Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

практикум по математике часть 3

.pdf

Скачиваний:

121

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

Решение. Если в таблицах 3 и 4 добавить четвертую строку для относительных частот pi = mi n , то полигоны относительных частот для X и

Y достаточно просто переносятся из таблиц в графики. При этом не забывать добавить по две точки с нулевыми ординатами.

Рi

0,3

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

6	8,14	10,28	12,42	14,56	16,7		18,84	21	хi
7,07	9,21		11,35	13,49	15,63	17,77		19,91	9

Рис. 7.1. Полигон относительных частот для X.

0,4

0,3

0,2

0,1

14	20,43	26,86	33,29	39,72	46,15	52,58	59	yi
17,25	23,65	30,08		36,51	42,94	49,37	55,79

Рис. 7.2. Полигон относительных частот для Y.

140

Гистограммы распределения относительных частот строятся в
соответствии с их определениями по п.7.1.3. и имеют вид:
Рi/hi
0,14
0,017
0,093
0,07
0,046
0,023
6	8,14 10,28 12,42 14,56 16,7 18,84 21	хi
Рис. 7.3. Гистограмма относительности частот для Х.

Рi/hi

0,061
0,046
0,031
0,015
14	20,43 26,86 33,29 39,72 46,15 52,28 59	yi

Рис. 7.4. Гистограмма относительных частот для У.

Задача 3. Вычислить точечные оценки числовых характеристик

генеральной	совокупности	X и Y : выборочные	средние mx =	x	, my =	y	,
выборочные	дисперсии	D[x], D[y], выборочные	среднеквадратические

отклонения σ x ,σ y .

Решение. Для вычисления точечных оценок числовых характеристик генеральной совокупности X используем следующие формулы:

mx =

∑

i mi ,

D[x]=

∑

i2mi −m2x ,

σ x = D[x].

i=1

n i=1

141

Промежуточные вычисления сведем в таблицу.

																															Табл.7.5
xi−1 − xi												x		i		mi							x		i mi				x	i2			x		i2m
																																			i
6-8,14									7,07							4				28,28								49,98			199,92
8,14-10,28									9,21							11				101,31								84,82			933,02
10,28-12,42									11,35							24				272,4								128,82			3091,68
12,42-14,56									13,49							26				350,74								181,98			4731,48
14,56-16,7									15,63							24				375,12								244,29			5862,96
16,7-18,84									17,77							8				142,16								315,77			2526,16
18,84-21									19,91							3				59,73								396,41			1189,23
∑																100				1329,74											18534,45
mx =				=			1329, 74 =13, 29 ;									D[x]=			18534, 45 −13, 292									= 8, 72 ; σ x =			8, 72 = 2,95.
mx =	x			=			1329, 74 =13, 29 ;									D[x]=			18534, 45 −13, 292									= 8, 72 ; σ x =			8, 72 = 2,95.
									100										100
Аналогичные вычисления для Y :
							1		k								1		k
my =						=			∑				j mj ;			D[y]=			∑			2j mj −m2y ;						σ = D[y].
my =			y			=			∑		y		j mj ;			D[y]=			∑		y	2j mj −m2y ;						σ = D[y].
								n	j=1								n		j=1
																															Табл. 7.6.
y j−1 − y j										y		j				mj								y		j mj			y	2j		y		2j mj
																												296,36
14-20,43							17,215									1				17,22								296,36			296,36
20,43-26,86									23,65							4				94,6								559,32			2237,28
26,86-33,29									30,08							22				661,76								904,81			19905,82
33,29-39,72									36,51							34				1241,34								1332,98			45321,32
39,72-46,15									42,94							23				987,62								1843.84			42408,32
46,15-52,58									49,37							10				493,7								2437,39			24373,9
52,58-59									55,79							6				334,74								3112,52			18675,12
∑																100				3830,98											153218,12

my =					=			3830,98							= 38,31; D[y]=			153218,12									−38,312	= 64,52 ; σ y =			64,52 = 8, 03.
		y						3830,98										153218,12
		y
									100										100

Задача 4. Проверить гипотезу о нормальном распределении X и Y с использованием критерия χ2 Пирсона при уровне значимости α = 0, 05.

Решение. Предварительные приближенные исследования по четырем пунктам дисперсионного анализа (см. 2.1.6.),не смотря на то, что данные исследования подробно не проведены, дают основание выдвинуть нулевую (основную) гипотезу о распределении случайной величины X :

Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами mx =13, 29 , σ x = 2,95.

