C1-2011

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

летворяют решения

летворяют решения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

449.67 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011

Отбор корней в тригонометрических уравнениях

(типовые задания С1)

Корянов А.Г., г. Брянск akoryanov@mail.ru

Прокофьев А.А., г. Москва aaprokof@yandex.ru

СОДЕРЖАНИЕ стр.

1.Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.……….. 1

2.Отбор общих корней в нескольких сериях решений тригонометрического уравнения………………….. 1

3.Отбор корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным усло-

виям………………………………….. 2

а) корни уравнения принадлежат промежутку……………………... 2

б) корни уравнения удовлетворяют неравенству……………………… 4

4.Отбор корней уравнения, связанный с методом замены……………... 4

5.Уравнения, содержащие дробные выражения…………………………... 5

6.Уравнения, содержащие иррациональные выражения……………. 6

7.Уравнения, содержащие показательные выражения………………… 8

8.Уравнения, содержащие логарифмические выражения…………... 8

9.Уравнения, содержащие модули... 9

10.Уравнения, содержащие обратные тригонометрические выраже-

ния…………………………………… 10

11.Комбинированные уравнения…. 10

12.Упражнения……………………... 12

Список и источники литературы.…. 21

1.Способы отбора корней

втригонометрических уравнениях

При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов.

● Арифметический способ:

а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения; б) перебор значений целочисленного па-

раметра и вычисление корней. ● Алгебраический способ:

а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней; б) исследование уравнения с двумя цело-

численными параметрами. ● Геометрический способ

а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений; б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.

2. Отбор общих корней в нескольких сериях решений тригонометрического уравнения

Пример 1. Решить уравнение:

cosxcos5x 0.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений


cosx 0,	x		k,
cosx 0,	x	2	k,		k,n Z.
		2		n	k,n Z.
cos5x 0				n
	x				,
	x	10		5	,
		10		5


Рассмотрим уравнение		k			n	.
			10
	2			5
После	преобразований		получаем
n 5k 2.	Следовательно, вторая			серия

решений включает в себя первую серию решений.

Отбор корней удобно проводить на тригонометрической окружности, используя градусную меру полученных решений x 90 k 180 или x 18 n 36 .

25.12.2010

www.alexlarin.narod.ru

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Ответ: n , n Z . 10 5

Пример 2. Решить уравнение:

cosx cos3x 2.

Решение. Из неравенств cosx 1 и

cos3x 1 следует, что равенство воз-

можно только в том случае, когда оба слагаемых одновременно будут равны 1.

cosx cos3x 2				cosx 1,
cosx cos3x 2
				cos3x 1
	x 2 n,
		2 k		n, k Z.
		2 k		n, k Z.
	x		,
	x	3	,
		3

Вторая серия решений включает первую серию, поэтому имеем решение системы x 2 n, n Z.

Ответ: 2 n, n Z.

25.12.2010

www.alexlarin.narod.ru

Пример 3. Решить уравнение:

sin7x cos4x 1.

Решение. Воспользовавшись формулой преобразования произведения синуса и косинуса в сумму, приводим уравнение к виду sin11x sin3x 2, откуда полу-

чим	sin11x 2 sin3x.		Так как при	лю-
бом	значении	x	sin11x 1,	а
2 sin3x 1,		то	равенство

sin11x 2 sin3x может выполняться в том и только в том случае, когда

				2 n
sin11x 1,	x					, n Z,
	x	22		11		, n Z,
		22		11
			2 m
2 sin3x 1			2 m
	x	6		3	, m Z.
		6		3

Найдем такие целые значения n и m, при которых решения в полученных се-

риях совпадают		2 n			2 m	,
			6
22	11			3

т.е. 3n 2 11m. Выражая из последнего

равенства n, получаем n 3m 2m 2 . 3

Так как n – целое, то последнее равенство возможно, только если 2m 2 делится на 3, т.е. 2m 2 3k, k Z. Отсюда

m 1 k k . Поскольку m должно быть

2
целым, то k	должно быть четным. Если
k 2p,	где	p Z,	то

m 1 2p 2p 3p 1. Следовательно, 2

x 2 (3p 1) 2 p . 6 3 2

Ответ: 2 p, p Z. 2

3. Отбор корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям

а) корни уравнения принадлежат промежутку

Пример 4. Найти все решения уравнения sin 2x cosx, принадлежащие про-

		3
межутку	;		.
		4

Решение. Приведем уравнение к виду

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

cosx(2sin x 1) 0.

