electrodynamics

удалиться от провода настолько, чтобы расстояние от провода до ближайшей стороны рамки стало бы сравнимо с a.

Подсчитаем магнитный поток, пронизывающий рамку:

SS

где S – плоская поверхность, ограниченная рамкой, d S – элемент этой

поверхности (см. рис.).

Учтем, что dS = adx , где x – расстояние от точки М до левого края рамки,

обозначенного как точка A (соответственно, точка C – это правый край рамки),

равное x = hctgα − d , получим

Теперь воспользуемся законом электромагнитной индукции и учтем, что скорость рамки v = dh :

Из найденной зависимости видно, что в начале движения рамки ЭДС нарастает со временем практически линейно, после чего скорость роста постепенно замедляется, ЭДС достигает максимума, и при дальнейшем движении рамки уже уменьшается.

единицу длины, внутри него помещена плоская рамка, по которой течет ток,

сила которого изменяется по закону I 0 cosωt . Площадь рамки равна s, а ее

плоскость перпендикулярна оси соленоида. Найдите ЭДС, индуцируемую в соленоиде.

Решение. Согласно определению коэффициента взаимной индукции (9.4), магнитный поток, пронизывающий соленоид, равен

Φ 2 = L12 I1 = L12 I 0 cosωt ,

где индекс «1» соответствует характеристикам рамки, а индекс «2» – характеристикам соленоида. Закон электромагнитной индукции (10.1) позволяет выразить искомую ЭДС:

Неизвестным пока остается коэффициент L12 взаимной индукции между рамкой и соленоидом. Найдем его, воспользовавшись симметрией

Таким образом, для нахождения коэффициента взаимной индукции необходимо задать некоторое значение силы тока I2=const в соленоиде и подсчитать соответствующее значение магнитного потока Φ1 через рамку (без учета магнитного поля самой рамки). Согласно (7.22), магнитное поле в соленоиде, по которому протекает постоянный ток, является стационарным и однородным, а его индукция равна

B = µ 0 n0 I 2 n ,

где n – единичный вектор, направленный вдоль оси соленоида в соответствии с правилом буравчика. Отсюда, принимая во внимание ориентацию рамки внутри соленоида, находим магнитный поток через рамку:

Φ1 = ∫Bd S = ∫ BdS = BS = µ 0 n0 I 2 S ,

SS

где S – плоская поверхность, ограниченная рамкой, а d S – вектор нормали к плоскости рамки. Подставим последнее выражение в (10.11) и найдем коэффициент взаимной индукции L12:

L12 = µ 0 n0 S .

Чтобы получить окончательный ответ задачи, осталось подставить это выражение в (10.10):

ε i = µ 0 n0 s ω I 0 sin ωt .

Заметим, что без привлечения свойства симметрии коэффициентов взаимной индукции мы бы столкнулись с существенными трудностями при попытке рассчитать магнитный поток через соленоид Φ2, создаваемый неоднородным магнитным полем рамки с током.

Пример 10.6. В постоянном однородном

магнитном поле, индукция которого равна B , находится круглое, недеформируемое, тонкое кольцо радиусом R, сделанное из сверхпроводника. В начальный момент

плоскость кольца параллельна B и тока в

кольце нет. Найдите силу тока в кольце сразу

Рис.10.4

после того, как оно было повернуто так, что

Решение. При повороте кольца в магнитном поле изменяется магнитный поток, пронизывающий кольцо, и, следовательно, по кольцу начинает течь индукционный ток, создающий дополнительное магнитное поле. Полный магнитный поток через кольцо складывается из потока Φвнеш, связанного с внешним магнитным полем, и потока Φсобств, связанного с магнитным полем индукционного тока:

По закону электромагнитной индукции найдем ЭДС, действующую в кольце:

Теперь применим к кольцу закон Ома для замкнутого контура (6.9), принимая во внимание, что сопротивление сверхпроводника равно нулю:

J 0 = ε i или εi = 0 .

Из последнего выражения и (10.13) следует, что полный магнитный поток через кольцо изменяться не может, т.е. каким он был в исходном состоянии, таким он и останется после поворота кольца. Начальный магнитный поток равен нулю, поскольку индукционного тока нет, а плоскость кольца ориентирована параллельно силовым линиям внешнего магнитного поля. Следовательно, нулю должен быть равен и магнитный поток через кольцо после его поворота. Выразим этот поток через параметры задачи, принимая во внимание (10.12):

Φ = Bs + LI = BπR 2 + LI ,

где s = πR 2 − площадь кольца. Осталось приравнять этот поток к нулю и выразить из полученного равенства искомую силу индукционного тока:

L

Отрицательное значение найденной силы тока означает, что ток течет против выбранного направления обхода кольца (так, как показано на рисунке).

Пример 10.7. Внутри длинного соленоида, содержащего n=1000 витков на метр длины, помещен стержень длиной l=10 см и сечением s=10 см2,

изготовленный из материала с магнитной проницаемостью µ=1000. Сила тока в обмотке I=10 А. Какую работу надо затратить, чтобы вытащить стержень из соленоида?

Решение. Работа внешней силы, затраченная на извлечение стержня расходуется как на изменение энергии магнитного поля, так и на совершение дополнительной работы в цепи протекания тока. Обе эти величины удобно выразить через изменение магнитного потока в соленоиде. При вытаскивании стержня в обмотке возникает Э.Д.С. индукции εi, которая стремится изменить протекающий по соленоиду ток. Поддерживая постоянную силу тока I в цепи, источник совершает дополнительную работу (положительную или отрицательную), равную работе Э.Д.С. индукции:

где ΔΦ – изменение магнитного потока через соленоид, произошедшее вследствие вытаскивания стержня. С другой стороны, изменение энергии поля в катушке, согласно (9.7) будет

поэтому работа по вытаскиванию стержня, которая затрачивается как на совершение внешней работы, так и на изменение энергии магнитного поля, будет

Здесь следует помнить, что изменение потока ΔΦ в нашем случае отрицательно.

