Математика Сизов 2011
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
КРАСНОЯРСКИЙ ИНСТИТУТ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА –
ФИЛИАЛ ФГБОУВПО
«ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» в г. Красноярске
Контрольные задания по математике
и
руководство к их решению
Учебное пособие для втузов
Под редакцией Сизова С.Н.
Красноярск КрИДТ ИрГУПС
2011
УДК 517+519 ББК 22.11
К 65
АВТОРЫ:
С.Н. Сизов, А.П. Хоменко, А.И. Свитачев, О.В. Пашковская, Е.А. Галькова, Е.В. Шалагина.
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Я.Н. Нужин, д-р. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Математического обеспечения дискретных устройств и систем», институт фундаментальной подготовки Сибирского Федерального Университета.
С.В. Ушанов, канд. техн. наук, профессор, зав. кафедры «Математики и информатики» Сибирского государственного технологического университета.
УДК 517+519 ББК 22.11
К 65
Контрольные задания по математике и руководство к их решению : учеб. пособ. для ВТУЗов. / С.Н. Сизов [и др.] ; под ред. С.Н. Сизова ; КрИЖТ ИрГУПС. - Красноярск : КрИЖТ ИрГУПС, 2011. -
Учебное пособие представляет собой сборник заданий контрольных работ по курсу математики для студентов-заочников, обучающихся по направлению «Технические науки» (550000). Задания сопровождаются краткими теоретическими сведениями и решениями типовых задач и примеров.
Рекомендовано к изданию методическим советом КрИЖТ ИрГУПС
Печатается в авторской редакции
С.Н. Сизов, А.П. Хоменко, А.И. Свитачев, О.В. Пашковская, Е.А. Галькова, Е.В. Шалагина., 2011
Красноярский институт железнодорожного транспорта, 2011
Оглавление |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ..................................................................................................................................... |
3 |
.............................................................. |
6 |
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ |
|
1.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ............................................................................................................... |
6 |
1.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ................................................................................................ |
14 |
1.3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ..................................................................................................... |
21 |
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ............................................................... |
23 |
2.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ............................................................................................................. |
23 |
2.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ................................................................................................ |
30 |
2.3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ..................................................................................................... |
36 |
3. ПРЕДЕЛЫ...................................................................................................................................... |
38 |
3.1 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ.............................................................................................................. |
38 |
3.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРЕДЕЛОВ........................................................................................................ |
43 |
3.3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ..................................................................................................... |
51 |
4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ........................................................................................................ |
55 |
4.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ............................................................................................................. |
55 |
4.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ............................................................................................................. |
59 |
4.3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ..................................................................................................... |
65 |
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.................................... |
68 |
5.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ............................................................................................................. |
68 |
5.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ И ПРИМЕРОВ................................................................................................ |
73 |
5.3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ..................................................................................................... |
78 |
6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.......................................................................................................... |
81 |
6.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ............................................................................................................. |
81 |
6.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ И ПРИМЕРОВ................................................................................................ |
86 |
6.3 ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ...................................................................................................... |
93 |
7. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ....................................................................................... |
95 |
7.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ............................................................................................................. |
95 |
7.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ.............................................................................................. |
102 |
7.3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ................................................................................................... |
111 |
8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ................................................................. |
115 |
8.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ............................................................................................................. |
115 |
8.2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.................................................................................... |
126 |
8.3 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ .............................................................................................................. |
135 |
8.4. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ................................................................................................... |
137 |
9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ .......................................................................................... |
141 |
9.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ........................................................................................................... |
141 |
9.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ. ............................................................................................. |
149 |
9.3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ................................................................................................... |
157 |
10. КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ............................................. |
161 |
11. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ............................................................................................................... |
163 |
11.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ................................................................................................................................ |
163 |
11.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА ................................................................................................ |
164 |
11.3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.............................................................................. |
167 |
11.4. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ......................................................................... |
169 |
11.5. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ................................................................................................. |
172 |
3
12. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ................................................................................................................ |
175 |
12.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ................................................................................................................................ |
175 |
12.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА................................................................................................. |
175 |
12.3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ .............................................................................. |
179 |
12.4. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ......................................................................... |
179 |
12.5. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ................................................................................................. |
185 |
13. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ................................................................................................ |
172 |
13.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА.................................................................................................. |
172 |