142

Для проверки этой гипотезы по критерию χ2 Пирсона необходимо

вычислить	наблюдаемое значение	χнабл2 .		и сравнить его с критическим
значением χкр2 .
χнабл2	. вычисляется по формуле:
	χнабл2	. = ∑	(mi −mi0 )2
	χнабл2	. = ∑		m0	,
				i

где mi − эмпирические (опытные) частоты – частоты интервального

вариационного ряда;

mi0 −теоретические частоты – частоты, попадающие в те же

интервалы вариационного ряда, но определяемые по формулам предполагаемого закона распределения, в нашем случае нормального закона:

−

(x−13,29)2

x −13, 29

−13, 29

(

2,95

)

mi0 = npi0 ; pi0 = p{xi−1 < X < xi }=

=Φ

−Φ

i−1

2π

2,95

x∫ 2,95

i−1

При этом нужно учесть три обстоятельства:

1. Смещаем самую левую границу интервального ряда x0

до x0

= −∞, а

самую правую xk до xk

= ∞.

2. Укрупняем

первый

i =1

последний

i = k = 7

интервалы

вариационного ряда

X , т.к.

они

содержат малые

частоты

m1 = 4, m7 = 3

(частоты должны быть не менее 5). Для этого сливаем первый интервал со вторым, а седьмой с шестым. Тогда количество интервалов с учетом укрупнения будет k =5.

3. Φ(−∞)= 0,5;Φ(∞)= 0,5;Φ(−t )= −Φ(t );n =100.

Сведем промежуточные вычисления в таблицу 7.7:

													Табл. 7.7.
x	− x	m	xi −13, 29		xi−1 −13, 29	xi −13, 29		xi−1 −13, 29			p0	m0			(mi −mi0 )2
					xi−1 −13, 29

i−1	i	i	2,95	2,95		Φ	2,95	Φ		2,95	i	i			m0
			2,95				2,95								i

– ∞ − 10,28		15	–1,02		−∞	–0,3461 –				–0,5	0,1539	15,39		0,01
10,28–12,42		24	–0,29		–1,02	–0,1141		–0,3461			0,232	23,2		0,028
12,42–14,56		26	0,43		–0,29	0,1664		–0,1141			0,2805	28,05		0,15
14,56–16,7		24	1,16	0,43			0,377		0,1664		0,2106	21,06		0,41
16,7– ∞		11	∞	1,16			0,5		0,377		0,123	12,3		0,137
			∞
∑		100									1	100		0,735
		100									1	100		0,735

χнабл2 . = 0, 735.

χкр2 . определяем по таблице значений χ2 (приложение, табл. 3).

143

С учетом

уровня значимости

α = 0, 05,

числа

степеней

свободы

r = k −q −1,

где

k −количество укрупненных интервалов ( k =5 ),

q − число

параметров закона распределения (

q = 2 для нормального закона) имеем:

r =5 −2 −1 = 2 ;

χкр2

. = 5,991.

Т.к.

0,735<

5,991,

т.е. χнабл2

. <

χкр2

. , то

выдвинутая

гипотеза

нормальном законе распределения случайной величины

X подтверждается.

Аналогичным образом проведем исследования гипотезы о том, что

случайная

величина

то

же

распределена

по

нормальному

закону

параметрами

my = 38,31,σ y = 8, 03.

Все расчетные формулы и особенности расчета сохраняются, только

здесь приходится в вариационном ряду

укрупнять

один

первый j =1

интервал, имеющий частоту

m1 =1.

Сливаем его со вторым интервалом.

Количество интервалов становится равным k = 6.

Таблица вычислений примет вид:

Табл.7.8

y j

−38,31

y j−1 −38,31

−38,31

j−1

−38,31

)

y j−1 − y j

8,03

8, 03

(mj −mj

8,03

8, 03

m0j

- ∞ − 26,86

–1,426

– ∞

–0,4229

–0,5

0,0771

7,71

0,9525

26,86-33,29

–0,625

–1,426

–0,2341

–0,4229

0,1888

18,88

0,5156

33,29-39,72

0,176

–0,625

0,0698

–0,2341

0,3039

30,39

0,4288

39,72-46,15

0,976

0,176

0,3356

0,0698

0,2658

26,58

0,4822

46,15-52,58

1,777

0,976

0,4623

0,3356

0,1267

12,67

0,5627

52,58- ∞

∞

1,777

0,5

0,4623

0,0377

3,77

1,3191

∑

100

4,2609

χнабл2

. = 4, 2609.

