Лекция №2-1

Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций.

Точка

Геометрический объект любой сложности можно рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

Точка - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точка обычно принимается за одно из исходных понятий.

В современной математике точкой называют элементы весьма различной природы, из которых состоят различные пространства (например, в n-мерном евклидовом пространстве точкой называют упорядоченную совокупность из n- чисел)

 

Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций.

При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке 2.1. показана точка А и ее ортогональные проекции А₁ и А ₂.

Точку А₁ называют горизонтальной проекцией точки А, точка А₂ - ее фронтальной проекцией. Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси x₂₁ и пересекающих эту ось в одной и той же точке А _x.

а) модель		б) эпюр
Рисунок. 2.1. Точка в системе двух плоскостей проекций

Справедливо и обратное, т. е. Если на плоскостях проекций даны точки А₁ и А₂ расположенные на прямых, пересекающих ось x₂₁ в точке А_x под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

На эпюре Монжа проекции А₁ и А₂ окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси x₂₁. При этом расстояние А₁А_x -от горизонтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₂, а расстояние А₂А_x - от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₁.

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 2.2. Точки в различных четвертях пространства

 На рисунке 2.2 представлены точки A B C D, расположенные в разных четвертях пространства и  их эпюр (A- в первой четверти, B-во второй, C- в третьей и D- четвертой четверти)

Лекция №2-2

 

Точка в ортогональной системе трех плоскостей проекций

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П₃, расположенную перпендикулярно к П₁ и П₂. В соответствии с ГОСТ 2.305-68 плоскости проекций П₁ П₂ и П₃ относятся к основным плоскостям проекций.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 2.3. Точка в системе трех плоскостей проекций

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 2.3. Третья плоскость, перпендикулярная и П₁, и П₂, обозначается буквой П₃ и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость обозначаются заглавными буквами или цифрами с индексом 3. Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0. Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте. Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П1 и П3 вращают, как показано на рисунке 2.4, до совмещения с плоскостью П2. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают. Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y и z (абсцисса, ордината и аппликата).

Рисунок 2.4. Получение эпюра

Таблица 2.1.Знаки координат в октантах

Октант	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
x	+	+	+	+	-	-	-	-
y	+	-	-	+	+	-	-	+
z	+	+	-	-	+	+	-	-

Если точка принадлежит хотя бы одной плоскости проекций, она занимает частное положение относительно плоскостей проекций. Если точка не принадлежит ни одной из плоскостей проекций, она занимает общее положение.

Взаимное расположение точек

Можно выделить три основных варианта взаимного расположения точек:

1.Пусть точки А и В (рис.2.5) расположены в первой четверти так, что:

- Y_А>Y_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₂ и ближе к наблюдателю, чем точка В

- Z_А>Z_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₁ и ближе к наблюдателю, чем точка В;

- X_А<X_В. Тогда точка В расположена дальше от плоскости П₃ и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точка А;

а) модель		б)эпюр
Рисунок 2.5. Взаимное расположение точек

2.– Y_А=Y_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₂ и их горизонтальные проекции расположатся на прямой А₁В₁// x₁₂. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₂.

– Z_А=Z_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₁ и их фронтальные проекции расположатся на прямой А₂В₂// x₁₂. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₁.

– X_А=X_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₃ и их горизонтальные и фронтальные проекции расположатся, соответственно, на прямых А₁В₁// y и А₂В₂//z . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₃.

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 2.6 даны три пары таких точек, у которых:

а) модель		б) эпюр
Рисунок 2.6. Конкурирующие точки

• X_А=X_D;Y_А=Y_D;Z_А>Z_D;

•   X_A=X_C;Z_A=Z_C;Y_A>Y_C;

•   Y_A=Y_B;Z_A=Z_B;X_A>X_B;

Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают.

Различают: горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD ; фронтально конкурирующие точки A и C расположенные на фронтально проецирующей прямой AC; профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку, конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.

Лекция №3-1 Прямая линия. Способы графического задания прямой линии.

 

Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой  построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим.

Прямая линия в линейной алгебре - линия первого порядка. Общее уравнение прямой:

Ах+Ву+С=0,

где А, В и С - любые постоянные.

 

 

Способы графического задания прямой линии

Для определения положения прямой в пространстве существуют следующие методы:

1.Двумя точками ( а и в ).

Рассмотрим две точки в пространстве А и В (рис. 3.1). Через эти точки можно провести прямую линию получим отрезок [BA]. Для того чтобы найти проекции этого отрезка на плоскости проекций необходимо найти проекции точек А и В и соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка: 

[A₁B₁]<[BA]; [A₂B₂]<[BA;] [A₃B₃]<[BA].

а) модель		б) эпюр
Рисунок 3.1.Определение положения прямой по двум точкам

Обозначим углы между прямой и плоскостями проекций через a- с плоскостью П₁, b- с плоскостью П₂, g- с плоскостью П₃ и тогда получим:

½А₁В₁½=½BA½cos a

½A₂B₂½=½AB½cos b

½A₃B₃½=½AB½cos g.

Частный случай ½A₁B₁½=½A₂B₂½=½A₃B₃½ при таком соотношении прямая образует с плоскостями проекций равные между собой углы »g=b=a35⁰, при этом каждая из проекций расположена под углом 45⁰ к соответствующим осям проекций.

2. Двумя плоскостями (;a )b.

Этот способ задания определяется тем что две непараллельные плоскости пересекаются в пространстве по прямой линии (этот способ подробно рассматривается в курсе элементарной геометрии).

3. Двумя проекциями.

Пусть в плоскостях П₁ и П₂ даны проекции прямых заданных отрезками [А₁В₁] и [A₂B₂]. Проведем через эти прямые плоскости a и b перпендикулярные плоскостям проекций. В том случае если эти плоскости непараллельные (рис.3.2а), линией их пересечения будет прямая заданная отрезком [АВ], проекциями которой являются отрезки [А₁В₁] и [А₂В₂].

	а) a непараллельно b				б) a и b совпадают
Рисунок 3.2.Определение положения прямой в пространстве по двум проекциям отрезка

Плоскости a и b могут слиться в одну плоскость g, если, например, проекции [А1В1] и [А2В2] перпендикулярны оси x и пересекают ее в одной точке (рис.3.2.б). Прямая линия в этом случае будет однозначно определена своими проекциями, если на каждой из них обозначить две какие-либо точки. Если же обозначений не делать, то за искомую прямую можно принять любую прямую, лежащую в этой плоскости при условии, что она непараллельная ни одной из плоскостей проекций. Точка К, в данном случае - точка пересечения прямой с плоскостью П2. 4. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций. Зная координаты точки принадлежащей прямой и углы наклона ее к плоскостям проекций можно найти положение прямой в пространстве(рис.3.3).

Рисунок 3.3. Определение положения прямой по точке и углам наклона к плоскостям проекций