Отсюда	получаем												два					уравнения
cosx 0	или sin x							1		.
cosx 0	или sin x									.
					2
1) cosx 0,			x						n;						n Z.
1) cosx 0,			x						n;						n Z.
					2
Если n 0, то x																		3
							,							;							.
					2		,			2				;							.
					2					2							4
Если n 1, то x					3						3									3
									,						;							.
									,	2					;							.
					2					2							4
Если n 1, то x																							3
												,				;								.
												,				;						4		.
Если n 2, то					2									2								4
Если n 2, то
x		3				3											3
				,									;						.
				,									;						.
	2				2												4

2) sin x 1 ,

x 2 n или x 5 2 n, n Z.

	6								6		3
			0, то x				,				3
Если n										;		или
Если n										;	4	или
						6	6				4
x	5			5		3
		,			;			.
	6	,	6		;	4		.
	6		6			4

Если n 1, то для первой серии решений

x	13					13					3
					,			;					.
						6
	6										4
Если n 1, то
x	11					11				3
			,					;						или
	6					6
											4
x		7					7					3
				,					;					.

	6					6				4

Замечание. Другой вариант отбора корней можно провести на тригонометрическом круге, учитывая, что общий наименьший положительный период функций sin x и cosx, входящих в уравнение, равен 2 .

Ответ:	;		;		.
		2		6
2

Пример 5. Найти все решения уравнения sin2 2x sin2 3x 1, принадлежащие отрезку [1;2].

Решение. Воспользуемся формулами понижения степени и преобразования суммы функций в произведение

sin2 2x sin2 3x 1
25.12.2010	3
www.alexlarin.narod.ru

1 cos4x

1 cos6x

cos4x cos6x 0

2cos5xcosx 0

cos5 x 0,

k Z

cosx 0

x k , k Z (см. Пример 1). 10 5

Решим двойное неравенство

1 k 2 10 2 k 20

105

10 2 k 20


		10					k					20

			2											2
				5		1		k					10				1	.

					2											2
Так как	5		1		5					1				17	,
					3,2
	2								2		16

10 1 10 1 17 и k Z, то k 2.2 3 2 6

Тогда x 2 . 10 5 2

Ответ: . 2

Пример 6. Указать количество корней уравнения

ctg3x sin 6x cos6x cos12x 0

на промежутке [0;2 ].

Решение. Умножая обе части уравне-

ния на sin3x 0,	получаем
sin3x sin3x cos12x 0,
sin3x(1 cos12x) 0. Отсюда имеем
			n
cos12x 1,		x		,
		x		,
			6 n,k Z
			6 n,k Z
sin3x 0			k
		x	3		,
			3

Проведем отбор корней, используя тригонометрическую окружность. Для этого полученные значения в серии решений и серии ограничений изобразим на тригонометрической окружности и в от-

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

вет запишем количество не совпавших в обеих сериях значений переменной х.

Ответ: 6.

б) корни уравнения удовлетворяют неравенству

Пример 7. Найти все корни уравнения

(2sin x 1)(2sin x 3) 0,

удовлетворяющие неравенству cosx 0.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений


				x				2 n,
				x		6		2 n,
		1				6
sin x						5
			,	x		5			2 n,
			,	x					2 n,
		2				6
		2				6				n,k Z.
	3									n,k Z.
sin x	3			x		2 k,
sin x				x		2 k,
	2				3
	2				3
				x	2		2 k,
				x			2 k,
					3
					3

Изобразим полученные решения на тригонометрической окружности. Каждому уравнению соответствуют две точки на тригонометрической окружности. В ответ запишем только решения, расположенные на дуге окружности, соответствующей неравенству cosx 0, т.е. лежащие в I и IV четвертях.

25.12.2010

www.alexlarin.narod.ru

Следовательно, данному условию удов-

Ответ: 2 k , 2 n , n,k Z.

4.Отбор корней уравнения, связанный с методом замены

Пример 8. Решить уравнение:

2sin4 x sin2 x 1 0.

Решение.

Обозначим

sin2

x t, где

0 t 1.