13.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ II РОДА................................................................................................. |
178 |
14. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ................................................................................................. |
203 |
14.1. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА................................................................................................... |
203 |
14.2. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ II РОДА.................................................................................................. |
214 |
15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ....................................................................................................... |
226 |
15.1. ОПЕРАЦИИ I ПОРЯДКА..................................................................................................................... |
226 |
15.2. ОПЕРАЦИИ II ПОРЯДКА.................................................................................................................... |
230 |
15.3. ТИПОВЫЕ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ПОЛЯ....................................................................... |
231 |
15.4. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ПО ТЕМЕ “ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ” ............................................ |
236 |
16. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ОПЕРАЦИОННОЕ |
|
ИСЧИСЛЕНИЕ ................................................................................................................................. |
239 |
16.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ......................................................................................................... |
239 |
16.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ............................................................................................ |
250 |
16.3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ................................................................................................. |
259 |
17. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ............................................................................... |
262 |
17.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ......................................................................................................... |
262 |
17.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ............................................................................................ |
266 |
17.3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ................................................................................................. |
269 |
18. РЯДЫ........................................................................................................................................ |
272 |
18.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ............................................................................................................................ |
272 |
18.2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ................................................................................................................ |
281 |
18.3. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ................................................................................................... |
292 |
18.4. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ................................................................................................. |
300 |
19. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.......................................................................................... |
306 |
19.1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ......................................................................... |
306 |
19.2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ....................................................... |
307 |
19.3. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ И ПРИМЕРОВ............................................................................................ |
323 |
19.4. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ............................................................................................... |
330 |
20. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.......................................................................................................... |
332 |
20.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ......................................................................................................... |
332 |
20.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВОЙ ЗАДАЧИ ........................................................................................................... |
341 |
20.3. ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ................................................................................................. |
347 |
21. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ...................................................................................... |
349 |
21.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ......................................................................................................... |
349 |
21.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ И ПРИМЕРОВ............................................................................................ |
363 |
21.3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ................................................................................................. |
370 |
22. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ................................................................................ |
372 |
22.1 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ.......................................................................................................... |
372 |
22.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВОЙ ЗАДАЧИ ........................................................................................................... |
375 |
22.3.ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ.................................................................................................. |
378 |
4
23. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР.................................................................. |
380 |
23.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ......................................................................................................... |
380 |
23.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ............................................................................................................... |
391 |
23.3. ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ................................................................................................. |
395 |
24. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ........................................................................................................... |
402 |
24.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ......................................................................................................... |
402 |
24.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ........................................................................................................... |
411 |
24.3. ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»........................................................... |
423 |
25. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА............................................................................................. |
427 |
25.1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.................................................................................................. |
427 |
25.2. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ЗАДАНИЯ ......................................................................................................... |
442 |
25.3. ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»................................................ |
454 |
26. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ.......................................................................................................... |
461 |
ПРИЛОЖЕНИЯ................................................................................................................................ |
464 |
ЛИТЕРАТУРА.................................................................................................................................. |
468 |
5
1.Комплексные числа. Основы линейной алгебры
1.1.Краткие сведения из теории
1.1.1. Некоторые сведения о комплексных числах
Комплексным числом называется число вида z=a+ib
(алгебраическая форма), где i= 1 (мнимая единица), a=Re z-
действительная часть, b=Im z-мнимая часть комплексного числа.
Свойства мнимой единицы: i2 1, i3 i, i4 |
1. |
|||||||||||
Геометрически комплексное число изображается на плоскости в |
||||||||||||
виде вектора |
z, |
имеющего |
длину |
|
z |
|
, |
называемую модулем |
||||
|
|
|||||||||||
комплексного |
числа, |
(0 |
|
z |
|
), |
и направление по отношению к |
|||||
|
|
абсциссе, определяемое углом , который называется аргументом комплексного числа (0 2 )
y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
z a ib |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Перечисленные параметры связаны соотношениями: |
||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
a2 b2 |
, arg z arctg b , a Re z |
|
z |
|
cos , b Im z |
|
z |
|
sin . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Выражение |
z |
|
z |
|
cos isin |
|
есть |
тригонометрическая |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
форма, а |
z |
|
z |
|
e j |
– показательная |
форма |
комплексного числа. |
||||||||||||||||
|
|
Здесь использовалась формула Эйлера: e j cos j sin .
Сопряженным называется комплексное число z , отличающееся знаком мнимой части от комплексного числа z .
Если z a jb z cos j sin z e j , то z a jb z cos j sin z e j .
