3.2. Системы счисления, используемые при работе с эвм

3.2.1. Двоичная система счисления

Основание Р = 2. Алфавит включает две двоичные цифры: 0, 1. Любое число C = C_n C_n-1 …C₁ C₀ C_-1 C_-m есть сумма степеней числа Р = 2,

C = C_n 2ⁿ +C_n-1 2^n-1 +…+C₁ 2¹ +C₀ 2⁰ +C_-1 2^-1 +…+C_-m 2^-m

Пример 3.6. 101011,11₂ =12⁵ + 02⁴ + 12³ + 02² +12¹ + 12⁰ +

+12^-1 + 12^-2 = 32+8+2+1+0,5+0,25=43,75₁₀.

Веса разрядов в двоичной системе счисления равны 1, 4, 8,16,... влево от запятой и 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... вправо от запятой.

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления. Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются латинские буквы A, B, C, D, E, F. Изображения первых шестнадцати чисел в десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах счисления приведены в табл. 2.

Таблица кодов в различных системах счисления Таблица 2

Десятичная система	Двоичная система	Шестнад-цатеричная система	Десятичная система	Двоичная система	Шестнад-цатеричная система
0	0000	0	8	1000	8
1	0001	1	9	1001	9
2	0010	2	10	1010	А
3	0011	3	11	1011	B
4	0100	4	12	1100	C
5	0101	5	13	1101	D
6	0110	6	14	1110	E
7	0111	7	15	1111	F

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами.

Пример 3.7. Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001 0111 0000 0011.

3.2.2. Двоичная арифметика

Преимущество двоичной системы счисления над десятичной с точки зрения ЦВМ состоит в следующем:

- требуются элементы с двумя устойчивыми состояниями;

- существенно упрощаются арифметические операции;

- оборудования требуется в 1,5 раза меньше;

- позволяет применить аппарат математической логики для анализа и синтеза схем.

Недостатки двоичной системы счисления состоят в следующем:

- большая длина записи чисел;

- при вводе и выводе информации требуется перевод в десятичную систему счисления.

Рассмотрим, как выполняются основные действия в двоичной арифметике.

Сложение Вычитание Умножение Деление

0+0=0 0-0=0 0х0=0 0:1=0

0+1=1 1-0=1 0х1=0 1:1=1

1+0=1 1-1=0 1х0=0

1+1=10 10-1=1 1х1=1

Правила арифметики во всех позиционных системах счисления одинаковы, т.е. сложение, умножение и вычитание начинают с младших разрядов, деление - со старших.

При сложении единица переноса складывается с цифрами соседнего старшего разряда. При вычитании единица заема старшего разряда дает две единицы в младшем соседнем разряде.

Пример 3.8

1) 110111,01 55,25 2) 11011,10 27,5

+ 10011,10 +19,5 -1101,01 -13,25

1001010,11 74,75 1110,01 14,25

Умножение двоичных чисел аналогично умножению десятичных, но т.к. умножаем только на 0 и 1, то умножение сводится к операции сдвига и сложения.

Пример 3.9

1011,1

^х 101,01

10111

10111 - сдвинутое на 2 разряда влево множимое

10111 - сдвинутое на 4 разряда влево множимое

111100,011