Коршикова_Калиниченко_УМК

á) {xn} расходится {xn} не ограничена?

Если утверждение неверно, подтвердите это примером.

2.11. Пусть в любой окрестности точки a лежит бесконечно много членов последовательности {xn}. Следует ли отсюда, что lim xn = a?

2.12.Сформулируйте понятие подпоследовательности последовательности {xn}. Что можно сказать о подпоследовательности {xnk }∞k=1, åñëè lim xn = a?

2.13.Пусть у последовательности {xn} есть две подпоследовательности, ко-

торые имеют различные пределы. Что можно сказать о {xn}?

2.14.Пусть lim xn = a. Что можно сказать о последовательности {|xn|}? Покажите на примере, что если {|xn|} сходится, то {xn} может расходиться.

2.15.Сформулируйте теорему о трех последовательностях.

2.16.Дайте определение бесконечно малой последовательности, сформулируйте свойства бесконечно малых и теорему о представлении членов сходящейся последовательности.

2.17.Приведите пример такой бесконечно малой последовательности {xn},

÷òî {sgn xn} расходится.

2.18.Дайте определение бесконечно большой последовательности, сформулируйте свойства бесконечно больших.

2.19.Дайте определение отграниченной от нуля последовательности, постройте его отрицание.

2.20.Пусть {αn} является бесконечно малой. Что можно сказать о существо-

вании и величине предела последовательностей

2.21.Сформулируйте лемму Больцано-Вейерштрасса и ее обобщение.

2.22.Что можно сказать о последовательности {xn}, если у нее имеется бес-

конечно большая подпоследовательность?

2.23. Дайте определение фундаментальной последовательности в R и по-

стройте его отрицание. Какова связь между фундаментальными и ограниченными последовательностями, между фундаментальными и сходящимися?

2.24.Сформулируйте понятие и признак сходимости монотонной последовательности.

2.25.Является ли ограниченность необходимым и достаточным условием сходимости монотонной последовательности?

11

Êмодулю 3.

3.1.Сформулируйте определение предельной точки множества, его отрицание и критерий предельной точки.

3.2.Обоснуйте, что бесконечное числовое множество имеет хотя бы одну предельную точку.

3.3.Укажите множество, которое не имеет предельных точек.

3.4.Сформулируйте определение предела функции в точке в терминах окрестностей, "ε − δ". Сформулируется теорему Гейне.

3.5.Что означают в терминах " ε − δ"факты:

а) Число 1 не является пределом функции f : X R → R в точке a = 2; б) Функция f не имеет предела в точке a = 2?

3.6. Пусть функция f : X R → R обладает свойством

{xn} , {yn} : xn, yn X \ {a} , n N , xn → a , yn → a ,

f(xn) → 2 , f(yn) → 1 ïðè n → ∞ .

Что можно сказать о существовании предела функции√f в точке a и почему? 3.7. Можно ли говорить о пределе функции f(x) = 1 − x2 + 2 arcsin(x2 − 1)

âточке x = 1? Почему?

3.8.Сформулируйте определение локально ограниченной в точке функции и его отрицание.

3.9.Сформулируйте локальные свойства функции, имеющей в точке конеч- ный предел.

3.10.Дайте определение левого (правого) предела функции в точке.

3.11.При каких условиях из существования односторонних пределов функции в точке следует существование предела?

3.12.Дайте определение эквивалентных функций в точке.

3.13.×òî îзначают факты:

à) f(x) = o ϕ(x) ïðè x → a; á) f(x) = O ϕ(x) ïðè x → a?

3.14.Сформулируйте теорему о пределе сложной функции.

Êмодулю 4.

4.1.Дайте определения непрерывной функции в точке и на множестве в терминах "ε − δ", постройте его отрицание.

4.2.Дайте понятие изолированной точки множества. Что можно сказать о непрерывности функции в изолированной точке?

4.3.Дайте определение непрерывной функции в точке в терминах предела функции.

