ε1 = 2 , ε 2 = 4 ,
Рис.4.10
a = 1см , E0 = 3кВ / м .
4.13. Внутри |
шара радиусом |
R=10 см |
из |
однородного изотропного |
диэлектрика с |
ε = 5 создано |
однородное |
электрическое поле с |
|
напряженностью E = 100В/ м . Найдите |
максимальную поверхностную |
|||
плотность σ max |
связанных зарядов и суммарный положительный связанный |
|||
заряд, распределенный по поверхности полусферы. |
||||
4.14. Палочка из сегнетоэлектрика, обладающая остаточной поляризацией
P , направленной вдоль оси палочки, подвешена за середину в горизонтальном положении на тонкой неупругой нити. Определите частоту
ω малых колебаний, которые палочка будет совершать в однородном горизонтально направленном поле с напряженностью E , настолько слабом,
что оно не оказывает существенного влияния на поляризацию палочки.
Длина палочки l , а ее плотность ρ.
4.15. Определите силу, действующую на единицу длины заряженной с линейной плотностью κ нити со стороны поверхностных зарядов,
индуцированных ею на границе раздела двух диэлектриков с
81
82 |
|
|
|
§4. Уравнения электростатики |
|
проницаемостью ε1 |
и ε2 . Нить параллельна границе раздела и находится от |
||||
нее на расстоянии |
d . |
Диэлектрическая проницаемость среды, |
в которой |
||
находится нить, ε1 . |
|
|
|
|
|
4.16. Диэлектрик |
с |
диэлектрической |
проницаемостью ε |
заполняет |
|
полупространство. |
На расстоянии |
L от плоской границы диэлектрика в |
|||
вакууме находится точечный заряд |
q . |
Найдите распределение связанного |
|||
заряда σ по поверхности диэлектрика, |
суммарный поверхностный заряд Q |
||||
и силу F , действующую на заряд q . |
|
|
|||
4.17. В области, ограниченной заземленной металлической оболочкой,
находится заряд. Определить а)есть ли электрическое поле вне оболочки; б)
будет ли действовать электрическая сила на другой заряд, помещенный вблизи наружной поверхности оболочки.
4.18. Найдите распределение зарядов, создающих в вакууме следующее распределение потенциала:
a
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ≥ R |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
, |
если |
||||
ϕ (r ) = |
− ar 2 |
|
|
|
. |
|||||
|
+ |
3a |
|
|
r < R |
|||||
|
2R |
3 |
|
|
2R |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь r – расстояние от начала координат.
4.19. Найдите распределение зарядов, создающих в вакууме следующее распределение потенциала:
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
1 |
|
r 2 |
|
|
3 |
|
, |
если |
r ≥ R |
ϕ r |
= |
a |
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
r < R |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
r |
|
2R |
|
|
2R |
|
|
|
||
Здесь r – расстояние от начала координат.
§4. Уравнения электростатики |
83 |
4.20. Найдите распределение зарядов, создающих в вакууме следующее распределение потенциала:
ϕ (r ) = |
0 |
|
r ≥ R |
a(R 3 − r 3 ), |
если |
r < R . |
Здесь r – расстояние от начала координат.
4.21. Найдите распределение зарядов, создающих в вакууме следующее распределение потенциала:
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
1 r 2 |
|
, |
если |
r ≥ R |
|||
ϕ r |
= |
a |
|
|
− |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
r < R |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
r |
|
R |
|
|
|
|
|
|
Здесь r – расстояние от начала координат.
4.22. Найдите распределение зарядов, создающих в вакууме следующее распределение потенциала:
ϕ (r ) = b exp(− ar ).
