лекції по економетрії

де γi=1/σi* — вагові коефіцієнти.

Тобто в узагальненому методі найменших квадратів мінімізуємо зважену суму квадратів відхилень з вагами, обернено пропорційними до σi;. Спостереження з більшою σi отримають у цьому методі відповідно менше значення ваги, і навпаки, спостереження з меншою σi отримають пропорційно більшу вагу при мінімізації суми квадратів відхилень.

Висновки щодо наявності гетероскедастичності в регресійній моделі Одним із припущень класичної лінійної регресійної моделі є припущення про те, що випадкові величини еі мають однакову дисперсію. Якщо ця умова не задовольняється, то ми маємо випадок гетероскедастичності. Гетероскедастичність не впливає на значимість оцінок парметрів, розрахованих за методом найменших квадратів, але ці оцінки вже не будуть оцінками з мінімальною дисперсією, тобто вони більше вже не є BLUE-оцінка- ми. BLUE-оцінки у разі гетероскедастичності забезпечуються методом зважених найменших квадратів.

Слід підкреслити важливу особливість: якщо за умов гетероскедастичності розрахувати невідомі параметри методом найменших квадратів, то дисперсії цих параметрів уже не можна розрахувати за відомими формулами. Зауважимо, що ця дисперсія вже не є мінімальною; отже, інтервали довіри, засновані на ній, занадто широкі і тест значимості менш потужний. В цій ситуації звичайні процедури тестування мають сумнівну, якщо не найнижчу, цінність.

Якщо виявлена Гетероскедастичність, а дисперсія випадкової величини невідома, необхідно трансформувати початкову модель з метою вилучення

гетероскедастичності. Якщо гетероскедастичні дисперсії а.σ 2 відомі, то

ei

невідомі параметри регресійної моделі розраховуються за методом зважених

найменших квадратів. Знання σ 2 — взагалі рідкість. Тому на практиці

ei

найпоширенішим випадком розв'язку гетероскеластичних моделей залишається їх трансформація. У цьому розділі ми дослідили декілька широко використовуваних трансформацій і визначили їх специфічні властивості. При цьому ми постійно припускали, що випадкова змінна є має нормальний розподіл. Припущення про нормальність необхідне для перевірки на значимість оцінок параметрів за статистичними тестами та для побудови інтервалів довіри.

У кожному окремому економетричному дослідженні бажано встановити ймовірність припущення про нормальність. Але на практиці найчастіше ігнорують це припущення, маючи на увазі, що центральна гранична теорема правильна у будь-якому випадку, чи намагаються довести припущення про нормальність на апріорних підставах, вважаючи, наприклад, що випадкова величина головним чином абсорбує вплив численних неважливих факторів та нестійких елементів людської поведінки.

Лекція 6 Регресія та кореляція часових рядів. Автокореляція

1.Модель регресії временного ряду

2.Автокореляція змінних. ЇЇ тестування.

3.Автокореляція збурень. ЇЇ тестування.

4.Оцінка параметрів регресійної моделі при наявності автокореляції

1.Модель регресії часового ряду

Взаємопов‘язані явища можуть розглядатись в двох різних аспектах. Комплекс явищ може вивчатись в один й той самий проміжок часу або за один й той самий проміжок часу в різних точках простору. При побудові статистичних рядів для аналізу явищ в цьому випадку не має значення, в якій послідовності виникли ті чи інші значення ознаки. Прикладами таких регресій можуть бути залежність собівартості від об‘єму виробництва на декількох підприємствах, залежність продуктивності праці від рівня механізації робіт та середнього віку працюючих в різних підрозділах одного підприємства, залежність товарної продукції від основних фондів за визначений проміжок часу в різних галузях промисловості.

Якщо вивчається розвиток комплексу явищ в часу, то послідовність виникнення значень ознаки набуває суттєвого значення. По результатам спостережень будуються хронологічні ряди, які також мають назву рядів динаміки або временних рядів. Для таких рядів розроблені особливі прийоми статистичної обробки. Приклади временних рядів: залежність щомісячних виробничих витрат від об‘єму виробництва на протязі двох років для одного й того ж підприємства.

