- •Введение в анализ
- •Множества и операции над ними
- •Логическая символика
- •Функция
- •Простейшая классификация функций
- •Композиция функций и обратное отображение
- •Сужение функции
- •Действительные числа
- •Важнейшие подмножества действительных чисел
- •Функции действительной переменной
- •Функция и способы её задания
- •Монотонные функции
- •Свойства числовых множеств
- •Ограниченные числовые множества
- •Неограниченные числовые множества
- •Счетные и несчетные множества
- •Задания для самостоятельной работы
- •Теория пределов
- •Предел последовательности
- •Определение и примеры
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые последовательности
- •Арифметические операции с последовательностями
- •Бесконечно большие последовательности
- •Подпоследовательности и их свойства
- •Критерий Коши
- •Частичные пределы последовательности
- •Верхний и нижний пределы последовательности
- •Задания для самостоятельной работы
- •Предел функции
- •Предельная точка множества
- •Определение предела функции
- •Свойства предела функции
- •Односторонние пределы функции
- •Теорема о пределе монотонной функции
- •Число e
- •Критерий Коши для функции
- •Сравнение функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Непрерывные функции и их свойства
- •Определение непрерывной функции
- •Точки разрыва функции, их классификация
- •Локальные свойства непрерывной функции
- •Глобальные свойства непрерывных функций
- •Показательная, логарифмическая и степенная функции
- •Некоторые замечательные пределы
- •Равномерная непрерывность функции
- •Задания для самостоятельной работы
- •Дифференцируемые функции
- •Понятие дифференцируемой в точке функции
- •Геометрический смысл производной и дифференциала
- •Производная и дифференциал функции на множестве
- •Основные правила вычисления производной
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Свойства функций, дифференцируемых на промежутках
- •Дифференцирование параметрически заданных функций
- •Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей
- •Формула Тейлора
- •Исследование поведения функции на множестве
- •Экстремум функции
- •Направление выпуклости графика функции
- •Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Построение графика функции.
- •Задания для самостоятельной работы
- •Неопределенный интеграл
- •Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные методы интегрирования
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки (замены переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Классы интегрируемых элементарных функций
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Задания для самостоятельной работы
Теорема 4.31. Для того, чтобы прямая y = kx+b была наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x → +∞, необходимо и
достаточно, чтобы существовали конечные пределы |
|
||||||||||
lim |
f(x) |
= k, |
|
lim (f(x) |
− |
kx) = b. |
(4.23) |
||||
x |
|
x |
|||||||||
x + |
|
→ |
+ |
∞ |
|
|
|||||
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимость. Если y = kx + b — асимптота f при x → +∞, то по определению 4.12.8
f(x) = kx + b + α(x), |
(4.24) |
где α(x) → 0 при x → +∞. Разделим обе части полученного равенства на x и получим
|
|
|
f (x) |
= k + |
b |
|
+ |
α(x) |
, |
|
|
||
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
откуда следует существование предела |
lim |
f(x) |
= k. Но (см. (4.24)) |
||||||||||
|
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|||
f(x) − kx = b + α(x), где α(x) → 0 при x → +∞. |
|||||||||||||
Поэтому lim (f(x) |
− |
kx) = b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достаточность. Если существуют конечные пределы, перечисленные в 4.23, то f(x) − (kx + b) = α(x), где α(x) → 0 при x → +∞, а поэтому по определению 4.12.8 прямая y = kx + b является наклонной асимптотойf при x → +∞.
Аналогично формулируется и доказывается критерий существования наклонной асимптоты графика f при x → −∞.
4.12.5 Построение графика функции.
Для построения графика функции y = f(x) нужно последовательно выполнить следующие операции:
1.Найти область определения функции f, изучить функцию на четность (нечетность), периодичность.
2.Исследовать функцию на непрерывность, указать точки разрыва, найти асимптоты.
3.Найти f0(x), исследовать функцию на экстремум, указать промежутки монотонности.
4.Найти f00(x), исследовать функцию на перегиб, указать промежутки выпуклости вверх (вниз) графика функции.
5.Дать характеристику поведения функции на каждом из полученных промежутков.
132
6. Нарисовать график.
√
Пример 4.12.7. Построить график функции f(x) = 3 x3 + x2.
1. D(f) = R; функция является функцией общего вида (иными слова-
ми: функция не является четной, не является нечетной), так как
q √
f(−x) = 3 (−x)3 + (−x)2 = − 3 x3 − x2, x R.
Функция не является периодической, так как обращается в нуль только
вдвух точках x = 0 и x = −1.
2.f(x) C(R), поэтому f не имеет вертикальных асимптот. Пря-
мая y = x + |
1 |
|
— наклонная асимптота f |
при x → ±∞ (см. пример |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.12.6(b)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Для всех x |
|
|
, |
− |
1) |
( |
− |
1, 0) |
(0, + |
∞ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(−∞ |
|
2 S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f0(x) = |
1 3x |
+ 2x |
|
|
|
= |
|
1 3x + 2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3q |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3q |
|
|
|
|
3q |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
(x3 + x2)2 |
|
(x + 1)2 |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
f(x) − f(0) |
|
|
|
x3 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
= lim |
|
|
|
|
= lim |
|
x + 1 |
= |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3q |
x→0 |
3√x |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
lim |
f(x) − f(−1) |
|
= lim |
|
|
(x + 1)x2 |
|
= |
∞ |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
→− |
1 |
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
x |
→− |
1 |
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то функция имеет в точках x = −1 и x = 0 бесконечные производные, а значит f имеет в соответствующих точках (−1, 0) и (0, 0) вертикальные
касательные и эти точки являются критическими. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Далее, f0 |
(x) = 0 x = − |
|
. |
Поэтому |
x = − |
|
— стационарная |
|||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||
точка функции. Поскольку sgn f0(x) = sgn x (3x + 2), |
|
|
|
{− |
1; 0 |
} |
, то |
||||||||||||||||||||
|
|
x / |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sgn f0(x) + |
|
|
+ |
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f(x) |
-1r |
|
|
2 |
jH0r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
* |
|
|
|
* H |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
x = |
|
2 |
— точка локального максимума и |
f |
|
2 |
! |
|
= |
√3 4 |
, x = 0 — |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
точка локального минимума и f(0) = 0. На (−∞, −2/3], [0, +∞) функция возрастает, а на [−2/3, 0] — убывает.
4. Так как
f00(x) = −23(x + 1)−5/3x−4/3, x (−∞, −1) [(−1, 0) [(0, +∞),
то f00(x) 6= 0 на указанном множестве и x = −1, x = 0 — точки возможного перегиба f . Но sgn f00(x) = − sgn (x + 1), x 6= 0, −1, а значит
133