10. Қатарлардың жинақтылық белгісі

Сандық қатар деп келесі түрдегі өрнекті айтамыз:

мұнда , , ..., , ... , сандары қатардың мүшелері деп аталады жәнеде олар өзара сандық тізбек құрайды.

сандық қатары жинақталады, егер кезде алғашқы n мүшесінің қосындысының шегі бар болса.

Бұл шек жинақталатын қатардың қосындысы деп аталады.

Егер де бар болмаса, онда қатар жинақталмайды. n нөмірін шексіз арттырғанда қатардың жалпы мүшесі нөлге ұмтылғанда ғана қатар жинақталуы мүмкін: . (Бұл кез келген қатар үшін қажетті, бірақ жеткілікті шарт емес.)

Егер де болса, онда қатар жинақталмайды. (бұл кез келген қатар үшін жинақталмаудың жеткілікті белгісі.)

Мүшелері оң сандық қатарлар үшін оларды жинақтылыққа зерттеудің келесідей жеткілікті белгіліері қолданылады:

Кошидің интегралдық белгісі. Мүшелері оң кемімелі қатары өзінің меншіксіз интегралының жинақталуы немесе жинақталмауына қарай жинақталады немесе жинақталмайды, мұнда –үзіліссіз кемімелі функция.

Даламбер белгісі. Егер болса, онда кезде қатар жинақталады, ал кезде қатар жинақталмайды. кезде қатардың жинақтылығы белгісіз болып қала береді.

Салыстыру белгісі. Егер мүшелері оң болатын

қатарды жинақталуы немесе жинақталмауы белгілі мүщелері оң болатын

басқа қатармен салыстырсақ және егер кейбір n нөмірінен бастасақ:

1. болып және қатары жинақталса, онда қатарыда жинақталады;

2. болып және қатары жинақталмаса, онда қатарыда жинақталмайды;

Бұл белгіні қолданып, қатарды жинақталыққа зерттеген кезде жиі не кезде жинақталатын, ал кезде жинақталмайтын

шексіз геометриялық прогрессиямен , не жинақталмайтын

гармоникалық қатармен салыстырамыз.

Мысал.

Қатарды қажеттілік белгісіне зерттейміз.

Яғни қатарды жинақтылыққа зерттеуге болады. Енді жеткіліктілік белгісіне зерттейміз. Оны Кошидің интегралдық белгісіне зерттейміз.

Тапсырмалар:

Жинақтылыққа зерттеңіздер.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.	;
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.

11. Таңбалары ауыспалы қатарлардың жинақтылық белгісі

Таңбалары ауыспалы қатар (мүшелерінің таңбалары әртүрлі)

абсолютті жинақталады дейміз, егер осы қатардың мүшелерінің абсолютті шамасынан құралған қатар жинақталса

Егер (2) қатар жинақталмаса, онда жинақталатын (2) таңбалары ауыспалы қатар абсолютті емес жинақталады.

Кез келген абсолютті жинақталатын қатар жинақталатын қатар болып табылады.

Таңбалары кезекпе-кезек ауысатын қатар

жинақталады, егер оның абсолютті шамалары бойынша алынған мүшелері нөлге ұмтылса, яғни егер және болса. (Лейбниц белгісі.)

Мысал.

Бұл таңбалары кезекпе-кезек ауыспалы қатардың мүшелері абсолююті шамасы бойынша кемиді және нөлге ұмтылады:

және

Сондықтан, Лейбниц белгісі бойынша, бұл қатар жинақталады. Бұл қатардың абсолютті не абсолютті емес жинақтылыққа зерттеу үшін мүшелерінің абсолютті шамаларынан тұратын қатарды жеткілікті белгіге зарттейміз. Оны Кошидің интегралдық белгісі бойынша зерттейік.

Мүшелері оң болатын қатар жинақталмайды. Бұдан қатар абсолютті емес жинақталады.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.