Тогда

получим

квадратное

уравнение 2t2 t

1 0,

имеющее корни

t1 1

и t2

(не удовлетворяет усло-

sin2 x 1

вию

0 t

1). Для уравнения

имеем

1 cos2x

cos2x 1;

2x 2 n,

n, n Z .

Ответ:

n, n Z .

Пример 9. Решить уравнение:

arccos2 x 8arccosx 15 0.

Решение.

Положим arccosx t. Так

как

множество

значений

функции

arccosx – отрезок 0; , найдем решения

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

уравнения t2 8t 15 0, удовлетворяющие условию 0 t . Такой корень

один: t 3. Если	t 3,	то arccosx 3,
откуда x cos3.		Ответ: cos3.
		Ответ: cos3.

5. Уравнения, содержащие дробные выражения

Пример 10. Решить уравнение:

cosx 1 sin x. 1 sin x

Решение. Данное уравнение равносильно системе

	cosx (1 sin x)(1 sin x),

	1 sin x 0
		2	x 0,			cosx 0,
		2
cosx cos
						cosx 1,
sin x 1
						sin x 1

	x			n,
	x		2	n,
			2		n,k,m Z

	x 2 k,

x 2 m,2

Для отбора корней используем тригонометрический круг.

Ответ: 2 n, 2 k, n,k Z. 2

Пример 11. Решить уравнение:

cos2x cosx 1 0.
tgx 1
Решение. Данное уравнение равно-
сильно системе
25.12.2010	5
www.alexlarin.narod.ru

cos2x cosx 1 0,


cosx 0,

tgx 1 0
	cosx(2cosx 1) 0,

	cosx 0,

	tgx 1

		1		x			2 k,
		1		x			2 k,
cosx			,			3
cosx		2	,			3
		2

cosx 0,				x		n,
cosx 0,				x	2	n,
	tgx 1				2
	tgx 1

				x		m,
				x	4	m,
					4

k,m,n Z.

Ответ: 2 k, k Z.

Пример 12. Решите уравнение:

sin2 x

tgx

Решение. Уравнение определено при

условиях sin x 0

и cosx 0. Используя

тригонометрические

формулы,

получим

ctg2x ctgx 0.

Отсюда ctgx 0 или

ctgx 1.

Корни

первого

уравнения

n, n Z,

не удовлетворяют не-

равенству

cosx 0.

Решения

второго

уравнения

k, k Z,

удовлетво-

ряют условиям sin x 0 и cosx 0. Действительно, так как число 2 является общим наименьшим положительным пе-

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

риодом функций ctgx, sin x и cosx, то достаточно рассмотреть точки на тригонометрическом круге (сделайте рисунок), соответствующие условиям ctgx 1, sin x 0 и cosx 0.

Ответ: x k, k Z. 4

Замечание. Замена выражения 1 sin2 x

на выражение 1 ctg2 x является тождественным преобразованием при условии

sin x 0, а замена 1 на ctgx может tgx

привести к появлению посторонних кор-

ней x n, n Z. 2

Пример 13. Решить уравнение:

cosx sin 2x 1. cos3x

Решение. Общий наименьший поло-

жительный		период функций															cosx,
cos3x, sin 2x		равен 2 . Поэтому доста-
точно рассмотреть решения уравнения на
промежутке [0;2 ).
Умножим обе части уравнения на
cos3x 0. Далее получаем
cosx sin 2x cos3x
cos3x cosx sin 2x 0
2sin 2xsin x sin 2x 0
														sin 2x 0,
sin 2x(2sin x 1)								0										1
sin 2x(2sin x 1)								0						sin x				1	.
														sin x					.
																	2
		k
x					,
x		2			,
		2

x						2 l,				k, l, m Z.
x						2 l,				k, l, m Z.
		6
		7
		7				2 m,
x		6				2 m,
		6
На промежутке [0;2 ) содержатся
корни 0,	, ,		3				,	7	,		11			. Из условия
корни 0,	, ,			2			,	6	,	6				. Из условия
2				2				6		6			n
cos3x 0 получаем								x					n		,		n Z, а
cos3x 0 получаем								x		6					,		n Z, а
										6				3
на промежутке						[0;2 )						x				,	x			,
на промежутке						[0;2 )						x				,	x			,
														6			2
25.12.2010																	6
www.alexlarin.narod.ru

, x

. Таким

образом,

остались числа 0 и , а значит,

исходное

уравнение имеет

множество

корней x t,t Z.

