6. Тригонометрические функции

Специфика взятия интегралов, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции, заключается в большом разнообразии возможных приёмов интегрирования. Это обусловлено таким же большим разнообразием тригонометрических формул, с помощью которых можно представить одну и ту же тригонометрическую функцию.

Ниже мы рассмотрим наиболее часто используемые приёмы для решения таких интегралов, а пользователь может по своему усмотрению применять тот или другой приём для решения интегралов из своего задания.

6.1. Интегралы типа ,

а) вариант (нечётная степень): . Подход к этим интегралам одинаковый, поэтому сначала рассмотрим, например, интеграл . Перепишем его в другой форме: . Очевидна замена:. Тогда . После раскрытия скобок для соответствующего значенияискомый интеграл приводится к алгебраической сумме интегралов от степенной функции. Аналогично решается и интегралс той лишь разницей, что заменяется.

Пример 12.

Рецепт. Вводим замену .=. После обратной подстановки получаем решение:

б) вариант (чётная степень):.

Для данных интегралов используется другая схема: с помощью известных в тригонометрии формул ивдвое понижается степень и во столько же раз возрастает значение аргумента. Интеграл преобразуется в алгебраическую сумму интегралов отв соответствующей степени (но отнюдь не обязательно!). Для интегралов с этой функцией в нечётной степени применяем способ из Примера 11, а для случая с чётной степенью нужно ещё раз удвоить аргумент и т.д.

Пример 13.

Рецепт. С помощью приведённых выше формул преобразуем интеграл:

.

.

6.2. Интегралы типа

Интегралы этого типа несколько сложнее интегралов из предыдущего раздела. Возможны, естественно, три варианта:

а) один из показателей степени нечётный, другой─ чётный, т.е.

либо , либо, гдеи─ целые числа.

Рассмотрим, например, первый вариант и преобразуем интеграл к виду: . Вид последних двух сомножителей наводит на очевидную мысль, что необходимо ввести заменуи воспользоваться основным тригонометрическим тождеством. Тогда интеграл примет вид:.

Раскрывая скобки для соответствующих степеней, получаем сумму интегралов от степенной функции.

Пример 14.

Рецепт. Вводим замену и получаем . Обратная подстановка приводит к окончательному ответу .

б) оба показателя чётные:. Тогда с помощью формулиинтеграл преобразуется:. Раскрываем скобки и получаем алгебраическую сумму табличных интегралов.

Пример 15.

Рецепт 1. Используя преобразования, описанные выше, получим интеграл

. Здесь . Используем замену:. Тогда. Сделаем обратную подстановку и получим желанное решение: .

Рецепт 2. Можно использовать и другой путь: . Тогда подынтегральная функция получит следующий вид:=, а сам интеграл: ==-== =.

Совпадение конечного результата по обоим рецептам свидельствует о правильности альтернатив решения одного и того же интеграла.

в) и, наконец, третий вариант – оба показателя нечётные:

. Преобразуем интеграл к виду: . Снова воспользуемся формулами удвоенного аргумента функции косинуса: . Очевидно, что напрашивается замена:: тогда интеграл принимает вид . Снова интеграл доведён до состояния, когда его можно представить в виде алгебраической суммы табличных интегралов.

Пример 16.

Рецепт. Используем преобразования, описанные выше, и получаем интеграл

. Замена:

преобразует интеграл

. После обратной подстановки имеем решение .

Каждый из этих трёх вариантов решения требует своего подхода. Но есть ещё один приём:

г) «универсальная тригонометрическая подстановка» , для которой находим дифференциалОтсюдаПрименим этот приём к уже знакомому интегралу из Примера 11 . Подставив введённые выше выражения для и, получаем интеграл:Очевидно, что теперь можно использовать «метод неопределённых коэффициентов»:Решаем простую систему линейных уравнений:. Результат:Продолжим решение интеграла:=Возвращая этот результат в исходный интеграл и делая обратную подстановку, получаемСравните этот результат с результатом Примера 11 и проверьте, нет ли расхождения.

N.B.! Имеются данные [1], что использование «универсальной подстановки» может привести к громоздким преобразованиям, что несколько снижает его ценность.