12

4.4.Сформулируйте теоремы об арифметических операциях с непрерывными функциями и о непрерывности сложной функции.

4.5.Дайте определение точки разрыва, точки устранимого разрыва, точки разрыва 1-ãî è 2-ãî ðîäà.

4.6.Пусть функция f не является локально ограниченной в точке a D(f).

Может ли она при этом быть непрерывной в точке a? Если f терпит в точке a разрыв, то какого рода?

4.7.Сформулируйте теорему о непрерывности функции, обратной к монотонной, а также критерий непрерывности функции, обратной к монотонной.

Êмодулю 5.

5.1.Что понимают под приращением функции f в точке x0?

5.2.Дайте определение производной функции в точке.

5.3.Дайте определение дифференцируемой функции в точке. Сформулируйте критерий дифференцируемости функции в точке, а также необходимое условие дифференцируемости.

5.4.Дайте определение дифференциала функции в точке, приведите формулу для его вычисления.

5.5.Сформулируйте понятие невертикальной касательной к графику функ-

ции y = f(x) в точке (x0, f(x0)), выпишите ее уравнение.

5.6.Приведите пример функции, график которой имеет в какой-нибудь точке вертикальную касательную.

5.7.Что понимают под односторонними производными функции в точке? Какова связь между односторонними производными и производной функции в

точке? Приведите пример функции, которая имеет в точке a = 0 односторонние производные, но не имеет производной.

5.8.Сформулируйте теорему об арифметических операциях с дифференцируемыми в точке функциями.

5.9.Сформулируйте теоремы о производной сложной√è обратной функций.

5.10.Существует ли производная функции y = sin2 3 x2 в точке x = 0? При-

менима ли к этой функции теорема о производной сложной функции?

5.11.Дайте понятие параметрически заданной функции. Сформулируйте теорему о производной параметрически заданной функции.

5.12.Пусть функция f : X → Y биективна, дифференцируема в точке x0, причем f0(x0) = 0. Что можно сказать о дифференцируемости обратной функ-

ции в точке y0 = f(x0)?

5.13. В чем заключается свойство инвариантости формы дифференциала 1-го порядка?

13

5.14.Приведите пример функции, приращение которой в точке совпадает с дифференциалом.

5.15.Дайте определение второй производной функции в точке. Может ли существовать f00(x0), если не существует f0(x0)?

5.16.Приведите пример функции, у которой существует f0(x0), но не существует f00(x0).

5.17.Дайте определение n-ой производной функции в точке.

5.18.Если функция f имеет в точке x0 вторую производную, то что можно

сказать о свойствах первой производной функции f в точке x0?

5.19.Выпишите производные n-го порядка функций xα, ln x, ax, sin x, cos x.

5.20.Выпишите формулу Лейбница.

5.21.Дайте определение дифференциала n-го порядка функции f в точке x0.

Выпишите формулу его вычисления.

5.22. Обладают ли свойством инвариантности формы дифференциалы высших порядков? Выпишите формулу дифференциала n-го порядка функции y =

f(ax + b), если f n раз дифференцируема на R.

Êмодулю 6.

6.1.Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса.

6.2.Справедливо ли утверждение: "Непрерывная на промежутке функция ограничена на нем"? Подтвердите вывод примером.

6.3.Может ли неограниченная на а) отрезке [a, b]; б) на интервале (a, b) функ-

ция быть непрерывной на нем?

6.4.Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса.

6.5.Справедливо ли утверждение: "Ограниченная сверху на множестве X

функция достигает на нем свою точную верхнюю границу"?

6.6.Справедливо ли утверждение: "Непрерывная и ограниченная на интервале функция достигает на нем своих точных границ"?

6.7.Справедливо ли утверждение: "Если функция не достигает на отрезке

[a, b] своей точной верхней (нижней) границы, то она имеет разрыв хотя бы в одной точке отрезка [a, b]"?

6.8.Дайте определение равномерно непрерывной на множестве функции, сформулируйте его отрицание.

6.9.Сформулируйте теорему Кантора.