по табл.3 приложения имеем

При

α = 0, 05, r = k −q −1 = 6 −2 −1 = 3

χкр2

. = 7,815.

4, 2609 < 7,815 , т.е.

χнабл2

. < χкр2

. ,

значит, гипотеза о нормальном

распределении случайной величины Y подтверждается.

Задача 5. При условии нормального распределения случайных

величин

доверительной

вероятности

p = 0,95

построить

доверительные

интервалы

для

математических

ожиданий

M [X ], M [Y ]

генеральной совокупности.

Решение.

При объеме выборки

n >50

воспользуемся примером 1,

изложенным в 2.1.5. Оценка МОЖ генеральной совокупности

является

случайной величиной , распределенной по нормальному закону со среднеквадратическим отклонением, определенным по выборке, и равным

σnx .

144

Математическое

ожидание

генеральной совокупности

M [X ]

находится в доверительном интервале ( mx −

< M [X ]< mx +

). Симметричные

случайные

отклонения

определяются

по

заданной

доверительной

вероятности pд

и заданному нормальному закону распределения.

pд = p ( mx − < M [X ]< mx +Δ)= p (

M [X ]−mx

< )= 2Φ

σ x

Если

t =

, то его можно определить по таблице 2 приложения,

σ x

учитывая,

что

pд

= Φ(t ).

Определив

t , находим

tσ x

а,

значит,

и сам

доверительный интервал.

В нашем случае для интервальной оценки M [X ] имеем:

pд = 0,95 ;

pд

0,95

= 0, 475 = Φ(t ).

По таблице 2 приложения находим t =1,96.

tσ x

1,96 2,95

= 0,578.

< M [X ]< mx +

100

(mx

−

) ;

(13, 29 −0,578 < M [X ]<13, 29 +0,578) ;

(12, 71 < M [X ]<13,87),

pд = 0,95.

Математическое

ожидание

M [X ]

генеральной

совокупности

находится

интервале

от

12, 71

до

13,87

доверительной

вероятностью

pд = 0,95.

M [Y ] имеем:

Для интервальной оценки

pд =,95;

pд

= 0,95

= 0, 475 = Φ

(t ); t =1,96,

tσ y

1,96 8,03

=1,57.

100

(my

−

< M [Y ]< my

) ;

(38,31−1,57 < M [Y ]<38,31+1,57) ;

(36, 74 < M [Y ]<39,88),

pд = 0,95.

Математическое

ожидание

M [Y ]

генеральной

совокупности

находится

интервале

от

36, 74

до

39,88

доверительной

вероятностью

pд = 0,95.

Задача 6. Исследовать корреляционную связь между X и Y. Для чего: а) построить корреляционную таблицу;

б) определить оценки числовых характеристик корреляционной связи (выборочную ковариацию, выборочный коэффициент корреляции, выборочное корреляционное отношение);

в) определить параметры и формулу уравнения регрессии. Дать графическую интерпретацию этого уравнения (начертить график).

145

Решение. а) Как уже отмечено в 2.1.7, в корреляционную таблицу переносят интервальные вариационные ряды для X и Y со своими серединами интервалов. Клетки таблицы заполняют частотами mij −количество одновременно попавших вариант по X в i − й интервал и по

Y в j − й интервал. Эти частоты определяются при анализе исходного

массива пар XY − выборки, содержащейn =100 пар случайных величин X и Y. Для нашего случая имеем следующую корреляционную таблицу (табл. 7.9).

Табл. 7.9.

		y j−1 − y j						14 −	20, 43 −		26,86 −		33, 29 −		39, 72 −		46,15 −		52,58 −
								−20, 43	−26,86		−33, 29		−39, 72		−46,15		−52,58			−59
xi−1 − xi
							j	17, 215	23, 65		30, 08		36,51		42,94		49,37		55,80
						y	j	17, 215	23, 65		30, 08		36,51		42,94		49,37		55,80
					i
				x	i
6 −8,14			7, 07													1		2		1