Ответ: t, t Z.

Пример 14. Решить уравнение:

6sin xcosx sin 2xsin

Решение. Воспользуемся

формулой

синуса двойного аргумента

3sin 2x sin 2xsin

sin 2x

3 sin

Так как 3 sin 2 0, то последнее x

уравнение равносильно системе

sin2x 0,		k
	x		, k Z, k 0.
		2
x 0,

Ответ: k , k Z, k 0. 2

6. Уравнения, содержащие иррациональные выражения

Пример 15. Решить уравнение:

5cosx cos2x 2sin x 0.

Решение. Перепишем уравнение в ви-

де

5cosx cos2x 2sin x.

Последнее уравнение равносильно системе

				2	x,
5cosx cos2x 4sin

sin x 0.
Решим уравнение системы
5cosx (2cos2		x 1) 4(1 cos2 x);
2cos2 x 5cosx 3 0.
Отсюда cosx	1	или cosx 3(нет кор-

2			1
ней). Из уравнения cosx					получаем

		2

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

x				2 n, n Z,												или						x										2 n,
x				2 n, n Z,												или						x										2 n,
	3																													3
n Z .
	Проверим для полученных значений x
выполнение условие sin x 0:

																										3					3
	sin					2 n sin																						,					0;
	sin					2 n sin															2							,		2			0;
			3												3						2									2

																											3							3
sin				2 n					sin																				,						0.
sin				2 n					sin																2				,				2		0.
	3													3											2								2
											Ответ:													2 n, n Z.
											Ответ:													2 n, n Z.
																				3
	Пример 16. Решить уравнение:

									1				1					ctg x.
									1									ctg x.
													sin x
	Решение. Данное уравнение равно-
сильно смешанной системе
													ctgx 0,
													1
							1						1				ctg2						x.
							1										ctg2						x.
												sin x
												sin x
	Вначале решим уравнение:
							1						1		ctg2 x;
							1				sin x				ctg2 x;
											sin x
						1			1						1							1;
						1										sin2 x						1;
										sin x						sin2 x
					1								1												1
		1																1												1			;
		1				sin x												1												1			;
						sin x				sin x										sin x
									1											1
					1								2													0 .
					1								2													0 .
								sin x											sin x

В области определения, которое задается условием sin x 0, последнее уравнение распадается на два, равносильных ему в совокупности уравнения:

1) 1	1	0; sinx 1;

sin x

x 2 n, n Z.

2
2) 2	1		0; sin x			1	;

	sin x				2
x 1 n				n, n Z.

		6
Отберем		значения			x, удовлетворяю-
щие условию ctgx 0.
25.12.2010					7

www.alexlarin.narod.ru

Для		корней		первой	серии

ctg		2 n	0,	следовательно,	усло-
	2

вие	ctgx 0		выполнено для		всех

x 2 n, n Z.

Для корней второй серии

		n				n
ctg	( 1)		n	ctg	( 1)
		6				6

3,если nчетно,

3,если nнечетно.

Таким образом, условие ctgx 0 выполнено только для четных значений

n (n 2m, m Z), т.е. для x 2 m.

Ответ: 2 n, 2 n, n Z.

2 6

Пример 17. Решить уравнение:

cos2 x2 3 . 2

Решение. Рассматривая данное уравнение как простейшее тригонометрическое уравнение, получим

2 x2 2 n, n Z. 6

Так как 2 x2 2, то 0 2 x2 2.

Из всех чисел вида 2 n, n Z от- 6

резку [0;2] принадлежит только число

. Поэтому последнее уравнение равно- 6

сильно уравнению

2 x2 . 6

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

x2	2	2	, откуда x 2	2
x2	2		, откуда x 2			.
	36			36
			Ответ:				2
					2			.
					2			.
				36

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

7. Уравнения, содержащие показательные выражения

Пример 18. Решить уравнение:


3cosx cos x
3cosx cos x
			27 .


		3cosx
	3	3cosx

Решение. Преобразуем данное уравнение


cos2 x	3		cos x			3

3	2			32			;
		cosx			3
cos2 x	3						0.

2				2

Обозначив cosx t, где 1 t 1, получим для неизвестной t квадратное уравнение 2t2 3t 3 0, которое имеет

корни t	3	и t			(не удовлетво-
	3		2	3
				3
1	2
	2

ряет условию 1 t 1).

