2_Izuchenie_zakona_normalnogo_raspredelenia_sl

РАЗДЕЛ: Основы медицинской статистики.

ТЕМА: Изучение нормального закона распределения случайных величин.

ЦЕЛЬ: Дать студенту первокурснику основные сведения о нормальном законе распределения Гаусса, который широко используется в математической статистике.

ЗНАТЬ: Математическое выражение нормального закона распределения, пара-

метры распределения, свойства, которыми обладает теоретическая кривая нормально-

го распределения.

УМЕТЬ: Вычислять основные параметры распределения с использованием вы-

числительных средств для обработки результатов измерений, строить графики гисто-

граммы и полигона частот распределения.

МОТИВАЦИЯ ТЕМЫ:

В биологии и медицине большую роль играет изменчивость многих характери-

стик (структуры и функций) биосистем. Одним из наиболее адекватных способов опи-

сания характера изменчивости является применение соответствующего закона распре-

деления. Он определяет вероятность того, что результат измерения случайной величи-

ны случайно выбранного индивидуума будет лежать в определенном интервале значе-

ний. Среди многих законов распределения особое значение имеет нормальный закон распределения Гаусса. Он является предельным законом, к которому приближаются все остальные при весьма часто встречающихся типичных условиях с возрастанием числа испытаний.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ВО ВНЕУРОЧНОЕ ВРЕМЯ.

Изучить теоретический материал занятия по следующей логической структуре учебного материала:

1. Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных вели-

чин, характеризующие биологические системы:

–математическое ожидание;

–дисперсия;

–среднее квадратическое отклонение.

2.Функция распределения и плотность вероятности:

–математические выражения;

–связь между этими величинами.

3.Графики функции распределения и плотности вероятности нормального закона Гаусса.

4.Основные особенности нормального распределения.

СРЕДСТВА ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1. Учебная и методическая литература:

а) основная

–Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика. - М.: Высшая школа. 1987.

–Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика. - М.: Высшая школа. 1996.

с.24-50

–Лобоцкая Н.Л., Морозов Ю.В., Дунаев А.Л. Высшая математика. -М.: Высшая школа 1987. с.205-216.

–Эссаулова И.А. и др. Руководство к лабораторным работам по медицинской и биологической физике. - М.: Высшая школа, 1987, с.8.

–Лекции по разделу "Основы медицинской статистики"

б) дополнительная

–Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: 1979, с.115.

–Поляков И.В., Соколова Н.С. Практическое пособие по медицинской статисти-

ке. - Л.: Медицина, 1975. с.38.

–Масальгин Н.А. Математико-статистические методы в спорте. М.: Физкультура

испорт. 1974.с.63-90.

–Сборник задач по математике для ВУЗов. Теория вероятностей и математиче-

ская статистика. Под ред. А.В. Ефимова. М.: Наука. 1990. с.83.

– Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике.

М.: Высшая школа, 1991. с.28

– Минцер О.П. и др. Методы обработки медицинской информации. Киев.: Выс-

шая школа. 1991. с. 28.

2.Консультации преподавателей (еженедельно по индивидуальному плану).

ОЦЕНКА НОРМАЛЬНОСТИ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ Результат медико-биологического эксперимента или отдельного клинического

наблюдения называют вариантой (х), а набор вариант, расположенный в возрастаю-

щем (убывающем) порядке – вариационным рядом.

х1, х2, …, хi, … , хn

где n – количество наблюдений (длина вариационного ряда).

Основными параметрами, которые характеризуют вариационный ряд являются: 1. Величины, которые в зависимости от обстоятельств принимают те или иные зна-

чения, называются случайными величинами. Они могут быть непрерывными (из-

мерения объема грудной клетки) или дискретными (количество очков выпавшее на игральной кости).

2. Вероятность наступления события – отношение числа исходов благоприятствую-

щих наступлению данного события (m) к числу всех возможных исходов испыта-

ния (n):

m P(xi) n

n

Для дискретной случайной величины P(xi) 1.

i1

3.Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины – сумма про-

изведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений:

n

M(X) x1p1 x2p2 ... xnpn xi pi

i 1

4. Дисперсия случайной величины – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) M[X M(X)]2

5. Среднее квадратическое отклонение – квадратный корень из дисперсии (вводят для оценки рассеяния случайной величины в единицах той же размерности):

D(X)

Полный набор всех вариант есть генеральная совокупность. На практике, как правило, невозможно получить все варианты генеральной совокупности, поэтому ис-

следуется выборочная совокупность.