6.10.Справедливы ли утверждения:

а) Если f непрерывна на множестве X, то она равномерно непрерывна на X; б) Если f равномерно непрерывна на X, то она непрерывна на X?

14

6.11.Сформулируйте теорему Больцано-Коши о промежуточном значении. Покажите существенность условий.

6.12.Сформулируйте теорему Дарбу об образе отрезка при непрерывном отображении.

6.13.Приведите пример функции, которая равномерно непрерывна на [a, b] и

(b, c], но не является равномерно непрерывной на [a, c].

6.14. Сформулируйте теорему Ферма. Пусть функция f дифференцируема на (a, b) и f0(x) 6= 0, x (a, b). Можно ли к функции f применить теорему Ферма?

6.15.Сформулируйте теорему Ролля, покажите существенность условий. В чем заключается геометрический смысл этой теоремы?

6.16.Приме√íèма ли теорема Ролля к функции

à) f(x) = 3 x2 íà [−1, 1]; á) ϕ(x) = |x| íà [−1, 1];

â) ψ(x) = x3 − x íà [−1, 1] è íà [0, 1]?

6.17.Сформулируйте теорему Лагранжа конечных приращений, покажите существенность условий. В чем заключается геометрический смысл этой теоремы?

6.18.Применима ли теорема Лагранжа к функции

на отрезке [−1, 1]?

6.19.Сформулируйте теорему Коши о конечных приращениях. Пррименима ли она к функциям f(x) = x2 è ϕ(x) = x3 íà [−1, 1]?

6.20.Дайте определение функции, возрастающей (не убывающей) на множестве X. Сформулируйте критерии неубывания и возрастания функции на про-

межутке X. Справедлив ли подобный критерий в случае произвольного множества X?

6.21.Сформулируйте критерий постоянства функции на промежутке. Справедлив ли подобный критерий в случае произвольного множества X?

6.22.Сформулируйте правила Лопиталя раскрытия неопределенностей. Можно ли применить правило Лопиталя для нахождения

6.23. Верны ли утверждения:

15

а) Если дифференцируемая на промежутке X функция f(x) возрастает на нем, то f0(x) > 0, x X;

б) Пусть функции f и ϕ дифференцируемы на (a, a + δ), δ > 0;

6.24.Сформулируйте теорему о формуле Тейлора для многочлена. Укажите без вычисления P (3)(2), åñëè P (x) = 3(x − 2)4 + 7(x − 2)3 − (x − 2) + 3.

6.25.Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточными членами в

формах Пеано, Лагранжа, Коши. Выпишите формулу Маклорена с остаточным членом в форме Пеано для элементарных функций ex, ln(1 + x), (1 + x)α, sin x,

cos x.

6.26.Сравните условия теорем о формуле Тейлора с остаточными членами в формах Пеано и Лагранжа. Условия какой теоремы следуют из условий другой?

6.27.Укажите f(4)(−1) è f(5)(−1), åñëè

f(x) = 1 − 2(x + 1) + 3(x + 1)3 − 7(x + 1)5 + o (x + 1)5 ïðè x → −1 .

Êмодулю 7.

7.1.Дайте определение первообразной функции f(x) на множестве X. Каким свойством обладают первообразные функции f на промежутке? Верно ли это

утверждение на множестве, отличном от промежутка?

7.2. Всякая ли функция имеет первообразную? Рассмотрите пример

f(x) =

0 x ≤ 0 ,

1 x > 0 .

7.3. Укажите первообразную функции f(x) = sin x, которая в точке x = π принимает значение, равное 5.

7.4.Дайте понятие неопределенного интеграла.

7.5.Сформулируйте теорему о замене переменной в неопределенном интегра-

ле. При каком условии на функцию ϕ(t)

ZZ

f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ0(t) dt , t = ϕ−1(x) ?

7.6. Сформулируйте теорему об интегрировании по частям неопределенного интеграла. Какие классы функций удобно интегрировать по частям?

16

7.7.В каком случае говорят, что функция интегрируема в элементарных на промежутке?

