Министерство образования РФ
РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А.В.Абанин, Т.И.Коршикова, Л.И.Калиниченко, Л.И.Спинко
РЯДЫ
Методические указания к лабораторным занятиям по математическому анализу
для студентов 2 курса механико-математического факультета РГУ
Ростов-2на-Дону
2004 г.
Данные методические указания предназначены для студентов 2 курса механико-математического факультета РГУ. Содержат необходимый теоретический материал и примеры практического характера. Могут быть использованы преподавателями на лабораторных занятиях.
Методические указания печатаются в соответствии с решением кафедры математического анализа РГУ, протокол № 4 от 2003 года.
1 Числовые ряды и их4сходимость.
Пусть задана числовая последовательность {an}. Символ
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· · · |
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· · · |
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∞ |
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a1 + a2 + |
+ an + |
(или короче |
nP |
an) называется числовым рядом. |
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=1 |
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Сумму n первых членов ряда (n N) : Sn = a1 + a2 + · · · + an, называют n-ной частичной суммой ряда. Если последовательность {Sn} сходится, то
ряд называют сходящимся, а число S = lim Sn — его суммой, при этом |
||
пишут: S = |
∞ |
an. В противном случае ряд называют расходящимся. |
nP |
||
|
=1 |
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1.0.1. Используя определение сходящегося (расходящегося) ряда изучите сходимость ряда:
1) |
∞ |
(−1)n−1 |
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, |
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nX |
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=1 |
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3) |
(an − an−1) , |
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nX |
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=1 |
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nX |
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n(n + 1) |
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5) |
=1 |
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7) |
∞ ln 1 + n1 |
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nX |
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=1 |
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9) |
∞ tg n + 1 |
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tg n + 2 |
, |
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nX |
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n |
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− |
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n + 1 |
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− arcsin |
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− |
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) , |
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(arcsin |
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2n |
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2n |
1 |
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=1 |
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∞ |
3 |
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( 1)n−1 |
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13) |
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+ |
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− |
3n 1 |
, |
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2n |
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1 |
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2 |
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nX |
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− |
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− |
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15) |
∞ |
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2n − 1 |
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, |
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nX |
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2n |
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=1 |
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1 |
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1 |
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2) |
nX |
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− |
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, |
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=1 |
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2n |
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3n |
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4) |
∞ |
sin |
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1 |
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sin |
1 |
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nX |
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n + 1 − |
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n |
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=1 |
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∞ √ |
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6) |
nX |
( n + 1 − |
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n) , |
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=1 |
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8) |
nX |
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(3n |
− |
2)(3n + 1) |
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=1 |
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∞ |
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22n−1 |
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nX |
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− |
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, |
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=1 |
1 |
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2 |
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∞ √ |
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√ |
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√ |
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nX |
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n + 2 − 2 n + 1 + n , |
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12) |
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=1 |
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nX |
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ln(1 − n2 ) |
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=1 |
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nX |
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16) |
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sin |
2n · cos 2n . |
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=1 |
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5
Имеются различные признаки, позволяющие устанавливать сходимость или расходимость изучаемого ряда. Однако следует помнить, что исследование ряда целесообразно начинать (если это не очень трудно) с проверки необходимого признака сходимости.
∞
Пример 1.1. Исследовать сходимость ряда P sin(αn), если α 6= πk,
n=1
k Z.
B Докажем, что общий член ряда sin αn 9 0 при n → ∞. Действительно, если бы sin(αn) → 0, то и sin α(n + 1) → 0 при n → ∞.
Но sin α(n + 1) = cos α sin αn + sin α cos αn. Поэтому cos αn → 0 при n → ∞,
чего быть не может, поскольку sin2 αn + cos2 αn = 1. C
1.0.2. Пользуясь критерием Коши или необходимым признаком сходимости ряда, исследовать сходимость ряда:
1) |
∞ |
cos nx |
, |
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nX |
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n |
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=1 |
3 |
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3) |
∞ |
cos nx − cos(n + 1)x, |
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|
nX |
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n |
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=1 |
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∞ |
1 |
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5) |
nX q |
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=1 |
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n(n + 1) |
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7) |
∞ |
n − 1 |
n, |
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nX |
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|||||||||||||
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n + 1 |
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|
=1 |
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||||||
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∞ |
1 |
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1 1 1 1 |
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9) |
nX |
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1 + 2 − 3 + 4 + 5 − 6 + · · · + |
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=1 |
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2) |
∞ |
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sin n |
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, |
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nX |
n(n + 1) |
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=1 |
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4) |
∞ |
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cos an |
, |
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nX |
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n2 |
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=1 |
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u |
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n=1 u |
5n + 1 · |
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n |
+ 1 |
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6) |
X t |
3n5 + 4 |
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arcsin |
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1 |
, |
|||||||||||
∞ v |
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∞ |
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n3 + 1 |
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1 |
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nX |
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· arcsin n2 + 1, |
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8) |
=1 2n + 3 |
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||||||||||||||||||
1 |
+ |
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|
1 |
|
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− |
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|
1 |
+ · · ·. |
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|||||
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|||||||||||||
3n − 2 |
3n − 1 |
|
3n |
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1.1 Сходимость положительных6 рядов.
