- •Точки перегиба
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Типы задач
- •1. Возрастание и убывание функций
- •2. Экстремумы функции
- •3. Асимптоты графика функции
- •4. Построение графиков функций
- •5. Определение скорости возрастания и убывания функций
- •6. Доказательство неравенств с помощью производной
- •7. Применение производной в теории многочленов для нахождения интервала залегания корней и определения их количества. Связь многочлена со своей производной
- •8. Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
- •9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин
- •II. Кривые, заданные параметрически
- •III. Векторные функции действительной переменной
- •IV. Комплексные функции действительной переменной
4. Построение графиков функций
№ п/п |
Пример ПП 16 4. Построение графиков функций |
№19 |
Исследуйте функцию и постройте её график.
При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для раскрытия неопределённости типа . Итак, у графика есть наклонная асимптота; её уравнение
4) Находим вторую производную:. Видим, чтопри; в этой области график выпуклый;при, т.е. интервалтакже является областью выпуклости. При, следовательно, приграфик вогнут. Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует прии при. При переходе через первую точку знакне меняется, а при переходе через вторую – меняется. Итак, точкой перегиба является точка с координатами,. |
5. Определение скорости возрастания и убывания функций
Скорость роста линейной функции постоянна и равна, квадратичной функции – линейна, и вообще, производная степенной функции, являясь меньшей степенью, растет медленнее, чем сама функция; скорость роста показательной функции пропорциональна значению самой функции, так как.
№ п/п |
Пример ПП 16 5. Определение скорости возрастания и убывания функций |
№20 |
Какая из функций илирастет быстрее при больших? При функциярастет быстрее, так как, а. Определим, начиная с каких значений аргументастановится больше. Рассмотрим при.,при, функциявозрастает, значит,, т.е. функциярастет быстрее, начиная с. |
6. Доказательство неравенств с помощью производной
Если в точке выполняется условиеи для всехвыполняется условие, то для всехверно неравенство.
№ п/п |
Пример ПП 16 6. Доказательство неравенств с помощью производной
|
№21 |
Докажите неравенство: при. Рассмотрим . Докажем, чтопри, т.е. что эта функция является возрастающей., т.к., значит,, если. Это доказывает неравенство в случае строгого возрастания аргумента. |