- •Вопрос 1. Первообразная и ее общий вид
- •Вопрос 2. Свойства неопределенного интеграла
- •Вопрос 3. Интегрирование заменой переменной и подстановкой в неопределенном интеграле
- •Вопрос 4. Интегрирование по частям неопределенного интеграла
- •Вопрос 5. Необходимое условие интегрируемости функции.
- •Вопрос 6. Суммы Дарбу и их свойства.
- •Вопрос 7. Лемма Дарбу-Римана.
- •Вопрос 8. Критерий интегрируемости
- •Вопрос 9.Свойства интеграла Римана
- •Вопрос 10.Интегрируемость непрерывной функции
- •Вопрос 11. Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва.
- •Вопрос 12. Интегрируемость функции, монотонной на отрезке.
- •Вопрос 13. Теоремы о среднем для интеграла.
- •Вопрос 14. Свойства интеграла с переменным верхним пределом интегрирования.
- •Вопрос 15. Формула Ньютона-Лейбница и её обобщение.
- •Вопрос 16. Интегрирование заменой переменной и по частям в определённом интеграле
- •Вопрос 17. Векторные пространство Rm, скалярные произведения, модуль, расстояние.
- •Вопрос 18. Критерии замкнутости в метрическом пространстве.
- •1 Критерий замкнутости
- •2 Критерий замкнутости
- •Вопрос 19. Свойство компактности в метрическом пространстве.
- •Вопрос 20. Компактность m-мерного отрезка.
- •Вопрос 21. Критерий компактности в Rm.
- •Вопрос 22. Критерий Коши и покоординатная сходимость.
- •Вопрос 23. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •Вопрос 24. Предел функции по направлению и предел по совокупности переменных.
- •Вопрос 25. Повторные и двойные пределы.
- •26. Непрерывность сложной функции многих переменных.
- •27. Теорема Коши о промежуточном значении функции.
- •28. Теоремы Вейерштрасса для функций многих переменных.
- •29. Дифференцируемость функции многих переменных, вид нелинейной части.
Вопрос 10.Интегрируемость непрерывной функции
Теорема. Если функцийfнепрерывна на отрезке [a,b] то она интегрируема на этом отрезке
Доказательство:
В силу теоремы Кантора функция fравномерно непрерывна на [a,b].Возьмем произвольное𝜀>0, тогда из равномерной непрерывности функцииfна [a,b] следует, что для любыхx’,x’’𝜖[a,b], удовлетворяющих условию |x’-x’’|<𝛿выполняется |f(x’)-f(x’’)|<.
Если взять разбиение Т такое, что 𝜆(T)<𝛿, ввиду того, что
𝜔(f(x),[xk,xk+1])=𝜔k(f)<
Имеем
Следовательно, по критерию интегрируемости (критерий Римана)
Функция fинтегрируема на отрезке [a,b]
Вопрос 11. Интегрируемость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва.
Если f – ограничена на [a,b] и имеет конечное число точек разрыва, то f интегрируема на [a,b]
Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, что у функции f на отрезке [a,b] лишь одна точка разрыва и этой точкой является a (см. рис. 9.6.1). Докажем, что для этой функции выполняется критерий интегрируемости Римана. Возьмем любое , выберем точкутакую, чтобы
Рис. 9.6.1
На отрезке [] функцияf интегрируема как непрерывная, следовательно, по критерию интегрируемости, по заданному найдётся разбиениеотрезка [], при котором
Если теперь рассмотреть разбиение отрезка [a,b], то в силу (рис. 9.6.1) и (рис. 9.6.2)
Следовательно, по критерию интегрируемости, функция f интегрируема на [a,b].
Вопрос 12. Интегрируемость функции, монотонной на отрезке.
Если f – монотонна на [a,b], f – интегрируема на [a,b].
Доказательство. Пусть функция f монотонно возрастает на [a,b] и . Возьмем любоеи разбиениеT отрезка [a,b], от которого потребуем, чтобы его мелкость . Из монотонностиf следует, что
Следовательно,
Отсюда, по критерию интегрируемости, функция f интегрируема на [a,b].
Вопрос 13. Теоремы о среднем для интеграла.
Теорема 1. Пусть функции f и g интегрируемы на отрезке [a,b], на [a,b], на [a,b]. Тогда
Доказательство. По свойству 6 интеграла функция fg интегрируема на отрезке [a,b]. Умножая неравенство на, получим
Интегрируя его по отрезку [a,b], используя свойства интеграла, получим требуемое неравенство.
Следствие. Пусть функция f интегрируема на отрезке [a,b]и на [a,b]. Тогда
Доказательство. В теореме 1 нужно взять .
Теорема 2. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b], функция интегрируема на отрезке [a,b]. Тогда существует такое, что выполняется
Доказательство. Так как функция f непрерывна на отрезке [a,b], то у нее существуют (см. рис. 9.8.1). В силу предыдущей теоремы имеют место неравенства
Рис. 9.8.1
Если интеграл , то за ξ можно взять любую точку из отрезка [a,b] и
Если , то
Таким образом,
В силу теоремы Коши о промежуточных значениях существует такое, что. Отсюда получаем требуемое равенство.
Следствие. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда существует такое, что
Доказательство. В предыдущей теореме нужно положить .
Вопрос 14. Свойства интеграла с переменным верхним пределом интегрирования.
Пусть функцияfинтегрируема на [a,b]. Функция
называется интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.
Теорема 1.Пусть функцияf(t) интегрируема на отрезке [a,b]. Тогда интеграл с переменным верхним пределом интегрированияF(x) непрерывен на отрезке [a,b].
Доказательство.Так как функцияfинтегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на нем, т. е. существует числотакое, что для всех. Пусть– любая точка из [a,b]и ε > 0 – произвольное. Используя свойства интеграла, получим
Следовательно,
Итак, для заданного ε > 0 число таково, что для всехxсо свойством
т. е. функция F(x) непрерывна в точкеx0.
Теорема 2.Если функцияfинтегрируема на отрезке [a,b]и непрерывна в точке, то функцияFдифференцируема в точкеи
Доказательство.Ввиду непрерывности функцииfв точкедля любогосуществуеттакое, что для всехвыполняется. Тогда для любоговыполняется
Итак,
что, по определению, означает дифференцируемость функции F(x) в точке.
Теорема 3 (существование первообразной).Пусть функцияfнепрерывна на отрезке [a,b]. Тогда функция
является первообразной для функции fна отрезке [a,b].
Доказательство.Изтеоремы 9.9.2следует, что
а это, по определению, означает, что F(x) является первообразной функцией дляf(x) на отрезке [a,b].
Теорема 4 (Ньютона - Лейбница).Если функция f непрерывна на отрезке [a,b]и Ф есть ее первообразная на этом отрезке, то имеет место формула
Таким образом, для вычисления определенного интеграла по отрезку [a,b] от непрерывной функцииfследует вычислить значения произвольной ее первообразной Ф в точкахbиaи вычесть из первого значения второе.
Доказательство.Изтеоремы 9.9.3следует, что функцияесть первообразная для функцииfна отрезке [a,b]. Следовательно, любая другая ее первообразная Ф(x) имеет вид
поэтому
Отсюда следует требуемое равенство.
Полученная формула называется основной формулой интегрального исчисления, которую часто записывают в виде
где введено обозначение
Эту теорему можно переформулировать следующим образом.
Теорема 5.Если функцияF(x) непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], то
Для доказательства достаточно применить теорему Ньютона - Лейбница к функции .