Лінійна регресія временних рядів може мати, наприклад, такий вираз:

Y€t =b0+b1*xt1+b2*xt2+…+bm*xtm

залежна змінна y в визначений момент часу або за визначений проміжок часу t приймає значення

m

yi = åbk xtk + u€t k =0

де Yt – значення залежної змінної в момент часу t; bk– параметри регресії пояснюючої змінної , що мають таку саму інтерпретацію, що і раніше; xtk – значення пояснюючої змінної в момент часу t ; Y€t значення регресії в

визначений момент часу t; ut – значення залишків в момент часуt ; t=1,2,…,T; T – кількість моментів спостережень за досліджуваний проміжок.;k=0,1,2,…,m – кількість пояснюючих змінних;xt0=1 для всіх t. Рівняння регресії будується за методом найменших квадратів. Використання цього метода має ряд передумов.

У зв‘язку з чим при використання регресії по временним рядам виникають деякі труднощі.

1. Однією з проблем є неспівпадання в часу причина та наслідка. При

наявності деяких супутніх змінних причинні змінні можуть передувати налідку. Цей феномен досить часто зустрічається в багатьох економічних ситуаціях. Значення ознак економічних явищ, що спостерігаються в даний проміж часу, уявляють собою результати причин, що діють не тільки в цей проміжок часу, але й в попередній. Змінна, що нас цікавить, систематично пов‘язана з іншими змінними, що її передують, завдяки чому виникає круговий ціпок причинності. Зсув в явищах може виникати із-за різного роду порушень, що мають суб‘єктивний характер, наприклад, помилки в спостереженнях, корегування статистичної звітності для отримання спів ставних промислових показників. (стандартний місяць –30днів).

Визначення: відставання значень одного статистичного ряду відносно значень іншого статистичного ряду – незалежно від того, по яким причинам це виникає,– називається лагом .

Причинно обумовлені статистичні ряди можна співвідносити один з іншим і будувати по ним регресію з поправкою на величину лагу. Якщо відомо, що ефект від фактора виникає лише через два послідовних проміжки часу, то при побудові регресії значення одного з рядів здвигають на ці два проміжки часу. Наприклад, при вивченні залежності між кількістю заключних браків та кількість народжених дітей. Лаг складає 9 місяців.

При побудові регресій них моделей часто приходиться включати в праву частину рівняння лагових значень пояснюючих змінних. Рівняння з врахування лагових (що запізнюються) змінних буде мати вигляд:

Y€t =b0+b1*xt-1,1+b2*xt-1,2

якщо лаг дорівнює 1. а якщо лаг позначити p=0,1,2,,…,s:

Y€t =b0+b1*xt-р,1+b2*xt-р,2

Пояснюючі змінні можуть мати різний лаг. Крім того, в деяких випадках до лагових значень пояснюючих змінних додається одне або декілька лагових значень залежної змінної. Наприклад, якщо залежна змінна в момент часу t пояснюється своїм власним значенням в попередній момент часу, то модель можна представити у вигляді:

Y€t =b0+b1*yt-1,1+b2*xt,2

При дослідженні залежностей між економічними явищами часові здвигни взаємних значень статистичних рядів в більшості випадків невідомі. Але якщо при побудові регресії не враховувати лаг, то може статися, що обчислені коефіцієнти кореляції і регресії будуть містити великі похибки. Це в свою чергу приведе до помилкових висновків. Розроблені різні процедури визначення лагу. Але ми їх розглядати не будемо.

2. Друга проблема – проблема кількості спостережень.

При рідких спостереженнях можна упустити притаманні особливості тенденції, що вивчається. Збільшення точок спостережень призводить до збільшення витрат. Часто в економічних дослідженнях вибору кількості

спостережень взагалі не існує. Так, для багатьох галузей народного господарства України, ми маємо дані лише з 1996 року. Чим менший об‘єм спостережень, тим менш надійні оцінки параметрів моделі.

3.Порушення умови стохастичної незалежності результатів спостережень.

