Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет морского и речного флота им. С.О. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Коллоквиум

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.11 Mб

Скачать

☆

Билет №1

Билет №2

Билет №3

Билет №4

Билет №5

Билет №6

Билет №7

Билет №8 Билет №9 Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами , степень которого не

меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Билет №10 Различают следующие виды простейших дробей:

Билет №11 Билет №12

Билет №13 Билет №14 При вычислении производной, наличие формул для производной суммы, разности, произведения, частного и композиции -- всех тех операций, при помощи которых элементарные функции образуются из минимального набора -- приводит к тому, что производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией. При нахождении неопределённых интегралов, однако, формул для первообразной произведения, частного и композиции нет. Это приводит к такому положению, что отнюдь не для любой элементарной подынтегральной функции можно "взять интеграл", то есть выразить некоторую первообразную для подынтегральной функции в виде некоторого выражения, использующего лишь элементарные функции. Дело не в том, что пока что не придумано способа это сделать, а в принципиальной невозможности: никакая из первообразных в случае "неберущегося" интеграла никаким образом не может быть выражена как комбинация элементарных функций, связанных знаками арифметических действий и знаками композиции. Не следует думать, что если такое представление невозможно, то и функции такой нет¹: можно считать, что для её выражения просто не хватает запаса рассматриваемых операций или запаса рассматриваемых исходных функций, и их надо расширить, то есть выйти за рамки множества функций, называемых элементарными². В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинах применяются многие неэлементарные функции; часто их называют специальными. К специальным функциям относятся и многие первообразные для элементарных функций, причём часто не столь уж "сложной" структуры. Интегралы, выражающиеся через такие первообразные, называются (по традиции, берущей начало в 18 веке) неберущимися. Итак, интеграл не берётся, если функция не является элементарной. Приведём примеры неберущихся интегралов и названия первообразных -- специальных функций, связанных с этими интегралами.

Пример 1.8 Неберущимся является интеграл

Здесь одна из первообразных, которую мы обозначили , выделяется из всего набора первообразных условием . Функция называется функцией Лапласа. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике. Возможность вычисления предусмотрена также на многих моделях калькуляторов (не самых дешёвых) и уж, обязательно, на тех, что предназначены для статистической обработки числового материала. Так что, с практической точки зрения, пользоваться функцией Лапласа ничуть не сложнее, чем, скажем, синусом, арктангенсом или натуральным логарифмом, которые мы условно относим к элементарным функциям.

Пример 1.9 Не берётся также интеграл

Доопределим подынтегральную функцию , полагая её равной 1 при . В соответствии с тем, что , доопределённая функция будет непрерывна на всей числовой оси. Среди её первообразных выделим ту, для которой . Эта неэлементарная функция называется интегральным синусом и обозначается . Именно её мы использовали в приведённой выше формуле.