Самым распространенным распределением в природе, экономике и т.д. является нормальное распределение. Случайная величина с нормальным распределением может принимать любые значения в интервале от - до + и имеет функцию плотности веро-

ятности:

где а – математическое ожидание случайной величины; - среднее квадратическое от-

клонение; 2 – дисперсия случайной величины Кривая нормального распределения имеет колоколообразную форму (рис. 1),

симметричную относительно прямой х=а (центр рассеивания). В точке х=а функция

(рис. 2).

По мере возрастания х–а функция монотонно убывает, асимптотически при-

ближаясь к нулю. При изменении значения изменяется вид графика: при увеличении значения в m раз максимальное значение функции уменьшается в m раз и график

"вытягивается" в обе стороны вдоль оси х=а. При уменьшении значения происходит обратное. При изменении значения а график функции f(x) смещается вдоль оси (рис.1).

роятности составляет: Р=0,68268 (для а ); Р=0,95450 (для а 2 ) и Р=0,99730≈1 (для

а 3 ). Таким образом, случайная величина X с нормальным распределением практи-

чески не принимает значений, которые отличались бы от среднего значения по абсо-

лютной величине больше чем на 3 . Это утверждение называется правилом "трех сигм" (рис. 2).

Как и другие законы распределения нормальный закон Гаусса не является бес-

предметной абстракцией, а представляет математическое выражение реальных зако-

номерностей, существующих в массовых случайных явлениях. В частности, многие величины в биологии и медицине распределены по нормальному закону.

Закону Гаусса подчиняются:

–рост и вес взрослых людей;

–верхнее артериальное давление крови при исследовании большого контингента

пациентов;

–длина сосудов, размеры органов, вес и объем мозга, определенные при массовых анатомических обследованиях;

–абсолютные ошибки показания приборов, измерений;

–содержание ферментов у здоровых людей.

Указанные примеры составляют незначительную часть от всего многообразия случайных биологических величин, подчиняющихся нормальному закону распределе-

ния.

Распределение Гаусса является распределением, к которому в соответствии с за-

коном больших чисел при неограниченном увеличении числа испытаний стремятся

(сводятся) все законы распределения. В этом случае применение закономерностей нормального распределения теоретически обосновано и в вопросах медицинской ста-

тистики, когда число объектов велико, расчет статистических данных в предположе-

нии о нормальности распределения исходного материала является правомерным.

В лабораторных условиях и в клинических исследованиях число испытуемых объектов, как правило, невелико, поэтому утверждение о нормальном распределении полученного экспериментального материала требует строгого математического обос-

нования. Тем более что применение статистических критериев Стьюдента, Фишера и т.д., расчет корреляционных и регрессионных параметров и многие другие методы ма-

тематической статистики базируются на предположении о нормальном распределении исходных вариационных рядов.

Существуют различные методы оценки нормальности распределения результа-

тов наблюдений.

ГОСТ рекомендует для проверки нормальности распределения группы результа-

тов пользоваться критерием Пирсона, критерием Мизеса-Смирнова, а также состав-

ными критериями.

Самым распространенным является критерий согласия Пирсона, который при-

меняется всегда, когда требуется определить степень различия между фактическим распределением и теоретическим, в частности, нормальным распределением.

Сущность метода сравнения экспериментального вариационного ряда и соответ-

ствующего ему нормально распределенного ряда состоит в том, что строится теорети-

ческий нормально распределенный ряд с параметрами исходного ряда, т.е. математи-

ческие ожидания (М(Х) или Х) и среднеквадратические отклонения ( ) эксперимен-

тального и теоретического рядов равны.

Далее определяется величина 2 (хи-квадрат) по формуле:

2 k (nj n'j )2 ,

j 1 n'j

где nj – частоты экспериментального вариационного ряда; n'j – теоретические частоты; k – число классов вариант.

Для нормального распределения с параметрами X и теоретические частоты равны:

Далее возникает вопрос: как велика может быть величина 2, чтобы пренебречь различием между рядами?