∞
При изучении положительных рядов P an, где an ≥ 0, n N, часто используются следующие неравенства: n=1
1)1 < ln n < nα (α > 0), n > n0;
2)an > nα, если a > 1, α R, n > n0;
3)en < n! < nn или, что то же самое, n < ln(n!) < n ln n.
Помимо необходимого признака сходимости положительного ряда, часто используются признак Маклорена-Коши и признаки сравнения (см. [1], стр. 506-527; [2] стр. 262-266, стр. 281-285).
1.1.1. Исследовать сходимость следующих рядов:
1) |
∞ |
1 |
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, |
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|||
nX |
n ln n |
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=2 |
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3) |
∞ |
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1 |
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, |
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nX |
√ |
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2 |
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||||
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|||||||
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n ln |
n |
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||||||
|
=2 |
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|||||||
5) |
∞ |
|
5 cos2 nπ3 |
, |
|
|||||||||
nX |
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||||||||||
|
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− |
1)n |
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||||
|
=1 |
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n2 + ( |
|
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||||||
|
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∞ |
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ln2 n |
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1 |
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|||||
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nX |
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7) |
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√n + 1 sin n, |
||||||||||||
=1 |
|
|||||||||||||
|
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9) |
∞ |
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5 + 3(−1)n |
, |
||||||||||
nX |
|
|||||||||||||
|
|
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|
|
2n |
|
|
|
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||
|
=1 |
|
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||
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|
X
∞ ln n + sin n
11) n=1 n2 − 2 ln2 n,
X
∞ (3n + n5)
13) √ ,
n=1 e n
∞1
2)X √ , n=1 n n
|
∞ |
|
ln n |
1 |
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|||||||
nX |
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4) |
=2 |
√n + 2 sin √n, |
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|||||||||||
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∞ |
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1 |
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nX |
|
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n ln n(ln ln n)p , |
|
|||||||||||||
6) |
=3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
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8) |
∞ sin2 n |
, |
|
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||||
=1 |
n2 ln n |
|
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|
|
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|||||
|
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||||
nX |
|
|
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10) |
∞ |
|
|
arctg n |
, |
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||||||||
nX |
|
|
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|||||||||
|
n2 + ln n |
|
||||||||||||
|
=1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||
|
∞ |
|
|
n + 1 |
|
|||||||||
12) |
nX |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
3 |
|
||||||||||
=1 |
n2(4 + 3 sin nπ ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
||
|
nX |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
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|
14) |
∞ |
|
2n sin |
|
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
=1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
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15) |
∞ |
sin n1 cos n1 |
|
, |
|
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||||||||||||||||
nX |
|
lnα n + 5 |
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||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||
|
=1 |
|
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||||||||||||||||
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∞ 1 − cos |
1 |
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|||||||||||||||
|
√ |
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||||||||||||||||
|
n |
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17) |
nX |
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, |
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4n + ln n |
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||||||||||||||||||
=1 |
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||||||||||||||||||
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19) |
∞ |
1 |
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, |
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|||
nX |
5ln n |
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|||||||
|
=1 |
|
|
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|||||
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|
∞ √ |
|
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|
− √ |
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|
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|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n + 1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
21) |
n |
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||||||||||||||||||||||||||||
nX |
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||||||||||||||
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|
nα |
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||||||||||
|
=1 |
|
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||||||||||
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|
∞ |
|
arctg10 n |
|
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|||||||||||||||
|
nX |
|
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|
23) |
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|
√3 |
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|
, |
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|
|
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||||||
=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
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|||||||||||
|
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25) |
∞ |
1 |
|
tg |
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|
n |
|
|
|
, |
|
|
|
|
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||||||||||||
nX |
|
nα |
|
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|||||||||||
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1 |
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||||||||
|
=1 |
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|
2n + 1 |
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||||||||||||||||||
|
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|
√ |
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||||
|
∞ |
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n |
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||||||
27) |
|
√3 |
|
|
|
ln n· 2√3 |
|
|
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, |
|||||||||||||||||||||
nX |
|
|
3 |
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
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|
3 |
− |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
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n + 1 + |
|
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|
n |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ ln 1 + |
cos2 √ |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
29) |
n |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
|
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n√n |
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|||||||||||||
|
=1 |
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∞ |
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31) |
|
n |
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=2 |
√ln n, |
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|||||||||||
|
nX |
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1 |
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33) |
∞ |
2sin n − 1 |
, |
|
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|||||||||||||||||
|
=1 |
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n ln n |
|
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|||||||||
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nX |
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7
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ln n |
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|||||||||
|
∞ |
|
ln(cos √ |
|
|
|
|
) |
|
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||||||||||||||||||
