Контрольні запитання.

1. Які системи числення називають позиційними?

2. Що називають основою системи числення?

3. Чому двійкова система числення стала основною для електронної техніки?

4. Дайте означення тетради та триади.

5. Сформулюйте алгоритми переведення чисел з однієї системи числення в іншу.

6. Виконайте вправи: Перетворити в десятковий код наступні двійкові числа: а) 0001; б) 0101; в) 1000; г) 1011; д) 1111; е) 0111.

7. Перетворити в десятковий код наступні двійкові числа: а) 1000 0000; б) 0001 0000; в) 0011 0011; г) 0110 0100; д) 0001 1111; е) 1111 1111.

8. Перетворити у двійковий код наступні десяткові числа: а) 23; б) 39; в) 55; г) 48.

9. Виконайте перетворення: 204₁₀ =___₂

1110 1110₂ = __₁₀

Лабораторна робота № 3.

Тема:	Переведення десяткових чисел в двійкові з записом у вісімковій та шістнадцятковій СЧ.
Мета роботи: Зміст роботи: Організаційні та методичні вказівки:	Набуття практичних навичок переведення чисел з однієї системи числення в іншу. Ознайомлення з можливостями калькулятора «Інженерний» стандартного офісного пакету MW для переведення чисел у системи числення, що застосовують у ЕОМ. Повторення теоретичних відомостей про системи числення та застосування навичок переведення чисел з однієї системи числення в іншу. Застосування засобів Microsoft Windows для виконання переведення чисел у двійкову та шістнадцяткову системи числення. Лабораторну роботу проводять після вивчення тем “Системи числення. Переведення чисел з однієї системи числення в іншу. ” з підгрупою студентів в два етапи: 1. Підготовчий етап: Вивчення можливостей виконання операцій над числами засобами калькулятора «Інженерний» стандартного офісного пакету MW. Повторення алгоритмів переведення чисел з однієї системи числення в іншу. 2. Виконавчий етап: Виконання індивідуальних завдань. Перевірка правильності виконання дій засобами Microsoft Windows.
Технічне забезпечення:	Персональний комп’ютер, дискета.
Програмне забезпечення:	Windows 98/XP, Microsoft Excel.
Час:	80 хвилин.

Теоретична частина

Загальні відомості про системи числення

Система числення - сукупність прийомів і правил для зображення чисел за допомогою символів (цифр), що мають певне кількісне значення. Залежно від способів зображення чисел цифрами системи числення діляться на непозиційні і позиційні. В ЕОМ застосовуються позиційні системи числення. Непозиційні системи числення у ОТ не використовуються через свою громіздкість і складність правил виконання дій.

Позиційною системою числення називається така, в якій кількісне значення кожної цифри залежить від її позиції (місця) в числі. Прикладом може служити звичайна (арабська) десяткова система числення. Наприклад, число 373, представлене в десятковій системі числення, має в молодшому і самому старшому розрядах цифру 3. Цифра 3 в старшому розряді має вагу в 100 разів більше, ніж в молодшому розряді. В позиційній системі числення будь-яке числоможе бути подано у вигляді наступної суми:

, де k - загальна кількість розрядів в зображені числа; a_i- цифра і - го розряду; d - основа системи числення;

і - порядковий номер розряду.

Цифри, необхідні для побудови системи числення, повинні задовольняти нерівність

. Основою системи числення d називається кількість знаків або символів, що використовуються для зображення числа в даній позиційній системі числення. За основу d можна прийняти будь-яке число.

Використовування в ЕОМ позиційних системах числення дозволяє значно спростити зображення чисел і операції з ними.

Позиційні системи числення, що використовують в ЕОМ.

Від вибору системи числення при проектуванні ЕОМ залежать такі її характеристики, як швидкість обчислень, об'єм пам'яті, складність алгоритмів виконання арифметичних операцій. З погляду технічної реалізації якнайкращою є двійкова система числення, оскільки для побудови ЕОМ знайшли широке застосування двохпозиційні елементи. Двійкова система числення в ЕОМ є основною

системою числення, в якій здійснюються арифметичні і логічні перетворення інформації в пристроях ЕОМ. Будь-яке число з двійкової системи числення може бути переведено в десяткову за допомогою формули розкладання:

Основним недоліком використовування двійкової системи числення є необхідність перекладу початкових числових даних з десяткової системи числення в двійкову, а результатів виконання дій - з двійкової системи числення в десяткову. Операції, пов'язані з перекладами чисел в двійкову систему числення і назад, виконуються ЕОМ по спеціальних підпрограмах з використанням допоміжної двійково-десяткової системи числення.

