trubeckoy_c4

отрезок AB 1, на другой прямой отложен отрезок

AC

3 . Найти длину радиуса окружности,

Ответ: 1;

C

описанной около треугольника ABC .

7 .

I. Вариант.

По теореме косинусов найдем

A

B

BC AC2

AB2 2AC AB cos CAB 1. Радиус окружности

найдем из теоремы синусов окружности R

BC

1.

2sin 300

II. Вариант.

Следует из чертежа.

A

B

C

I. Вариант.

Дано: AB AC 13 , AD 12 По теореме

Пифагора найдем DC

AC2 AD2

5 . Сторона треугольника

BC 10 .

B

D C

II. Вариант.

Пусть теперь треугольник расположен так, что

B D

C

AB BC

13.

которых относятся как 1: 3 . Найдите отношение длин отрезков AC и EF .

Ответ:

2 ;

2

.

3

I. Вариант.

Пусть SEBF : SAEFC 1:3 . Тогда

B

SEBF : SABC 1: 4 . Треугольники ABC и EBF подобны,

E

M

F

причем коэффициент подобия k2 4

или k 2 .

Следовательно, AC : EF 2 .

A

N

C

II. Вариант.

Рассмотрите случай SEBF : SAEFC 3:1.

6. Площадь прямоугольного треугольника ABC C 900 равна 8 , длина катета

BC равна 2 .

Прямая проходит через точку B и образует угол 450 с прямой BC . Найдите расстояние от точки

A до указанной прямой.

Ответ: 3

; 5

.

2

2

I. Вариант. Из формулы площади следует, что AC 8 , по теореме

A

Пифагора найдем AB

68 . Найдем

sin sin 1350

sin1350 cos cos1350 sin , получаем

D

5

2

. Затем AD AB sin 5

sin

2 .

C

450

68

B

II. Вариант. Рассмотрите другой вариант положения точки прямой.

D

A

450

B

C

7. В треугольнике ABC AB BC 13, а

AC 10 . В треугольник вписан прямоугольник так, что две

его вершины лежат на стороне AC ,

а две другие на сторонах AB и

BC . Известно, что одна

сторона прямоугольника вдвое больше другой. Найдите диагональ прямоугольника.

60

.

Ответ: 3,75

;

5

5

17

I. Вариант.

По теореме Пифагора найдем BD 12 . Из

E

B

F

треугольника BDC найдем tg C

12

2,4 . Пусть

5

MN x ,

тогда FN 2x , а NC 5

x

. Из треугольника

A

M

D

N

C

2

FCN следует, что FN CN tg C или

x

4x2 x2

2x 5

2,4 . Получаем x 3,75 , Диагональ равна

x

5 3,75

5 .

2

E

F

A

M D N

C

B

I. Вариант.

Пусть AO R . Тогда R2

12 и R 12 .

Треугольник AOB равнобедренный, его площадь

A

O

C

S 1 R2 sin , откуда sin 1 . При данном расположении

2

2

1500 , откуда следует

точки B угол тупой, следовательно,

150 .

B

A

O

C

26 соответственно от точки

O . Длина хорды, лежащей на прямой AB равна 4 11 . Найдите

площадь треугольника AOB .

Ответ: 82,5 ; 157,5.

I. Вариант.

Длина R 12 . Из треугольника COK следует, что

OK 10 . Из треугольника AOK находим AK 7,5 , а из

O

треугольника ABK находим BK 24 . Далее

1

A

D

B

SAOB

AB OK 157,5 .

C

2

K

1

4. На окружности с радиусом R 3 последовательно поставлены точки K , M ,

N и P так, что

дуги KM 400 и MN 1000 , а хорды KN и MP пересекаются под углом 700 . Найдите длину

наибольшей стороны четырехугольника KMNP . Ответ: 2

; 3 .

3

K

M

5. На стороне AB угла ABC 300 взята точка D такая, что AD 2 и

BD 1. Найдите радиус

окружности, проходящей через точки A и D , и касающейся прямой BC . Ответ: 1;

7

E

C

I. Вариант.

По теореме о касательной и секущей BE2 BA BD ,

B

A

откуда BE

3 . По теореме косинусов найдем отрезки AE 3

D

и DE 1. Треугольник ADE прямоугольный, следовательно,

AD это диаметр и R 1.

2. Треугольник

ABC вписан в окружность радиуса 12 . Известно, что AB 6 и BC 4 .

Найдите

AC .

Ответ:

35

15

.

I. Вариант.

Из теоремы синусов следует, что Пусть

BC

2R ,

откуда sin A 1 . Аналогично найдем

C

sin A

6

sin C 1 . Очевидно, что A острый, BL BM x . Тогда

4

cos A 35

A

B

. Угол C может быть и острым, и тупым.

6

Рассмотрим вариант острого угла, тогда cos C

15 . Найдем

4

sin sin Acos C cos Asin C , т.е. sin

35 15 . По теореме синусов найдем

24

AC

35

15 .

касающейся этой прямой и сторон угла

Ответ: 1; 6 .

BC и CD . Найдите радиус этой окружности.

Ответ: 4

2

2

1 ; 4

2

2

1 .

1. В параллелограмме ABCD AB 4 ,

BC 2

. Площадь параллелограмма равна 4 3 . Круг с

центром в точке A касается прямой BD .

Найдите площадь части круга, расположенной

внутри параллелограмма.

Ответ:

2

;

4

.

7

3

I. Вариант.

Площадь параллелограмма S AD AC sin A , откуда sin A

3

.

I. Вариант.

Треугольник ABN равнобедренный,

B

M

N

C

следовательно, BN 3 , и BM 0,5 . Треугольник

DMC также равнобедренный и CM 3 .

Получаем BC BM MC 3,5 .

A

D