|
n |
|
|
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16) |
nX |
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||||||
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n + sin |
2 |
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n |
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||||||||||||||||||||||||
=1 |
√ |
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|
, |
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|||||||||||||
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|
∞ |
|
n15 + 1 |
|
|
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|
|
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|||||||||||||
|
nX |
|
|
|
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|
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18) |
2√ |
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|
+ n5 , |
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|||||||||||||||||
=1 |
n |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
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|
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∞ arcsin |
|
1 |
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|||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||
20) |
|
n |
|
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|
|
, |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
nX |
|
nα |
− |
1 |
|
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||||||||||||||
|
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||||||||||||||
|
=2 |
|
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|||||||||
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|
|
∞ |
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|
1 |
|
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22) |
nX |
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(α ≥ 0), |
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|||||||||||||||
sin nα |
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|||||||||||||||||||||||||||
=1 |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
1 |
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|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
− 1 |
, |
|
|
|||||||||||||
24) |
∞ sin10 n |
2 |
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
n + 1 |
|
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||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
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∞ ln cos |
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1 |
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|
|||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
26) |
|
n |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
nX |
|
ln10 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
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|
2n+1 |
|
|
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|
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|
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|
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|||||||
28) |
sin 3n−1 |
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, |
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|
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32) |
∞ (n1/n − 1), |
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nX |
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=1 |
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∞ cos |
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− 1 |
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34) |
n |
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nX |
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Часто применение предыдущих признаков затруднительно и более удобно применять признаки Коши и Даламбера (см. [1], стр. 218-221, или
8 [2], стр. 270-272). Отметим, что признак Коши "сильнее"признака Далам-
бера (он применим к более широкому классу рядов). Именно, можно пока- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зать, что если существует |
lim (an+1/an) = q, то существует lim |
√n |
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= q. |
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an |
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n→∞ |
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n→∞ |
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Обозначим Kn = |
√n |
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, Dn |
= |
an+1 |
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nX |
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− |
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Пример 1.2. Исследовать сходимость ряда |
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=1 |
(3 + ( |
1) ) |
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, |
если n = 2k, |
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1 |
, |
если n = 2k, |
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2k |
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4 |
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4 |
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1 |
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1 |
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||||||
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, |
если n = 2k |
− |
1, |
|
, |
если n = 2k |
− |
1, |
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2k |
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1 |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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− |
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lim |
Kn = 21 < 1 и ряд сходится согласно признаку Коши. |
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В то же время признак Даламбера не позволяет сделать определённого |
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вывода о сходимости изучаемого ряда, так как |
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D2k−1 = |
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, D2k = 22k−1, а значит lim Dn = 0, lim Dn = +∞. |
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C |
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22k+1 |
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1.1.2. С помощью признаков Даламбера и Коши исследуйте сходимость |
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следующих рядов: |
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1) |
∞ |
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n! |
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, |
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2) |
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∞ |
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n |
, |
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nX |
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X |
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(2n)! |
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3n |
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=1 |
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n=1 |
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3) |
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∞ |
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n! |
, |
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4) |
|
∞ |
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2nn! |
, |
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|||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
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|
nX |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
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|
2n2 |
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
(2n)! |
|
|
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|
||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
=1 |
|
|
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|||||||||||||||||||
|
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||||||
5) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2n−1 |
|
|
|
|
|
|
6) |
|
∞ |
|
|
|
nn! , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
, |
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
X |
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nX |
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|
n |
|
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|||||||||||||
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n=1 |
|
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3n + 1 |
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=1 |
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|||||||||||||||||||
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||||||
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∞ |
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(√ |
|
+ (−1)n)n |
, |
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|
|
|
∞ |
|
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|||||||||||||||||||||||||
7) |
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|
2 |
|
|
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|
8) |
|
|
|
(2n)!! |
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