8,14 −10, 28			9, 21									2		4		2		1		2

10, 28 −12, 42			11,35							1		1		7		9		5		1

12, 42 −14,56			13, 49							2		7		9		5		1		2

14,56 −16, 7			15, 63					1				7		10		5		1

16, 7 −18,84			17, 77									4		4

18,84 −21			19,91							1		1				1

								my =	my	=	my	=	my	=	my	=	my	=	my	=
								1		2		3		4		5		6		7
		k						7		7		7		7		7		7		7
m		j = ∑mij						= ∑mi1 = = ∑mi2 = = ∑mi3 = = ∑mi4 = = ∑mi5 =									= ∑mi6 =		= ∑mi7 =
m	y	j = ∑mij						i=1	i=1		i=1		i=1		i=1		i=1		i=1
		i=1						=1	= 4		= 22		= 34		= 23		=10		= 6

mxi = ∑mij i=1

	7
mx1	= ∑m1 j = 4
	j=1
	7
mx2	= ∑m2 j =11
	j=1
	7
mx3	= ∑m3 j = 24
	j=1
	7
mx4	= ∑m4 j = 26
	j=1
	7
mx5	= ∑m5 j = 24
	j=1
	7
mx6	= ∑m6 j = 8
	j=1
	7
mx7	= ∑m7 j = 3
	j=1
7	7
∑∑mij =100
i=1	j=1

б) Прежде чем приступить к определению оценок числовых характеристик корреляционной связи X и Y в конце каждой строки и столбца корреляционной таблицы приведены необходимые подготовительные формулы и их расчет. Речь идет о частотах: mxi −частотах

интервальных середин по X и my j − частотах интервальных середин по Y.

Оценку ковариации (корреляционного момента) произведем по формуле:

146

k%xy = 1 ∑∑

j mij −mx my.

n j=1 i=1

Для определения слагаемого

∑∑

j mij

составим таблицу 10, в

j=1 i=1

которую перенесем середины интервалов

i и

, а в клетках поставим их

произведение на соответствующую частоту mij , взятую из корреляционной

таблицы 7.9. Для контроля результата произведем сложение как по строкам, так и по столбцам.

Табл.7.10


			y j	17, 215	23, 65					30, 08	36,51			42,94			49,37			55, 79		∑
		i
	x	i
7, 07														7,07 42,94 1			7,0749,372			7,07 55,791		1396,11
9, 21										9,2130,082	9,2136,514			9,21 42,94 2			9,2149,371			9,2155,792		4172,41
11,35					11,3523,651					11,3530,081	11,3536,517			11,35 42,94 9			11,3549,375			11,3555,791		11331,8
13, 49					13,4923,652					13,4930,087	13,4936,519			13,49 42,94 5			13,4949,371			13,4955,792		12978,7
15, 63				15,6317,2151						15,6330,087	15,6336,5110			15,63 42,94 5			15,6349,371					13394,1
17, 77										17,7730,084	17,7736,514											4733,22
19,91					19,9123,651					19,9130,081				19,91 42,941								1924,7
	∑			269, 07	1377,376					9763,968	16980, 07			12587,861			5392,1914			3560,5178		49931,04
				k	k
				Итак, ∑∑			i		j mij = 49931; значения				mx =13, 29; my				=18,31 вычислены
				Итак, ∑∑		x	i	y	j mij = 49931; значения				mx =13, 29; my				=18,31 вычислены
				j=1 i=1
ранее; тогда выборочная ковариация k%xy =												49931			−13, 29 38,31 = −9,83.
ранее; тогда выборочная ковариация k%xy =												100			−13, 29 38,31 = −9,83.
				Выборочный коэффициент корреляции r%xy =												k%xy		9,83
																		= −			= −0, 415.
																σ x σ y		= −	2,95 8, 03		= −0, 415.

Оценка корреляционного отношения производится по формуле

η%yx = σ yx , где σ yx − выборочное межгрупповое среднеквадратическое

σ y

отклонение: σ

∑(

i −my )2m

i .

n i=1

Здесь

−условное среднее значение Y при условии

i :

i =

∑

j mij .

j=1

147

Вычисления сведем в таблицу 7.11.

Табл.7.11


	y j	17,215			23,65		30,08	36,51			42,94		49,37				55,79					∑y j mij							yxi									yxi −my				(yxi −my )	2	mxi
mxi		17,215			23,65		30,08	36,51			42,94		49,37				55,79					∑y j mij							yxi									yxi −my				(yxi −my )		mxi
																						k
																						j=1
																						j=1