Действия над комплексными числами
Сложение. Если z1 a1 jb1 , z2 a2 jb2 , то
z1 z2 a1 a2 j b1 b2 .
Следствие: сумма комплексно сопряженных чисел равна удвоенной их действительной части.
6
z z a jb a jb 2a .
|
|
|
|
|
|
|
Умножение, деление. Если z |
|
|
z |
|
e j 1 , |
z |
2 |
|
|
z |
2 |
|
|
e j 2 или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z |
|
|
z |
|
( cos j sin ) , |
|
z2 |
|
z2 |
|
|
|
cos 2 |
j sin 2 , то |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z z |
2 |
|
|
|
z |
|
|
z |
2 |
|
e j 1 2 |
|
|
z |
|
|
|
|
z |
2 |
|
cos |
2 |
j sin |
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
z1 |
|
cos |
|
|
|
|
j sin |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Следствие: произведение комплексно сопряженных чисел равно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
квадрату их модуля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zz |
|
z |
|
e j |
|
z |
|
e j |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Умножение и деление можно производить, если комплексные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числа заданы в алгебраической форме: |
|
|
z1 a1 |
|
jb1;z2 a2 jb2 . |
z1 z2 a1 jb1 a2 jb2 a1a2 ja1b2 ja2b1 j2b1b2 a1a2 b1b2 j a1b2 a2b1 .
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
a1 jb1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
ib |
∙│∙ |
|
|
|
|
умножим |
|
|
и |
разделим |
на сопряженный |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
знаменатель ∙│∙ = |
1* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a1 b1 |
a2 b2 |
|
|
a1a2 b1b2 j a2b1 a1b2 |
|
a a b b |
j |
a b a b |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 b2 |
a2 b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 b22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
b22 |
a22 |
b22 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
Возведение в степень. Если z |
|
z |
|
e j |
|
z |
|
cos j sin , то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
z |
|
n e jn |
|
z |
|
n cos n j sin n . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Извлечение |
корня |
n – |
|
|
|
|
|
|
|
ой |
|
|
|
степени. |
|
Если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
z |
|
e j |
|
|
|
z |
|
cos j sin , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n z n |
|
z |
|
e j n |
|
z |
|
|
e |
|
j |
2kπ |
n |
|
z |
|
|
2kπ |
i sin |
2kπ |
, где |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
cos |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k0,1,...,n 1.
Здесь и в дальнейшем знаки ∙│∙ ∙│∙обозначают скобки, в которых даны пояснения.
7
1.1.2. Элементы линейной алгебры
– матрицы и определители
Прямоугольные таблицы вида
|
|
|
|
|
|
|
|
а11 |
а12 |
... |
а1n |
|
|||
|
а |
а |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
а |
21 |
а |
22 |
... |
а |
2n |
|
||
|
11 |
12 |
|
, |
....... |
, |
|
|
|
|
|
, |
|||
|
а21 |
|
|
|
|
|
|
.aij .. |
|
|
|||||
|
а22 |
|
|
|
... ... |
... |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
аm1 |
аm2 |
... |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
аmn |
|||||||
имеющие m |
строк и |
n |
столбцов |
и |
состоящие |
из |
элементов aij |
i 1,2,..., m; j 1,2,..., n , называются матрицами. Элементами матриц
могут быть числа, функции или элементы иной природы. Элемент aij находится на пересечении i той строки и j того столбца.
Обозначаются матрицы большими буквами A,B,C,…,а также
aij , bij mn ,aij mn .
При m=n – матрица квадратная, при m≠n – прямоугольная. |
|||
Матрицу aij 1n |
a11a12...a1n называют матрицей-строкой. |
||
|
|
|
|
|
b |
|
|
Матрицу bij m1 |
11 |
|
|
b21 |
|
называют матрицей-столбцом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
m1 |
|
|
Этими матрицами выражают вектора, количество координат которых равно количеству элементов матрицы.