r
Здесь r – расстояние от начала координат. |
|
|
|
||
4.23. Найдите напряженность электрического поля в |
|
||||
пространстве между двумя проводящими сферами с |
|
||||
радиусами R1 |
и R2 ( R1 < R2 ), |
заполненном двумя |
|
||
однородными |
диэлектриками с |
диэлектрическими |
|
||
проницаемостями ε1 и ε 2 (рис.4.11). Диэлектрики |
|
||||
граничат между собой вдоль поверхности конуса с |
|
||||
вершиной в центре О. Телесный угол |
конуса |
, |
Рис.4.11 |
||
|
|
|
|
|
|
заполненного первым диэлектриком, равен Ω1 , |
а |
|
|||
заполненным |
вторым диэлектриком - |
Ω 2 ( Ω1 + Ω 2 = 4π ). Заряд на |
|||
внутренней сфере равен Q , а на внешней −Q . |
|
|
|||
83
84 |
§5. Электроемкость. Энергия электрического поля |
§5. Электроемкость. Энергия электрического поля
Краткие теоретические сведения
Электроемкость. Потенциал проводника, удаленного от других
проводников на расстояние, значительно большее его собственных размеров
(такой проводник называют уединенным), пропорционален его заряду Q и
может быть представлен как
ϕ = |
Q |
. |
(5.1) |
|
C
Коэффициент пропорциональности С называют емкостью уединенного проводника. Она зависит от формы проводника, его размера и свойств окружающей среды. Например, емкость шара радиуса R,
погруженного в однородный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, равна
C = 4πεε 0 R . |
(5.2) |
Конденсатором называют пару проводников, расстояние между которыми много меньше расстояния до остальных тел. При этом проводники называют обкладками конденсатора. Если на одну обкладку поместить заряд +Q, а на другую обкладку заряд -Q, то между ними будет существовать разность потенциалов, или напряжение, U, пропорциональное заряду каждой из обкладок:
U = |
Q |
. |
(5.3) |
|
|||
|
C |
|
|
Коэффициент С в этой формуле называют емкостью конденсатора.
Емкость конденсатора не зависит ни от U, ни от Q, а определяется формой и расположением проводников, составляющих конденсатор, и свойствами среды между ними. В случаях, когда влиянием окружающих тел нельзя пренебречь, систему проводников нельзя рассматривать как конденсатор,
§5. Электроемкость. Энергия электрического поля |
85 |
однако ее можно свести к системе конденсаторов, соединенных определенным образом.
Плоским называют конденсатор, состоящий из двух параллельных одинаковых проводящих пластин площадью S , разделенных диэлектриком.
Расстояние между пластинами d считается много меньше линейного размера
пластины. Емкость плоского конденсатора равна |
|
|||
C = |
εε |
0 S |
|
|
|
|
, |
(5.4) |
|
|
|
|||
d
где ε - диэлектрическая проницаемость среды, находящейся между обкладками.
Последовательное и параллельное
соединение |
конденсаторов |
показано на |
рис.5.1. |
Емкость |
параллельно |
соединенных конденсаторов равна |
||
C = C1 + C2 + ... + Cn |
. |
|
|
(5.5) |
|
Эквивалентная емкость последовательно
соединенных конденсаторов находится по правилу:
1 |
= |
1 |
+ |
1 |
+ ... + |
1 |
. |
|
|
|
|
||||
C |
C1 |
C2 |
Cn |
||||
(5.6)
Рис.5.1
Энергия электрического поля. Для того, чтобы зарядить конденсатор, его обкладки присоединяют к источнику напряжения. Каждый такой источник характеризуется электродвижущей силой или сокращенно ЭДС, равной работе источника по перемещению единичного заряда с одной обкладки конденсатора на другую.
Соответственно, в процессе зарядки конденсатора источник совершает работу
A = ε Q , |
(5.7) |
86 §5. Электроемкость. Энергия электрического поля
где ε - ЭДС источника, а Q - изменение зарядов обкладок. При этом
разность потенциалов между обкладками становится равной ЭДС источника, то есть U = ε . В процессе зарядки конденсатора заряды
перемещаются в направлении, противоположном полю, силы которого совершают отрицательную работу (энергия поля увеличивается).
Если отключить конденсатор от источника напряжения и соединить обкладки проводником, то конденсатор будет разряжаться, направление перемещения зарядов между обкладками изменится на противоположное и работа электростатических сил станет положительной. По определению,
энергия W заряженного конденсатора равна работе, которую совершают
электростатические силы при полном переносе заряда с одной обкладки на другую в процессе разрядки конденсатора, и равна
W = |
UQ |
= |
Q |
2 |
= |
CU |
2 |
. |
(5.8) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
2C |
2 |
|
|
|
||
Энергия конденсатора заключена в его электрическом поле.