4											1		2							1		197, 47					49,37										11, 06					489, 29
11							2	4			2		1							2		453					41,18												2,87			90, 61
24					1		1	7			9		5							1		998, 4					41, 6												3, 29			259, 78
26					2		7	9			5		1							2		962,1					37												−1,31			44, 62
24		1					7	10			5		1									856,95					35, 71												−2, 6			162, 24
8							4	4														266,36					33, 29												−5, 02			201, 6
3					1		1				1											96, 67					32, 22												−6, 09			111, 26
																																										∑=1359, 4
													σ				=				1359, 4		= 3, 69.
														yx							1359, 4
														yx						100
																				100
		Оценка корреляционного отношения равна:																									%						σ							3, 69
																											%						σ			yx				3, 69
																											η	yx =						σ y					=	8, 03	= 0, 459.
																																		σ y						8, 03
		в) Воспользуемся готовыми формулами уравнений линейной
регрессии,						выраженные						через								оценки						числовых														характеристик
корреляционной связи X											и Y .
		Уравнение регрессии Y на X :
					= my	+ r%xy σ y		(		i −mx );										= 38,31−0, 415							8, 03			(					i −13, 29).
			y						x							y											8, 03					x
			y	x					x							y		x									2,95					x
							σ x																				2,95
																		= 53,32 −1,13							i .
														y										x
														y	x									x
		Уравнение регрессии X											на Y :
							σ x																				2,95
							σ x	(y j −my );																			2,95				(y j						−38,31).
			x		= mx	+r%xy σ y											x			=13, 29 −0, 415
			x	y	= mx	+r%xy σ y											x		y	=13, 29 −0, 415							8, 03

xy =19,13 −0,15y j .

Графики уравнений регрессии имеют вид:

ух	i			xy	j
	i				j
	у	хi	= 53,32 −1,13x		xy	=19,13 −0,15yj
		хi	i			j

x	уj
i
Рис.7. 5.	Рис.7. 6.

148

7.3.Задание на контрольную работу «Математическая статистика»

Контрольная работа состоит из 6-ти задач. Каждому варианту соответствует таблица, состоящая из 100 пар выборки случайных величин X и Y из некоторой генеральной совокупности.

Выполнить следующие задачи:

Задача №1. Построить дискретные и интервальные вариационные ряды для СВ X и Y .

Задача №2. Построить полигоны и гистограммы распределения

относительных частот для СВ	X	и Y .
Задача №3. Вычислить точечные оценки числовых характеристик
генеральной совокупности	X	иY : выборочные среднюю, дисперсию и
среднеквадратическое отклонение.
Задача №4. Проверить гипотезу о нормальном распределении X и Y
с использованием критерия χ2 Пирсона на уровне значимости α = 0, 05.
Задача №5. При условии нормального распределения и
доверительной вероятности	pд = 0,95 построить доверительные		интервалы
для математических ожиданий X		и Y генеральной совокупности.
Задача №6. Исследовать корреляционную связь между X			и Y . Для
чего:

а) построить корреляционную таблицу; б)определить оценки числовых характеристик корреляционной связи

(выборочную ковариацию, выборочный коэффициент корреляции, выборочное корреляционное отношение);

в)определить параметры и вывести формулу уравнений регрессии. Дать геометрическую интерпретацию этих уравнений (начертить график).

Варианты заданий

В вариантах 1 – 2 приведены результаты исследования между стойкостью сверл определенного диаметра /у, мин/ и толщиной сердцевины

/х, мм/;

ввариантах 3 – 4 – результаты исследования зависимости между временем непрерывной работы станков /у, ч/, и количеством обработанных деталей /х, штук/;

ввариантах 5 – 6 – результаты исследования зависимости между мощностью двигателей /у, кВт/ и числом оборотов /х, сотни об./ мин/;

ввариантах 7 – 10 – результаты исследования зависимости между диаметром сосны у корня /у, см/ и ее высотой /х, м/.

149

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1715 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.11.20183.81 Mб152Подвижной состав. Исправленное.doc
#
12.11.2019176.64 Кб6пособие для поведния семинрских знятий.doc
#
15.02.201530.97 Mб31пособие проводнику.docx
#
15.02.201523.98 Кб22почтовобагажный вагон.docx
#
15.02.20153.83 Mб99практикум математика часть 2.pdf
#
15.02.20154.76 Mб121практикум по математике часть 3.pdf
#
15.02.2015328.84 Кб47Практич_МТТ_с_приложением_МТТ.pdf
#
15.02.2015439.81 Кб33Практическое занятие.doc
#
18.09.201934.46 Кб4Предпринимательство.docx
#
15.02.201530.21 Кб12прием док-в в общ-е (1).doc
#
15.02.201538.66 Кб14Приказ 1Ц.docx