Вдинамічних рядах внаслідок фактору впливу фактора часу передумова стохастичної незалежності результатів спостережень часто не виконується. Визначення. Преобладаюча тенденція зміни членів ряду, що характеризує дані явище, називається трендом. Тобто, члени одного й того ряду пов‘язані між собою: попередні впливають на наступні. Такий факт називається автокореляцією. Перш ніж знаходити кількісну оцінку зв‘язків між часовими рядами, потрібно перевірити наявність автокореляції.

Звичайно, важливо зрозуміти, що викликає автокореляцію, які її практичні та теоретичні наслідки, чи змінюються методи знаходження невідомих параметрів моделі в умовах автокореляції і, нарешті, чи є ефективні методи її тестування.

Спробуємо послідовно відповісти на всі ці запитання. Як уже зазначалося вище, в регресійній моделі автокореляція наявна у разі, коли випадкові величини залежні між собою, тобто:

E(εiε j ) ¹ 0,i ¹ j .

Потрібно розрізняти поняття автокореляції і серійної кореляції. Автокореляцією називається залежність між значеннями однієї вибірки з запізненням в один лаг. Наприклад, якщо між значеннями однієї вибірки ε1 ,ε 2 ,...,ε p та ε2 ,ε3 ,...,ε p+1 є залежність, то маємо справу з автокореля-

цією, якщо така залежність є між значеннями двох різних вибірок

ε1 ,ε 2 ,...,ε p та w1, w2 ,..., wp+1 , то це свідчить про наявність серійної коре-

ляції. Автокореляція може бути як позитивною, так і негативною. Автокореляція може виникнути у зв'язку з інерційністю та циклічністю багатьох економічних процесів. Провокувати автокореляцію може і неправильно специфікована функціональна залежність у регресійних моделях та лагові запізнення в економічних процесах.

Розрізняють зв‘язок між вхідними змінними y та xk і зв‘язок між залишками. 2. Автокореляція змінних. ЇЇ тестування.

Часові ряди, а при особливих обставинах і дані одночасних досліджень, необхідно перевірити на автокореляцію, з метою встановити чи виконується умова стохастичної незалежності результатів спостережень.

Визначення. Члені ряду одного й того ж ряду взаємопов‘язані один з іншим, т.б. ряд автокорельований, якщо існує кореляція між послідовними рівнями ряду. При цьому слід розглядати також кореляцію між значеннями, які зміщенні на лаг τ одного ряду. Таке явище має назву автокореляція змінних.

Автокореляція змінних викликає серйозні труднощі при обчисленні кореляцій і регресії між часовими рядами, тлумачення цих коефіцієнтів слід проводити дуже обережно, і аналізувати чи правильні ці результати. Величина автокореляції статистичних рядів може бути виміряна за допомогою коефіцієнта автокореляції. Для цього визначають кореляцію між значеннями ряду, що зміщенні на лаг τ, тобто між послідовностями: х1, х2, …,хt-τ та x1+τ,…,x2+τ,…,xT. В даному випадку мова йде про нециклічну автокореляцію, так як передбачається, що ряд затухає на значенні хT. Таким чином, нециклічна автокореляція – це кореляція між самим рядом і тим самим рядом, що зміщений на лаг τ.

Якщо часовий ряд має циклічний характер, тобто передбачається, що після значення хT загальний характер змін членів ряду повторюється, то автокореляцію вимірюються за допомогою коефіцієнта циклічної автокореляції, що введений був Андерсеном Р.Л. В цьому випадку визначається кореляція між послідовностями х1, х2, …,хT та x1+τ,…,x2+τ,…,xT, …xτ. Одного того ж самого ряду. В другій послідовності після xT розташовані члени х1, х2, ..., xτ першої послідовності.

Розглянемо коефіцієнт автокореляції першого порядку, який використовується при вимірюванні зв‘язку між послідовними значеннями рівней ряду при лагові 1. Члени ряду зміщуються при цьому на одиницю часу.

коефіцієнт нециклічної автокореляції першого порядку К1 вимірює автокореляцію між послідовними значеннями х1, х2, …,хT-1 та х2, х3…,хT .