nX |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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|
n3 |
· |
2n |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
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|
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=1 |
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9) |
∞ |
3nn! |
, |
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9 |
10) |
∞ |
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(2 + (−1)n)n |
, |
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X |
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nn |
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4n |
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=1 |
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n=1 |
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∞ |
2 + ( 1)n |
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∞ |
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ln n |
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||||||||||||||||||||||||||
11) |
X |
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− |
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, |
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12) |
nX |
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, |
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|||||||
n=1 |
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4n |
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=2 |
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3n + 1 |
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|||
13) |
∞ n |
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3n + 2n |
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, |
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14) |
∞ |
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sin n1 |
, |
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n |
n |
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X |
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n |
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nX |
5 + ( |
− |
1) |
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3 |
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n=1 |
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||||||||
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nX |
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1 |
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|
X |
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− |
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||||||||||||||
15) |
∞ arcsin |
|
|
n |
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, |
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16) |
∞ sin5 |
|
|
n |
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, |
||||||||||||||||||||||||||||
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=1 |
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2 |
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+ n |
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n=1 |
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e |
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1 |
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||||
17) |
∞ |
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n! |
, |
|
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18) |
∞ |
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2ln n |
, |
|
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|||||||||||||||||
X |
|
|
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nX |
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||||||||||||
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lnn n |
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3n + 1 |
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n=2 |
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=1 |
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|||
|
∞ |
|
ln100 n |
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∞ |
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(√ |
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|
+ 2)n |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
19) |
X |
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|
, |
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20) |
nX |
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|
n |
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, |
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(1 + 1 )n2 |
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n=1 |
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n! |
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||||
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sin2 n |
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1 |
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− 1)2 |
|
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|||||||||||||
21) |
∞ |
|
, |
|
|
|
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|
|
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22) |
∞ |
|
(2 |
n2 |
|
, |
|
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|
||||||||||||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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2n |
− |
1 |
|
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|||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
n=1 |
|
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|
|
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|
|
|
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|
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|
||
23) |
∞ |
|
|
(2 +nsin nπ4 )n , |
|
24) |
∞ |
|
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|
|
n |
|
|
|
2n |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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nX |
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|||||||
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5 ln n |
|
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2n + 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
n=2 |
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|
=1 |
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|||||||||||||||||||||||
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2ln n |
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n+1 |
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|||||||||||||
25) |
∞ |
|
|
|
(a > 0), |
|
26) |
∞ |
|
2 n |
|
|
|
− 2 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
nX |
|
|
an + 1 |
|
X |
|
|
3n |
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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− |
1 |
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|
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||||||||||||||||||||||||
|
=2 |
|
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n=1 |
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|
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|
|
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||
|
∞ |
|
|
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|
1 |
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|
|
|
∞ |
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|
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|
(2n + 1)!! |
||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
nX |
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||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
· |
|
|
|
· · · · · |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
27) |
|
|
√n arctg n, |
|
|
|
|
|
28) |
|
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|
4 |
(3n + 1), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
=1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
29) |
∞ |
|
|
2· 5· · · · · (3n + 2) |
, |
|
30) |
∞ |
arctg(n2 − n) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
nX |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
n! |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
3n + n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
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10 |
|
|
|
|
(√ |
|
|
|
|
|||||
31) |
∞ |
3· 6· · · · · (3n) |
|
arcsin |
1 |
, |
|
32) |
∞ |
2)n − 1 |
, |
|||||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
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|||||||||||||
|
|
|
n! |
|
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5n |
|
|
|
|
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lnn n |
− |
1 |
|
|
|||||||
|
n=2 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
√ |
|
√ |
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
√ |
|
|
|
∞ |
|
nn |
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
||||||||
33) |
nX |
|
2 − |
2)( 2 − |
|
2) · · · ( |
|
2 − 2), |
34) |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
=1( |
|
|
n=1 n!(2, 7)n+1 . |
Приведём ещё один способ исследования сходимости числовых рядов, основанный на применении формулы Тейлора. Для того, чтобы им пользоваться, следует вспомнить разложения по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано функций ex, sin x, cos x, ln(1 + x) и (1 + x)α в окрестности точки x = 0 (см. [1], стр. 192-195, или [3], стр. 251-254).