Энергия произвольной системы заряженных тел также может быть интерпретирована как энергия создаваемого ими электрического поля.
Объемная плотность энергии электрического поля |
w = |
dW |
при этом равна |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
w = |
1 |
E D , |
|
(5.9) |
||||
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
или в силу (4.3) |
|
|
|
|
||||
|
|
w = |
1 |
εε |
0 E 2 . |
(5.10) |
||
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Энергия системы заряженных проводников может быть найдена путем интегрирования выражения (5.9) по всему объему, занимаемому полем. В результате для энергии системы N заряженных проводящих тел получим
N
W = 1 ∑Qiϕ i , (5.11) 2 i=1
§5. Электроемкость. Энергия электрического поля |
87 |
где Qi -- заряд i − го проводника и ϕ i − его потенциал.
Выражение (5.11) обобщает формулу (5.8) на случай произвольного
числа тел.
Пример 5.1. Плоский конденсатор имеет емкость C0 = 600пФ . Насколько она изменится, если ввести между обкладками параллельно им медный лист,
толщина которого равна α = 1 / 4 расстояния между обкладками? Будет ли
|
|
|
|
|
|
|
влиять на результат положение листа? |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. На проводнике появляются |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
наведенные заряды |
+Q |
и |
|
−Q (см. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
рис.5.2) такие, что поле внутри |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
проводника обращается в ноль. При этом |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
напряженность |
поля |
между |
обкладками |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
конденсатора, но вне медного листа, не |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
изменяется |
и |
остается |
|
равной |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
E = |
σ |
= |
Q |
. |
Разность |
потенциалов |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ε 0 |
ε 0 S |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
между |
обкладками |
конденсатора |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
уменьшится: |
U = E(d − αd ) = |
(1 − α )Qd |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε 0 S |
|
|
Рис.5.2 |
|
|
|
Откуда |
согласно |
(5.3) |
|
емкость |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
конденсатора увеличивается: |
|
|
|
|||||||
C = |
Q |
= |
ε 0 S |
= |
|
C0 |
= 800 пФ . |
|
|
|
|
|
(5.12) |
|
|||
U |
(1 − α )d |
1 − α |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Величина емкости не зависит от положения пластинки внутри конденсатора.
88 |
|
§5. Электроемкость. Энергия электрического поля |
|||||
Полученный |
результат |
можно |
|
|
|
||
использовать |
при |
расчете |
емкости |
|
|
|
|
конденсатора, |
частично |
заполненного |
|
|
|
||
диэлектриком, как показано на рис.5.3а. |
|
|
|
||||
Введем в конденсатор по границе |
|
|
|
||||
диэлектрика |
металлическую |
пластинку |
|
|
|
||
пренебрежимо малой по сравнению с |
|
|
|
||||
расстоянием между обкладками толщины. |
|
|
|
||||
Согласно (5.11) емкость конденсатора не |
|
|
|
||||
изменится. |
Расслаивая |
введенную |
|
|
|
||
пластинку на две, получим батарею из двух |
|
|
|
||||
последовательно |
|
соединенных |
|
|
|
||
конденсаторов (рис.5.3б), емкость которой |
|
|
|
||||
находится по формуле (5.6). |
|
|
|
рис.5.3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.2. Металлический шар радиусом |
R1 окружен шаровым слоем |
||||||
диэлектрика |
с диэлектрической проницаемостью ε |
толщиной d |
и |
||||
помещен концентрично в металлической сфере с внутренним радиусом R2 . |
|||||||
Определите емкость C такого конденсатора. |
|
|
|
||||
Решение. Поместим на внутреннюю сферу |
заряд +Q , |
а на внешнюю |
-- |
||||
( −Q ) и найдем разность потенциалов между обкладками. По теореме Гаусса напряженность в произвольной точке между обкладками:
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πε 0εr |
2 |
|
|
|
R1 < r < R1 + d |
|
|||
|
|
|
, |
если |
|
||||
E = |
|
Q |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
R1 + d < r < R2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4πε 0 r |
|
|
|
|
|
|
|
||
Разность потенциалов |
между |
обкладками согласно (2.3) |
найдем |
||||||
интегрированием: |