Осталось вычислить изменение потока. Будем считать, что стержень находился целиком в области однородного поля. Тогда внутри стержня B = µµ0nI, а число витков, сцепленных со стержнем N = nl. При удалении стержня создаваемая

Заметим, что энергия магнитного поля при удалении стержня уменьшается. Работа по удалению стержня пропорциональна его объему.

Подставив в полученный ответ численные данные из условия задачи,

получим А≈6,3 Дж.

Задание для самостоятельной работы

момент t=0 без начальной скорости). Найдите

зависимость от времени разности потенциалов между концами палочки.

Указание: угол α0 считать достаточно малым для того, чтобы можно было пользоваться приближением sin α 0 ≈ α 0 .

10.2. Тонкая квадратная проводящая пластина движется с постоянной скоростью v=10 м/с в постоянном магнитном поле с индукцией B=10 мТл,

причем вектора v и B параллельны плоскости пластины и перпендикулярны друг другу. Найдите поверхностную плотность заряда на пластине, возникшую вследствие ее движения.

плоскости так, что провод проходит параллельно гипотенузе рамки на расстоянии d=10 см от вершины прямого угла. Сила тока в проводе изменятся

по закону I1 (t) = I 0 e− (tτ )2 , где I0=100 А, а τ=1 мс. Чему равно максимальное значение индукционного тока в контуре?

10.5. Замкнутая проволочная прямоугольная рамка со сторонами a=20 см и b=17 см расположена в одной плоскости с бесконечным прямым проводом с током I=10 А так, что сторона a параллельна проводу. Сопротивление рамки – R=0,8 Ом, а расстояние между проводом и ближайшей к нему стороной рамки –

c=10 см. Рамку поворачивают на 180° вокруг ее оси симметрии, параллельной стороне a. Найдите заряд, протекший через сечение проволоки в рамке.

10.6. Замкнутая проволочная прямоугольная рамка со сторонами a=19 см и b=11 см расположена в одной плоскости с бесконечным прямым проводом с током I=10 А так, что сторона b параллельна проводу. Расстояние между проводом и ближайшей к нему стороной рамки – c=21 см. Рамку поворачивают на 180° вокруг стороны b, ближайшей к проводу. Найдите заряд, протекший через сечение проволоки в рамке, если сечение проволоки рамки равно s=1 мм2,

а ее проводимость – λ=6 107 (Ом м)-1.

10.7. Проводящий контур в форме квадрата находится в постоянном однородном магнитном поле. Сторона квадрата равна a, а вектор индукции поля

B перпендикулярен плоскости контура. Контур деформируют так, что его длина не изменяется. После деформации контур становится круглым, но положение плоскости контура остается неизменным. Считая, что сопротивление контура, R, не изменилось, найдите заряд, протекший в контуре.

10.8.Прямоугольная рамка со сторонами a и b движется с постоянной скоростью v в направлении, перпендикулярном бесконечному прямому проводу, лежащему в плоскости рамки параллельно стороне b (удаляется от провода). По проводу течет ток силы I. В начальный момент времени t=0 расстояние между проводом и ближайшей к нему стороной рамки равнялось c. Найдите зависимость от времени ЭДС, индуцируемой в рамке.

10.9.Прямоугольная проводящая рамка со сторонами a и b вращается вокруг своей оси симметрии, параллельной стороне a, в постоянном однородном

магнитном поле с индукцией B . Угловая скорость вращения рамки постоянна и

равна ω. Вектор B перпендикулярен оси вращения, а в момент времени t=0

190 §10. Закон электромагнитной индукции

перпендикулярен и плоскости рамки. Найдите ЭДС индукции, возникающую в рамке.

10.10. Прямоугольная проводящая рамка со сторонами a и b равномерно вращается с угловой скоростью ω вокруг своей оси симметрии, параллельной стороне a, в однородном переменном магнитном поле, индукция которого изменяется по гармоническому закону с угловой частотой Ω. Вектор магнитной

индукции B перпендикулярен оси вращения рамки, а в момент времени t=0 перпендикулярен плоскости рамки и равен по величине своему амплитудному значению B0. Найдите ЭДС индукции, возникающую в рамке.

10.11. Прямоугольная проводящая рамка со сторонами a и b вращается вокруг своей оси симметрии, параллельной стороне a, в постоянном однородном

магнитном поле с индукцией B . Угловая скорость вращения рамки постепенно

вращения, а в момент времени t=0 перпендикулярен и плоскости рамки. Найдите ЭДС индукции, действующую в рамке в момент, когда ее скорость достигает половины своего максимального значения.

10.12.Снаружи длинного соленоида с площадью витка S, обтекаемого током I и имеющего n витков на единицу длины, помещен охватывающий его виток провода с сопротивлением R. Какой заряд протечет в этом витке, если прервать ток в соленоиде?

10.13.Трансформатор содержит две обмотки, намотанные на общий замкнутый сердечник из ферромагнитного материала. Сопротивления обмоток и их индуктивности равны, соответственно, R1,2 и L1,2. Вторичную обмотку замкнули

накоротко, а к первичной подключили источник постоянного тока с Э.Д.С. ε и