Выполнив обратную замену, из урав-

нения cosx 3 получаем

x 5 2 n, n Z. 6

Ответ: 5 2 n, n Z. 6

Пример 19. Решить уравнение:

Решение. Так как x 0, то 3 x 1. Левая часть уравнения ограничена, так

		13x
как 1 cos	22		1. Поэтому

		4

данное уравнение равносильно системе

				13x
cos			22		1,
cos			22	4	1,
				4

	x	1
3		1

cos22 1(верно),

x 0

Ответ: 0.

25.12.2010

www.alexlarin.narod.ru

8. Уравнения, содержащие логарифмические выражения

Пример 20. Решить уравнение:

log2 (sin x) log2 ( cosx).

Решение. Данное уравнение равносильно системе

sin x cosx,

sin x 0.

Из уравнения системы получаем

tgx 1, x			n,	n Z. Неравенст-
tgx 1, x			n,	n Z. Неравенст-
4
ву sin x 0 удовлетворяют							числа
x	3	2 n, n Z.
x		2 n, n Z.
4					3
		Ответ: x			3	2 n,	n Z.
		Ответ: x				2 n,	n Z.
				4
Пример 21. Решить уравнение:
		log2 ( sin x) log2 (cosx) 2
Решение. Данное уравнение равно-
сильно смешанной системе:
		sin x 0,

		cosx 0,

log2 ( sin xcosx) 2

sin x 0,

cosx 0,

sin xcosx 0,25.

Решим вначале уравнение этой системы:

sin xcosx 0,25					sin2x 0,5

2x			2 n, n Z,
2x	6		2 n, n Z,
	6
	5
	5
2x				2 k, k Z,
2x	6			2 k, k Z,
	6

x					n,	n Z,
x					n,	n Z,
	12
		5
		5
x					k,	k Z.
x					k,	k Z.
	12

Условиям sin x 0 и cosx 0 удовлетворяет совокупность значений x, принадлежащих четвертой координатной четверти. Тогда решения исходного уравнения можно записать следующим образом:

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

12 2 n, n Z,

x 5 2 k, k Z.12x

Ответ: 2 n, n Z ; 5 2 k , 12 12

k Z.

9. Уравнения, содержащие модули Пример 22. Решить уравнение:

| cosx | 3sin x .

Решение. Из данного уравнения получаем равносильную систему

cosx
cosx	3sin x,				3
				tgx	3
				tgx	3 ,
cosx		3sin x,			3 ,


sin x 0				sin x 0,

	x			n,
	x		6	n,
			6	n Z .

sin x 0,

Так как функции tgx и sin x имеют общий наименьший положительный период 2 , то отбор корней проведем на тригонометрическом круге (сделайте рисунок).

Ответ: 2 k;5 2 n, k,n Z. 6 6

Пример 23. Решить уравнение:

| cosx| cosx 2sin x.

Решение. Рассмотрим два множества значений неизвестной x на числовой прямой, на которых cosx 0 и cosx 0.

1) Пусть cosx 0, тогда данное уравнение принимает вид:

cosx cosx 2sin x sin x 0

x n, n Z.

Условию	cosx 0 удовлетворяют
только значения x 2πn, n Z.
2) Для	условия	cosx 0 исходное
уравнение перепишем так:
cosx cosx 2sin x		sin x cosx 0
tgx 1 x			k, k Z.

		4
25.12.2010		9
www.alexlarin.narod.ru

Условию cosx 0			удовлетворяют
только значения x	3	2 k, k Z.

4			3
Ответ: 2πn, n Z;				2 k, k Z.
			4

Пример 24. Решить уравнение:
7\|cosx\| 4cosx 3\|sin x\| 2sin x.

Решение. Рассмотрим значения синуса и косинуса по четвертям координатной

окружности.
Первая		четверть: 3cosx 5sin x
tgx	3		x arctg		3	2 k, k Z.

5				5
Вторая четверть:				11cosx 5sin x
tgx			11	x arctg			11	2 l,

l Z.		5		5

Третья четверть:				11cosx sin x
tgx 11				x arctg11 2 m,

m Z.

Четвертая четверть: 3cosx sin x

tgx 3 x arctg3 2 n, n Z.