|
|
|
|
|
|
|
||
§5. Электроемкость. Энергия электрического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
R2 |
|
Q |
|
R1 +d |
|
|
Q |
|
R2 |
|
dr |
|
|
Q |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|||||||||
U = ∫Edr = |
|
|
∫ |
|
dr |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
− |
|
|
|||||||||
|
4πε |
|
ε |
|
r |
2 |
4πε |
|
r |
2 |
4πε |
|
R + d |
R |
|
|
εR |
ε (R + d ) |
||||||||||||||||||||
R |
|
|
0 |
|
R |
|
|
|
|
0 R +d |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Емкость C согласно (5.3) будет равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
4πε 0εR1 R2 (R1 + d ) |
|
|
|
4πε 0εR1 (R1 + d ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
C = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(5.13) |
|
|
|||||||||||||||||
|
[εR1 (R2 − R1 − d )+ dR2 ] |
|
|
|
|
|
|
R |
|
d |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εR |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ d |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
R |
2 |
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Устремляя |
R2 → ∞ , |
от (5.13) |
переходим к емкости шара радиусом R1 , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
окруженного сферическим слоем диэлектрика толщиной d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Полагая |
|
в |
(5.13) |
d = R2 − R1 , |
получим |
выражение для |
емкости |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
сферического конденсатора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C = |
|
4πε 0εR1 R2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.14) |
|
|
|||||||
|
(R |
2 |
− R ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Устремляя |
R2 → ∞ , |
от |
(5.14) |
|
перейдем |
к |
емкости |
|
уединенной сферы, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
задаваемой (5.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.3. Плоский конденсатор состоит из |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
двух пластин, находящихся друг от друга на |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расстоянии d = 0,5 мм . Как изменится емкость |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конденсатора, если его поместить в |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изолированную |
|
металлическую |
|
коробку, |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стенки |
|
которой |
|
находятся |
|
|
на |
расстоянии |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d1 = 0,25мм |
|
от |
|
|
пластин |
|
|
(см. рис.5.4). |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неоднородностью поля у краев конденсатора |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при расчетах пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Рис.5.4
90 §5. Электроемкость. Энергия электрического поля
Решение. На стенках коробки появятся наведенные заряды, так как кусок АВ
коробки попадает в краевое поле конденсатора. Коробка в целом не несет заряда, поэтому наведенные заряды равны по величине и противоположны по знаку
(см. рис.5.5). Напряженность поля,
создаваемая зарядами Q' и - Q' , а также
Q и - Q , равна
E' = |
Q' |
|
|||
|
|
, |
|
||
|
|
|
|||
|
|
ε 0 S |
|
||
E = |
|
Q |
|
||
|
|
. |
Рис.5.5 |
||
|
|
||||
|
|
ε 0 S |
|
||
Величина наведенных зарядов должна быть такой, чтобы разность потенциалов между пластинами АС и BD равнялась нулю
ϕ |
|
− ϕ |
|
= Ed − E' (d + 2d |
|
) = |
|
1 |
[Qd − Q' d − 2Q' d |
|
] = 0 |
, |
||
AC |
BD |
1 |
ε |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 S |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда Q' = Q |
|
d |
|
. Найдем измененную |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
d + 2d1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
разность потенциалов между обкладками конденсатора
U = |
Q − Q' |
= |
|
Q2d1d |
|
|
|
|||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ε 0 S (d + 2d1 ) |
|
|
|
||||||||
|
|
ε 0 S |
|
|
|
|
||||||
и измененную емкость |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
C = |
ε 0 S (d + 2d1 ) |
= C |
|
d + 2d1 |
= 2C |
|
. |
|||||
|
0 |
|
|
0 |
||||||||
|
|
2dd1 |
|
|
|
2d1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(5.15) |
|
|
|
|
|
||
Если |
d1 → ∞ , то (5.15) переходит в (5.4). |
Рис.5.6 |
|