7.8.В чем заключается метод нахождения неопределенного интеграла от рациональной функции путем разложения ее на простые дроби?

7.9.Какие классы иррациональных функций интегрируемы в элементарных? Укажите соответствующие замены переменной.

7.12. При каких условиях на a, b, c первообразная функции f(x) = ax2 + bx + c является рациональной функцией?

7.13. Приведите пример функции, определенной на отрезке [a, b], непрерывной на интервале (a, b), которая не имеет первообразной на [a, b].

7.14.Приведите пример функции, которая имеет первообразные на [a, b], но они не принадлежат классу элементарных функций.

Êмодулю 8.

8.1.Дайте понятия упорядоченной совокупности n действительных чисел, n-мерного координатного пространства, n-мерного евклидова пространства Rn.

8.2.Укажите функцию расстояния между двумя точками пространства Rn è

ååсвойства.

8.3.Что называется открытым шаром и открытым параллелепипедом в Rn?

8.4.Дайте определение шаровой и прямоугольной ε-окрестности точки a Rn, сформулируйте лемму об их связи.

8.5.Дайте понятие внутренней точки множества X Rn. Может ли внут-

ренняя точка множества X не принадлежать X?

8.6.Сформулируйте определение открытого множества, приведите примеры. Каковы свойства открытых множеств?

8.7.Дайте определения последовательности точек пространства Rn è åå êî-

ординатных последовательностей.

8.8. Сформулируйте понятия предела последовательности точек в Rn, сходя- щейся и покоординатно сходящейся в Rn последовательности. Укажите связь

между ними.

8.9. Какая последовательность в Rn называется ограниченной (неограничен-

ной)? Сформулируйте лемму Больцано-Вейерштрасса.

8.10. Сформулируйте понятие фундаментальной в Rn последовательности, постройте его отрицание. Какова связь между ограниченностью и фундамен-

17

тальностью последовательности точек в Rn?

8.11.Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности точек пространства Rn.

8.12.Сформулируйте понятие предельной точки множества и критерий предельной точки.

8.13.Дайте определение замыкания множества, замкнутого множества. Сформулируйте критерий замкнутости множества и свойства замкнутых множеств.

8.14.Дайте определения граничной точки и границы множества. Верно ли, что если точка является граничной точкой множества X Rn, то она также

является и его предельной точкой?

8.15.Может ли множество быть одновременно открытым и замкнутым в Rn?

8.16.Сформулируйте определение ограниченного множества в Rn, приведите

примеры.

8.17.Какое множество называется компактным в Rn? Сформулируйте кри- терий компактности множества (теорему Гейне-Бореля).

Êмодулю 9.

9.1.Дайте определение предела функции многих переменных в точке в терминах окрестностей и "ε − δ". Сформулируйте теорему Гейне.

9.2.Возможна ли ситуация, при которой существуют конечные пределы функций f и ϕ в точке a, но не существует предел суммы f + ϕ в этой точке?

9.3.Дайте определение повторного предела функции двух переменных f(x, y)

âточке (x0, y0).

9.4.Пусть функция f(x, y) имеет в точке (x0, y0) предел и оба повторных предела. Могут ли какие-то два из них быть различными?

9.5.Пусть функция f(x, y) имеет в точке (x0, y0) оба повторных предела и

они различны. Что можно сказать о пределе функции в этой точке?

9.6.Сформулируйте теорему о связи между пределом и повторными пределами функции f(x, y) в точке.

9.7.Приведите пример функции f(x, y), для которой существует предел, но

не существуют повторные пределы в точке (x0, y0).

9.8.Дайте определение непрерывной в точке функции многих переменных в терминах "ε − δ", пределов, последовательностей.

9.9.Сформулируйте понятие

а) функции f : X Rn → R, непрерывной в точке a по переменной xk; б) раздельно непрерывной в точке a функции.

9.10. Какова связь между непрерывностью и раздельной непрерывность функции многих переменных в точке?