Ответ: arctg	3	2 k,	arctg	11	2 l,

5			5
arctg11 2 m,			arctg3 2 n, где
			k,l,m, n Z.

Пример 25. Решить уравнение:

(3sin 0,25x 4)2

sin2 0,25x 6sin 0,25x 9 1 2 .

Решение. Имеем

| 4 3sin0,25x | |3 sin0,25x | 1 2 .

Так как при всех x R

4 3sin0,25x 0,

3 sin0,25x 0,

то получаем

1 2sin0,25x 1 2;

sin0,25x 2 ; 2

x ( 1)n 4 n, n Z.

Ответ: ( 1)n 4 n, n Z.

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

10.Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

Пример 26. Решить уравнение:

arccos(x2 3) arccos(x 3).

Решение. Уравнение равносильно системе

	2	3 x 3,		2	x 6 0,
x		3 x 3,	x		x 6 0,
1 x 3 1			4 x 2
		x 2,
				x 2.
		x 3,		x 2.

4 x 2

Ответ: 2.

Пример 27. Решить уравнение:

arccosx arcsin 2x .

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется условиями x 1, 2x 1, т.е. x 0,5. Более того,

поскольку значения арккосинуса ограничены отрезком 0, , а арксинуса – отрез-


ком		;		, то равенство левой и пра-
	2		2

вой частей уравнения возможно только в случае, если их значения лежат на отрез-


ке	0;		, т.е. с учетом области допусти-
		2

мых значений переменной x имеем

0 x 0,5.

Таким образом, решение уравнения следует искать на множестве 0 x 0,5.

Так как функция y cost

убывает на от-

0;0,5 урав-

резке

, то на отрезке

нение

равносильно

arccosx arcsin 2x

уравнению

cos arccosx cos arcsin 2x ,

которое,

в свою очередь,

на 0;0,5

рав-

носильно

уравнениям:

1 4x2 ,

x2 1 4x2 ,

5x2 1,

(при

0 x 0,5).

Ответ:

25.12.2010

www.alexlarin.narod.ru

Пример 28. Решить уравнение:

arccos3x 4 x 6 . 1 2x

Решение. В соответствии с определением арккосинуса запишем ограничения, которым должна удовлетворять переменная x. Область допустимых значений уравнения определяется условиями

1 3x 4 1, а поскольку значения

1 2x

арккосинуса ограничены отрезком 0, , то для выполнения равенства необходимо выполнение условия 0 x 6 . Получаем систему неравенств

					3x 4		1,
	3x 4						1,
	3x 4
1		1,			1 2x
1	1 2x	1,			1 2x
	1 2x				3x 4
							1,
							1,
0 x 6					1 2x
					0 x 6 1
	x 5		0,

	1 2x
	1 2x
						x 5.
	5x 3					x 5.
				0,
		1 2x		0,
		1 2x
	6 x 5

Подставляя полученное единственное значение x 5 в исходное уравнение, получим

arccos3 ( 5) 4 ( 5) 6 , 1 2 ( 5)

arccos 11 или arccos( 1) верно. 11

Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение x 5.

Ответ: 5.

11. Комбинированные уравнения

Пример 29. Решить уравнение:

	(2cosx 1)log13			(3tg	2 x)
						0.
			log31 (2sinx)			0.
			log31 (2sinx)
Решение. Из данного уравнения полу-
чаем два			уравнения	cosx 0,5 или
tgx
		3	при условии
			при условии
3

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.20153.41 Mб16BTT_BROShURI_005_T_-_5_V_KhOD_ChAST____200.doc
#
14.02.2015427.52 Кб16BTT_BROShURI_017_VODINNYa_BTR-70__2008.doc
#
14.02.2015495.1 Кб6Budova_rechovini_M.doc
#
12.11.20192.2 Mб1Bugrim_metodichka_DVS_MATLAB_izm.doc
#
15.02.2015344.73 Кб10BZhD_RGR_2013.docx
#
15.02.2015449.67 Кб30C1-2011.pdf
#
15.02.20152.21 Mб24C2-2011.pdf
#
15.02.2015849.86 Кб11C3-2011.pdf
#
15.02.20151 Mб8C4-2011.pdf
#
12.03.20161.5 Mб45chimiya.pdf
#
13.11.201844.07 Кб1CodingStandards_valid.docx