Вісімкова система числення має основу d=8 і а_і=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Будь-яке вісімкове число може бути представлене за допомогою формули розкладання десятковим еквівалентом, наприклад:

Запис команд програми у вісімковій системі числення у три рази коротше, ніж в двійковій.

Шістнадцяткова система числення має основу d=16 і а_і=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. При такому зображенні цифр у шістнадцятковій системі числення буква А зображає десять, B – одинадцять, З – дванадцять, D – тринадцять, E – чотирнадцять, F – п'ятнадцять.

Шістнадцяткова система числення так само, як і вісімкова, використовується при складанні програм для коротшого і зручнішого запису двійкових кодів – команд. Крім того в деяких ЕОМ шістнадцяткова система числення застосовується для представлення чисел в напівлогарифмічній формі.

Переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу.

Переведення цілих чисел. Щоб перевести ціле число з однієї системи числення з основою d₁ в іншу з основою d₂ необхідно послідовно ділити це число і одержувані частки на основу d₂ нової системи до тих пір, поки не вийде частка, менша за основу d₂. Остання основа – старша цифра числа в новій системі числення з основою d₂, а наступні за нею цифри – це залишки від ділення, записувані в послідовності, зворотній їх отриманню.

Примітка: При виконанні переведення чисел з однієї системи числення в іншу всі необхідні арифметичні дії виконуються в тій системі числення, в якій записано число, що переводиться.

Приклад 1.1 Перевести число 25₁₀ у двійкову та вісімкову систему числення:

а)	25	2				б)	25	8
	24	12	2				24	3
напрям читання	1	12	6	2			1
напрям читання		0	6	3	2
			0	2	1
				1

Шукані числа пишуться у вигляді (25)₁₀=(11001)₂=(31)₈.

Зробимо перевірку переведення зворотнім переведенням шуканих чисел у десяткову систему числення:

а) (11001)₂=12⁴+12³+02²+01¹+12⁰=16+8+0+0=1=(25)₁₀.

б) (31)₈=3·8¹+1·8⁰=24+1=(25)₁₀.

Переведення правильних дробів. Для того щоб перевести правильній дріб з системи числення d₁ у систему з основою d₂, необхідно послідовно множити вихідний дріб і дробові частини отриманих добутків на основу d₂ нової системи числення. Правильний дріб у новій системі числення з основою d₂ формується у вигляді цілих частин отриманих добутків починаючи з першого.

При переведенні правильних дробів з однієї системи числення у другу можна отримати дріб у вигляді нескінченного ряду. Процес переведення можна закінчити, якщо з’явиться дробова частина, яка має у всіх розрядах нулі, або буде досягнута задана точність переведення, тобто отримана потрібна кількість розрядів результату.

Якщо точність переведення дорівнює d₂^-q, то після q множень на d₂ записують усі знайдені цілі частини у порядку їх знаходження. Знайдений запис буде подавати дробову частину числа у новій системі числення.

Приклад 2. Десятковий дріб 0,3126 перевести у двійкову систему числення з точністю до 2^-4.

0,3126		0,6252		0,2504		0,5008
x 2		x 2		x 2		x 2
0,6252 напрям читання		1,2504		0,5008		1,0016

Тобто шукане число запишеться у вигляді: (0,3126)₁₀=(0,0101)₂, а найбільша помилка буде 2^-4.

Перевірку проведемо переведенням знайденого двійкового числа у десяткове:

(0,0101)₂=02^-1+12^-2+02^-3+12^-4=1/4+1/16=6/16=(0,3125)₁₀.

Приклад 3. Десятковий дріб 0,6 перевести у вісімкову систему числення з точністю 8^-5.

0,6		0,8		0,4		0,2		0,6
x 8		x 8		x 8		x 8		x 8
4,8		6,4		3,2		1,6		4,8

напрям

При переведенні обмежуємося п’ятьма розрядами (q=5). Тоді шукане число запишеться у такому вигляді: (0,6)₁₀=(0,46314)₈, а найбільша помилка буде (≤8^-5).

Переведення змішаних чисел. При переведенні змішаних чисел з одної системи числення у другу, необхідно у нову систему перекласти окремо його цілу та дробову частини по правилам переведення цілих чисел та правильних дробів, а потім два результати об’єднати в одне змішане число нової системи числення.