Для ответа на этот вопрос пользуются таблицей предельных значений 2 (табли-

ца 1), которые зависят от уровня значимости критерия Р и числа степеней свободы,

которые при сравнении с нормальным распределением равно k–3

Если при заданном уровне значимости и соответствующем числе степеней сво-

боды 2< 2теор то считают, что отклонение экспериментального распределения от нор-

мального незначительно и далее можно считать экспериментальные данные нормально распределенными. В общем случае оценка нормальности распределения данного ва-

риационного ряда состоит из следующих этапов:

1. Вычислить среднее арифметическое X и среднеквадратическое отклонение данного ряда;

2. Варианты данного вариационного ряда разбить на классы и определить экспе-

риментальные частоты (nj);

3. Рассчитать частоты теоретического нормального распределения (n'j) с основ-

ными параметрами X и ;

4. Вычислить значение критерия 2 и сравнить с табличным ( 2теор).

Прежде чем приступать к решению задачи, рассмотрим пример. Из партии рези-

сторов, имеющих приблизительно одинаковое сопротивление взяли наугад 50 шт и измерили точно их сопротивление.

Данные измерения 50 сопротивлений

1. Рассчитаем среднее арифметическое X и среднеквадратическое отклонение для данного ряда с помощью с помощью программы Microsoft Exel. Введем значения в ячейки листа (например, А1–А50). Активируем курсором мыши пустую ячейку (на-

пример, А2). Выберем Вставка Функция (или нажать иконку fx). В строке Категория

выберем Статистические, в окне Выберите функцию – СРЗНАЧ. Нажмите ОК. В

появившемся окне в строке Число 1 необходимо указать массив значений (это можно сделать выделив мышью введенные значения – ячейки А1–А50). В нижней строке ок-

на появится среднее арифметические значение для исследуемой выборки. При нажа-

тии кнопки ОК эта величина сохранится в выбранной ячейке (А2). Активируем сле-

дующую пустую ячейку (например, В2) и повторим действия, выбрав в качестве рас-

четной функции СТАНДОТКЛОН.

КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР 1:

Вычислить основные параметры вариационного ряда

15, 10, 12, 14, 12, 13, 11.

В результате расчета получаем:

X=12,42857≈12,4; =1,718249≈1,7.

В результате расчета получаем:

X=822,44; =14,38843

2. Для определения экспериментальных частот (nj) составим статистический ряд,

для чего запишем значения 50 сопротивлений в возрастающем порядке

Rj [Ом]

Варианты данного вариационного ряда разбить на классы. Число классов вари-

ант k определяется по формуле:

k n

где n=50 – количество наблюдений, называемое длиной вариационного ряда.

k n 50 7

Необходимая величина классового интервала ( ) определяется по формуле:

Разбиваем диапазон значений 50 сопротивлений на 7 классов с величиной клас-

сового интервала 8. Данные заносим в таблицу 1.

Рассчитать среднее значение ~xj для каждого интервала:

Определить экспериментальные частоты nj, подсчитав количество вариант встречающихся в каждом интервале. Данные занести в таблицу 1.

Рассчитать теоретическую плотность вероятности для каждого интервала (f) с

помощью программы Microsoft Exel. Активируем курсором мыши пустую ячейку. Вы-

берем Вставка Функция (или нажать иконку fx). В строке Категория выберем Ста-

тистические, в окне Выберите функцию – НОРМРАСП. Нажмите ОК. В появившемся

окне:

–в строке Х необходимо указать среднее значение для интервала (~xj );

–в строке Среднее – среднее арифметическое значение вариационного ряда ( X);

–в строке Стандартное_откл – среднеквадратическое отклонение вариационного ряда ( );

–в строке Интегральная – ввести слово "ложь". Программа в этом случае будет ис-

пользовать для расчетов уравнение нормального распределения:

σ 2π

Внижней строке окна появится значение плотности вероятности для соответст-

вующего интервала. Данные занести в таблицу 1, повторить операцию для всех интер-

валов, изменяя ~xj .

Теоретическая частота (n'j) является произведением плотности вероятности (f) на

объем выборки (n) и величину классового интервала ( ):

n'j= f n

Провести соответствующие расчеты для каждого интервала, данные занести в

таблицу 1.

ПРИМЕЧАНИЕ: расчетные значения теоретических частот округлять до целых значе-

ний, но сумма теоретических частот должна быть равна сумме экспериментальных

частот.

КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР:

Вычислить теоретические частоты для сгруппированного в 8

классов вариационного ряда:

n=100; =10; X=417; =13,5

ты экспериментального вариационного ряда; n'j – теоретические частоты; k – число