коефіцієнт циклічної автокореляції першого порядку К1* відображує інтенсивність зв‘язку між послідовностями змінних: х1, х2, …,хT та х2,

х3…,хT , х1.:

T −1

x1 xT å xt xt=1 - T x2

Чим ближче наближаються ці коефіцієнт до одиниці, тим сильніше автокореляція.

Достовірність коефіцієнтів автокореляції. При дослідженні економічних явищ використовують коефіцієнт нециклічної автокореляції, так як не завжди можна передбачити, що часовий ряд має циклічний характер з періодом Т. Але недоліком цього коефіцієнту є те, що невідомий його розподіл, коли

вибірка є малою, завдяки чому неможливо перевірити його на достовірність. При великій кількості спостережень коефіцієнт нециклічної автокореляції наближається до коефіцієнту циклічної автокореляції.

Для вибірок великого об‘єму надійність коефіцієнту нециклічної автокореляції перевіряють таким чином6

1. розраховують величину t:

що має t- розподіл з f=T-1 ступенями вільності.

2.за таблицями критичних значень коефіцієнта циклічної автокореляції (для великих вибірок і для нециклічної автокореляції), що побудував Р.Л.Андерсон знаходимо Ктабл.

3.якщо К1>Ктабл, то ці свідчить про наявність автокореляції на рівні значимості α.

Для перевірки надійності коефіцієнта нециклічної автокореляції для малих вибірок користуються непараметричним критерієм.

У відповідності з цим критерієм ймовірність Р, для того, щоб значення К1, що спостерігається, лежить в інтервалі

К-hσк≤К1≤К+hσк

Де К – коефіцієнт автокореляції (кореляції між відповідними рядами змінних), σк- стандартне відхилення цього коефіцієнта в генеральній сукупності.

Для малих вибірок розраховане значення hтеор.=4,472. з рівнем значущості 0,95. Тому якщо значення t, що розраховується за формулою *, буде менше 4,472, то дана вибірка не дозволяє зробити висновок про існування автокореляції, інакше з ймовірністю 0,95 можна стверджувати, що в даному ряду автокореляція присутні.

При вивченні зв‘язків між економічними явищами потрібно враховувати лаги, наприклад, при з‘ясуванні зв‘язку між капіталовкладеннями та об‘ємом виробництва, між рас ходом сировини і об‘ємом продукції, що випускається, строки реалізації капіталовкладень і строки приросту продукції, що випливають з цього факту, а також час витрат сировини і час випуску продукції можуть більш або менш сильно відрізнятися. Це відставання в часу причинно обумовлених явищ в основному залежить від характеру виробничого процесу. (індивідуальне, масове, серійне і.т.д.), від тривалості процесу виготовлення і процесу дослідження (декада, місяць, квартал і т.д.). чим довший виробничий цикл і чим коротше період дослідження, тим більш ймовірність виникнення лагу. Кореляція, визначена по парам значень з одиничним запізненням, тобто по значенням, що зміщенні на лаг 1, називається серіальною.

3. Автокореляція збурень. ЇЇ тестування.

Автокореляція залишків – це наслідок помилки специфікації регресії. Причини її виникнення:

-В регресії не врахована якась пояснююча змінна, що відіграє суттєву роль в явище, що розглядається.

-Вибраний тип функції регресії неадекватно відображує об‘єктивний зв‘язок

-Числовий матеріал має великі похибки спостереження.

Будемо виходити з того, що за методом найменших квадратів знайдені оцінки параметрів лінійної регресивної моделі і обчислені залишки ei. При використанні методу найменших квадратів передбачається рівність нулю коваріації залишків, це позначає їх лінійну незалежність.

Якщо все ж таки використовувати метод найменших квадратів в умовах автокореляції, то це призведе до таких наслідків.

1. Оцінка дисперсії випадкової величини часто переоцінює дійсну дисперсію і, як наслідок, маємо переоцінений коефіцієнт детермінації R2 .

2. Недооцінка дисперсії параметрів, наприклад var(b1 )ar(1) , породжує

помилки при використанні t - та F-тестів. (розподіл статистик відрізнятиметься від t та F розподілів.)