Приклад 4. Перекласти десяткове мішане число 159,75 у двійкову систему числення з точністю 2^-3.

(159)₁₀=(10011111)₂;

(0,75)₁₀=(0,11)₂,

(159,75)₁₀=(10011111,11)₂.

Переведення чисел з вісімкової системи числення у двійкову і навпаки.

Для переведення числа з вісімкової системі числення у двійкову необхідно кожну цифру числа записати трьохрозрядним двійковим числом (триадою). Так як цифра вісім є степеню двійки (8=2³), то вісімково-двійковий код співпадає з двійковим.

Приклад 5. Записати число (325,27)₈ у двійковій системі числення.

(325,27)₈=(011 010 101, 010 111)_8-2=(11010101,01011)₂.

Примітка. Незначні нулі зліва для цілих чисел і справа для дробів не записують.

Для переведення числа з двійкової системи числення у вісімкову необхідно розбити це число вправо та вліво від коми на групи по три розряди – тріади і замінити кожну групу відповідною цифрою вісімкової системі числення. Крайні неповні тріади доповнюють нулями.

Приклад 6. Записати число (10111011, 01101)₂ у вісімковій системі числення.

(10111011,01101)₂=(010 111 011, 001 010)_8-2=(273,32)₈.

Переведення чисел з шістнадцяткової системи числення у двійкову та навпаки.

Для переведення числа з шістнадцяткової системи числення у двійкову необхідно кожну цифру цього числа замінити тетрадою – чотирьохрозрядним двійковим числом. Так як шістнадцять є степеню двійки (16=2⁴), то шістнадцятирічно-двійковий код співпадає з двійковим кодом.

Приклад 7. Записати число (C876,F3)₁₆ у двійковій системі числення.

(C876.F3)₁₆=(1100 1000 0111 0110, 1111 0011)_16-2=

=(1100100001110110, 11110011)₂.

Для переведення числа з двійкової системи числення у шістнадцяткову, необхідно розбити це число вправо і вліво від коми на тетради та представити кожну тетраду відповідною цифрою шістнадцяткової системи числення.

Приклад 8. Записати число (1011101101, 101101101)₂ у шістнадцятковій системі числення.

(1011101101,101101101)₂ =(0010 1110 1101, 1011 0110 1000)_16-2=

=(2ED, B68)₁₆.

Переведення чисел з десяткової системи числення в двійкову з проміжним переведенням у вісімкову або шістнадцяткову систему.

Для переведення чисел з десяткової системи числення у двійкову зручно використовувати проміжкове переведення у вісімкову або шістнадцяткову систему по загальним правилам, а потім найдене вісімкове або шістнадцяткове число записати у двійковій системі числення.

Приклад 9. Перевести (1972)₁₀ у двійкову систему числення з використанням вісімкової (а) и шістнадцяткової (б) системі числення.

а) (1972)₁₀=(3664)₈;

(3664)₈=(011 110 110 100)_8-2;

(1972)₁₀=(11110110100)₂.

б) (1972)₁₀=(7B4)₁₆;

(7B4)₁₆=(0111 1011 0100)_16-2;

(1972)₁₀=(11110110100)₂.

Порядок виконання роботи

1. Повторіть алгоритми переведення чисел з однієї системи числення в іншу.

2. Ознайомтеся з можливостями калькулятора «Інженерний» стандартного офісного пакету MW для переведення чисел у системи числення, що застосовують у ЕОМ. Для цього необхідно виконати послідовність таких дій:

Пуск/Програми/Стандартні/Калькулятор та обрати у меню «Вид» опцію «Інженерний». Розгляньте позначення, що використовують для двійкової, десяткової, шістнадцяткової та десяткової систем числення.

3. Поясніть походження відповідних позначень.

4. В залежності від варіанту виконайте завдання:

І варіант ІІ варіант

4.1. Перевести двійковий дріб в систему числення з основою 8 та 16.

0.1010110011101 0.1100100011101

101110.10101111 100110.10111001

4.2. Перевести десяткові числа у двійкові, вісімкові та шістнадцяткові.

359,125 261,0625

4.3. Переведіть числа у десяткову систему числення.

101101,111₂ ; 1111,0011₂;

327,2₈; 436,1₈;

1C,F_h. 2B,D_h.

5. Виконайте перевірку дій засобами калькулятора стандартного програмного пакету Microsoft Windows. Продемонструйте викладачу результати виконаної роботи.

6. Підготуйте звіт відповідно встановленого зразку.