Определителем 2-ого порядка, соответствующим матрице
à11 |
à12 |
|
, называется число |А| = |
|
a |
a |
|
a |
a |
|
a |
|
a . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
А = |
|
|
|
|
11 |
12 |
|
22 |
21 |
|||||
|
à21 |
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
11 |
|
|
12 |
||
|
à22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определителем 3-его порядка, соответствующим квадратной
a |
a |
a |
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
матрице А= a21 |
a22 |
a23 |
|
называется число |
|
a32 |
a33 |
|
|
a31 |
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|||
A |
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
a11a22a33 a12a23a31 a21a13a32 |
|
||||||
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
8
a31a22a13 a21a12a33 a11a32a23 a11 |
|
a22 |
a23 |
|
a12 |
|
a21 |
a23 |
|
a13 |
|
a21 |
a22 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a a |
|
|
a a |
|
|
a a |
|
|||||||
|
|
32 |
33 |
|
|
|
31 |
33 |
|
|
|
31 |
32 |
|
|
Минором Мij элемента аij называется определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i - строки и j- столбца.
Так, минором М23 определителя 3-его порядка является определитель, получаемый вычеркиванием второй строки и третьего
столбца из исходного определителя: |
М23= |
|
a11 |
a12 |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
a31 |
a32 |
|
|
Алгебраическим дополнением Аij |
элемента |
аij определителя |
||||
называется определитель, равный Аij = (-1)i+j Мij. |
|
|
|
Вычисление определителя по элементам строки или столбца.
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
aij Aij |
aij Aij |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
||
Так, по элементам второй строки вычислим определитель 3-его |
||||||||||||||||||||||||
порядка: |
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|А| = |
a2 j A2 j |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
a21 |
1 2 1 |
|
a12 |
a13 |
|
a22 |
1 2 2 |
|
a11 |
a13 |
|
a23 |
1 2 3 |
|
a11 |
a12 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
a31 |
a33 |
|
|
|
|
a31 |
a32 |
|
|
Операции над матрицами.
Суммой двух матриц А = (аij) и В = (bij), имеющих одинаковый
размер, называется матрица С =(сij), каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.
сij= аij+bij ; i =1,2, … , m, j =1,2, … , n.
Произведением матрицы А = (аij) на число λ называется матрица λА=( λ аij ), где каждый элемент матрицы А умножается на число λ.
Произведением матрицы А = (аij)mp на матрицу В = (bij)pn называется матрица С=(сij)mn=AB , элемент сij которой равен сумме
произведений соответствующих элементов i -ой строки матрицы А и j -ого столбца матрицы В:
9
p
cij aik bkj ai1b1 j ai2 b2 j aik bkj aipbpj. k 1
Произведение матриц имеет смысл только в случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Так, например,
|
1 |
2 |
|
|
3 |
1 |
2 |
|
1 3 2 5 |
1 1 2 0 |
1 2 |
2 |
1 |
|
13 |
1 |
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
5 |
0 |
1 |
|
|
|
3 |
3 |
4 5 |
3 1 4 0 |
|
|
|
|
|
29 |
3 |
10 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 4 1 |
|
|
|
|
Частный случай скалярное произведение векторов:
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
a a |
|
a |
|
|
1 |
|
a b |
a |
b |
a b . |
2 |
3 |
|
b |
|
||||||
1 |
|
|
2 |
1 1 |
|
2 2 |
3 3 |
|||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Квадратная |
матрица А называется вырожденной, если ее |
||
определитель |А| = 0, |
и невырожденной , если |
|А| ≠ 0. |
|
Обратной |
для |
невырожденной матрицы |
А называется |
матрица А-1 такая, что |
|
|
A A 1 A 1 A E ,
где Е – единичная матрица (по главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны 0).
Чаще всего обратную матрицу A-1 находят по формуле:
A 1 1A Aij T , где
Aij матрица, составленная из алгебраических дополнений исходной матрицы A aij . Значок «Т» обозначает транспонирование:
строки и столбцы матрицы меняются местами.
Так, обратная матрица А-1 для квадратной матрицы А 3-его порядка имеет вид :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
22 |
a |
23 |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
13 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
A11 |
A21 |
A31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
32 |
a |
33 |
|
|
|
|
|
a |
32 |
a |
33 |
|
|
|
|
|
a |
22 |
a |
23 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a21 |
a23 |
|
a11 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a13 |
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
A12 |
A22 |
A32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
A |
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
a31 |
a33 |
|
a31 |
a33 |
|
|
|
a21 |
a23 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
13 |
23 |
33 |
|
|
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
a |
21 |
a |
22 |
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
a31 |
a32 |
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Рассмотрим систему трех линейных алгебраических уравнений
10