Найбільш відомим і поширеним тестом перевірки моделі на наявність кореляції між залишками є тест Дарбіна — Уотсона. На відміну від багатьох інших тестів, перевірка за тестом Дарбіна — Уотсона складається з декількох етапів і включає зони невизначеності.

Розглянемо порядок тестування за критерієм Дарбіна — Уотсона.

1. На першому етапі розраховується значення d -статистики за формулою:

ået2

t=1

У теорії доведено, що значення d -статистики Дарбіна — Уотсона знаходяться в межах від 0 до 4.

2. Задаємо рівень значимості α та підраховуємо кількість факторів (k) у досліджуваній моделі. Припустимо k = p . За таблицею Дарбіна — Уотсона при заданому рівні значимості α , кількості факторів k = p та кількості

спостережень п, знаходимо два значення dl та dυ . Якщо розраховане значення

d -статистики знаходиться в проміжку від 0 до dl (0 < d < dl ) , то це свідчить про наявність позитивної автокореляції. Якщо значення d потрапляє в зону

T

ået−1et

за методом НМК ρ = t=2T

ået2−1 t=2

ut — випадкова величина, для якої використовуються всі класичні

Модель (5.3.3) відома під назвою авторегресивна модель Маркова першого порядку (АR(1)), або авторегресивна лагова модель (авторегресивні лагові моделі детальніше буде розглянуто в наступному параграфі). У такій інтерпретації коефіцієнт автоковаріації р ще називається коефіцієнтом автокореляції першого порядку, або коефіцієнтом автокореляції з лагом 1. Ми не розглядаємо використання для опису залежності між залишками авторегресивних моделей вищих порядків, бо це суттєво не впливає на подальші викладки.

Отже, для того, щоб дослідити вплив автокореляції на оцінку невідомих параметрів, повернемось до моделі (5.3.1). Розглянемо для спрощення тільки

оцінку параметра β1 , яка за методом найменших квадратів знаходиться за формулою:

Нагадаємо, що дисперсія параметра b1 при відсутності автокореляції дорівнює:

Звичайно, якщо ρ = 0 , то обидві формули будуть однаковими, але при

наявності автокореляції дисперсія параметра b1 відрізнятиметься від значення дисперсії за відсутності автокореляції. Розглянемо, як цей факт буде впливати на оцінки параметрів. Чи залишатимуться у такому разі оцінки параметрів BLUE-оцінками?

На жаль, це не так. Теоретично доведено (доказу ми не наводимо), що при наявності автокореляції оцінки параметрів, залишаючись лінійними та незміщеними, не будуть мати найменшу дисперсію, тобто не будуть ефективними, а значить, і BLUE -оцінками. Якщо це так, то постає інше запитання: чи є ще якийсь метод оцінювання, який в умовах автокореляції дає BLUEоцінки? Можна показати, що при наявності автокореляції в моделях простої

лінійної регресії BLUE -оцінкою параметра b1 буде така:

t=2

де D — коригуючий параметр.

Саме такі оцінки, як для простої лінійної регресії, так і для багатофакторної, дає метод узагальнених найменших квадратів (УНК), який уже було розглянуто в параграфі про гетероскедастичність. Таким чином, за наявності автокореляції перевагу при оцінці невідомих параметрів слід віддати методу узагальнених найменших квадратів, а не методу найменших квадратів. Висновки Одним із припущень класичної лінійної регресії є припущення про

незалежність випадкових величин. Якщо це припущення порушується, то наявна серійна кореляція або автокореляція. Автокореляція може виникати з багатьох причин: по-перше, її викликає інерційність економічних процесів і, як наслідок, залежність між даними в часових рядах; по-друге, некоректно специфіковані моделі, маніпуляції з даними, введення лагових змінних.При автокореляції небажана оцінка параметрів методом найменших квадратів, бо вона призводить до неефективних оцінок і неможливості застосування t - та F-тестів.. Поширеним методом оцінки невідомих параметрів при наявності автокореляції є метод узагальнених найменших квадратів. Тестування

автокореляції, як правило, проводиться d -тестом Дарбіна — Уотсона, хоча є й інші не менш відомі тести.