- •Тема 1. Элементы линейной алгебры. Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Тема 2. Основы математического анализа
- •2.1. Функции. Предел и непрерывность функции. Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •2.2. Производная функции. Приложения производных Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Тема 3. Дифференциальные уравнения Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Тема 4. Ряды Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Тема 5. Исследование операций Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •1. Ресурсная задача.
- •2. Транспортная задача.
- •Тема 6. Теория вероятностей Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Тема 7. Математическая статистика Теоретические вопросы
- •Методические указания и примеры выполнения заданий
- •Индивидуальные задания
- •Приложения
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения
- •Литература
- •Оглавление
Методические указания и примеры выполнения заданий
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение. Используем свойства неопределенного интеграла и получаем сумму табличных интегралов.
.
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение.
.
Пример 3. Вычислить интеграл .
Решение. Применим метод замены переменной.
Пусть , тогда , и, следовательно, .
Пример 4. Вычислить интеграл .
Решение.
Пусть , тогда , и, следовательно, .
Пример 5. Вычислить интеграл .
Решение. Для нахождения заданного интеграла используем формулу интегрирования по частям .
Положим ,, тогда,.
Следовательно,
.
Пример 6. Вычислить интеграл .
Решение.
Положим ,, тогда,.
Следовательно,
Пример 7. Вычислить определенный интеграл .
Решение. Так каки, то- нечетная функция. Следовательно, . Действительно: .
Пример 8. .
Решение. Сделаем подстановку ,и припеременная.
Пример 9. Вычислить определенный интеграл .
Решение. Используем формулу интегрирования по частям для определенного интеграла
Пусть , тогда.
Следовательно,
.
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и.
Решение.
1) Точки пересечения параболы и прямой можно найти из системыИмеем,,.
2) Площадь фигуры, ограниченной кривой , прямойи прямымии, вычисляется по формуле
Пример 11. Вычислить несобственный интеграл .
Решение. Данный интеграл является несобственным интегралом то неограниченной функции и терпит разрыв в верхнем пределе при
.
Индивидуальные задания
I. Найти неопределенные интегралы.
II. Вычислить определенные интегралы.
III. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми.
IV. Вычислить несобственный интеграл или доказать что он расходится.
Вариант № 1 |
Вариант № 2 |
Вариант № 3 |
I |
I |
I |
1.2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2.3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
II |
II |
II |
1. 2. |
1. 2. |
1. 2. |
III |
III |
III |
IV |
IV |
IV |
Вариант № 4 |
Вариант № 5 |
Вариант № 6 |
I |
I |
I |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
II |
II |
II |
1. 2. |
1. 2. |
1. 2. |
III |
III |
III |
IV |
IV |
IV |
Вариант № 7 |
Вариант № 8 |
Вариант № 9 |
I |
I |
I |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
II |
II |
II |
1. 2. |
1. 2. |
1. 2. |
III |
III |
III |
IV |
IV |
IV |
Вариант № 10 |
Вариант № 11 |
Вариант № 12 |
I |
I |
I |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
II |
II |
II |
1. 2. |
1. 2. |
1. 2. |
III |
III |
III |
IV |
IV |
IV |
Вариант № 13 |
Вариант № 14 |
Вариант № 15 |
I |
I |
I |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
II |
II |
II |
1. 2. |
1. 2. |
1. 2. |
III |
III |
III |
IV |
IV |
IV |
Вариант № 16 |
Вариант № 17 |
Вариант № 18 |
I |
I |
I |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
II |
II |
II |
1. 2. |
1. 2. |
1. 2. |
III |
III |
III |
IV |
IV |
IV |
Вариант № 19 |
Вариант № 20 |
Вариант № 21 |
I |
I |
I |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
II |
II |
II |
1. 2. |
1. 2. |
1. 2. |
III |
III |
III |
IV |
IV |
IV |
Вариант № 22 |
Вариант № 23 |
Вариант № 24 |
I |
I |
I |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
II |
II |
II |
1. 2. |
1. 2. |
1. 2. |
III |
III |
III |
IV |
IV |
IV |
Вариант № 25 |
Вариант № 26 |
Вариант № 27 |
I |
I |
I |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
II |
II |
II |
1. 2. |
1. 2. |
1. 2. |
III |
III |
III |
IV |
IV |
IV |
Вариант № 28 |
Вариант № 29 |
Вариант № 30 |
I |
I |
I |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
II |
II |
II |
1. 2. |
1. 2. |
1. 2. |
III |
III |
III |
IV |
IV |
IV |