18

9.11.Сформулируйте теорему об арифметических операциях с непрерывными функциями.

9.12.Дайте определение отображения из Rn â Rm, его координатных функ-

ций. В каком случае отображение называется непрерывным в точке (на множестве)?

9.13.Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции.

9.14.Сформулируйте теоремы Вейерштрасса.

9.15.Что можно сказать о непрерывности функции f на сфере Va(r), åñëè f

не ограничена на Va(r)?

9.16.Что можно сказать о непрерывности функции многих переменных в точке a, если она не ограничена ни в одной окрестности точки a?

9.17.Верно ли утверждение: "Если функция многих переменных непрерывна

âнекоторой окрестности Sa(r) точки a, то она ограничена на ней"?

9.18.Дайте определение равномерно непрерывной на множестве функции многих переменных, постройте его отрицание. Сформулируйте теорему Кантора.

9.19.Верно ли утверждение: "Если функция многих переменных непрерывна

на Π(a, b), то она равномерно непрерывна на нем"?

9.20. Сформулируйте понятия кривой (линии) и линейно связного в Rn ìíî- жества. Приведите примеры линейно связных множеств.

9.21.Сформулируйте теорему Больцано-Коши о промежуточном значении функции многих переменных.

Êмодулю 10.

10.1.Дайте определение частной производной функции многих переменных f по переменной xk в точке a.

10.2.Какова связь между существованием в точке a частной производной

функции f по переменной xk и непрерывностью функции f по этой переменной?

∂f

Сформулируйте необходимые условия существования ∂xk (a), k = 1, . . . , n.

10.3.Дайте определение дифференцируемой функции многих переменных в точке. Сформулируйте необходимые условия дифференцируемости. Покажите на примерах, что они не являются достаточными.

10.4.Сформулируйте достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных в точке.

10.5.Дайте определение непрерывно дифференцируемой в точке функции многих переменных. Сформулируйте с учетом этого определения достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных в точке.

19

10.6.Сформулируйте понятие дифференцируемого в точке отображения ϕ : G Rn → Rm и матрицы Якоби этого отображения.

10.7.Сформулируйте теорему о дифференцируемости суперпозиции в точ- ке; выпишите формулы вычисления частных производных и матрицы Якоби суперпозиции.

10.8.Дайте определение дифференциала функции многих переменных в точ- ке, выпишите формулу его вычисления. Обладает ли он свойством инвариантности формы?

10.9.Сформулируйте правила нахождения частных производных функции многих переменных.

10.10.Дайте определение касательной плоскости к поверхности z = f(x, y) в

точке M0(x0, y0, f(x0, y0)). Сформулируйте критерий наличия невертикальной касательной плоскости к поверхности.

10.11. Дайте определение производной функции трех переменных по направлению ~

l в точке.

10.12.Что понимают под градиентом функции трех переменных в точке? Сформулируйте теорему существовании производной по направлению функции многих переменных в точке, выпишите формулу для вычисления производной по направлению.

10.13.Пусть функция f : G R3x → R дифференцируема в точке a. Укажите

10.14. Сформулируйте понятие частной производной 2-го порядка функции f по переменным xk, xj в точке a. В каком случае эта производная называется смешанной?

10.15.Сформулируйте теорему Шварца о смешанных частных производных функции двух переменных и ее обобщение.

10.16.Дайте определение дифференциала 2-го порядка функции многих переменных в точке, выпишите формулу его вычисления.

10.17.Сформулируйте понятие p раз непрерывно дифференцируемой в точ-

ке (на множестве) функции многих переменных. Что понимается под классом функций Cp(X)? Какова связь между функциями, p раз непрерывно диффе-

ренцируемыми и p раз дифференцируемыми на заданном множестве?

10.18.Сформулируйте теорему о дифференциале p-го порядка суперпозиции f ◦ϕ в точке, если f Cp(X), а ϕ линейное на интервале (a, b) отображение.

10.19.Сформулируйте теоремы о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа для функции многих переменных.

20