|
|
|
|
|
nX |
|
− |
|
|
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|
Пример 1.3. Исследовать сходимость ряда |
∞ 1 |
|
|
ln n 2n. |
|||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
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|
|
B Данный ряд положителен и |
|
|
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|
|
|
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|
|||
an = 1 |
− |
ln n |
2n = exp |
2n ln 1 |
− |
ln n |
. |
||||
|
n |
|
|
|
|
n |
|
Так как lim ln n = 0, то по формуле Тейлора для функции ln(1+x) получаем при n → ∞ :n
ln |
1 |
|
ln n |
|
= |
|
ln n |
|
|
1 |
|
ln2 n |
|
+ o |
ln2 n |
= |
|||||||||||||
|
|
− n |
|
− n |
− 2 n |
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||
|
an |
= exp |
|
2 ln n |
− |
|
ln2 n |
+ o |
ln2 n |
|
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln2 n |
+ o |
ln2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
1 |
e− n |
|
n |
= an |
|
|
1 |
, n |
→ ∞ |
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(здесь мы воспользовались тем, что lim |
|
= 0 и, тем более, |
|||||||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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ln2 n
lim o = 0). Согласно признаку сравнения исходный ряд сходится. C n2
|
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|
|
11 |
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|
∞ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
Пример 1.4. Исследовать сходимость ряда |
nX |
√n − 1 |
− sin |
√ |
|
|
). |
|
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||||||||||||||||||||||||
(e |
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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=1 |
|
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|
|
|
|
|
B |
В данном примере сразу трудно сказать является ли данный ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||
положительным. Поскольку lim |
|
1 |
|
= 0, то, используя формулу Тейлора |
|||||||||||||||||||||||||||||
√ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
для функций ex и sin x, получаем при n → ∞ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
an |
= 1 + |
1 |
+ |
1 |
+ o |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
+ o |
1 |
|
= |
1 |
+ o |
1 |
|
1 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√n 2n |
n − |
|
|
− √n |
n |
|
|
n |
2n |
Отсюда следует неотрицательность членов исследуемого ряда, начиная с некоторого номера (покажите!), и его расходимость в силу признака сравнения. C
1.1.3. С помощью формулы Тейлора исследуйте сходимость рядов:
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∞ |
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1 |
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1 |
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|||
nX |
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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1) |
|
|
√ |
|
|
− sin √ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
=1 |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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3) |
∞ e |
|
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1 + 1 n , |
|
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|||||||||||||||||||
|
nX |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
5) |
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
sin n − ln |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
∞ |
3n − 2n |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
nX |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
∞ π22 |
|
+ cos |
|
π |
1 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n − |
|
|
|
|
|||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ e |
√4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
, |
||||||||||||
11) |
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− √n |
− |
2√n |
|
||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
=1 |
|
nn2+1 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
∞ |
1 |
|
− |
ln |
1 + |
1 |
|
, |
|||||||||||||||||||
4 |
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
nX |
|
√n |
|
|
|
|
|
|
|
√n |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
∞ |
|
1 |
|
|
|
uln |
n + 1 |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
√n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n=1 |
|
− u |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8) (√n + 1 − |
√n2 + n + 1), |
|||||||||||||||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ cos n1 − e− |
1 |
|
n3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
10) |
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||||||
2n2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
12) |
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|||||
en |
sin n |
|
|
n2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13) ∞ n |
|
n2 ln(1 + |
1 |
) , |
12 |
14) |
∞ |
1 − n sin |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
nX |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
X |
− |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n sin |
n |
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
an сходится, если |
||||||||||||||||
1.1.4. Найти α, при которых ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) an = |
1 |
− |
n sin |
1 |
α, |
|
|
|
2) an |
= e− |
1 |
− |
cos |
1 |
|
|
α, |
||||||||||||||
|
|
|
2n2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||
3) an = |
ln n + ln sin |
1 |
|
|
|
|
, |
4) an |
= (√ |
|
|
|
√ |
|
|
)α, |
|||||||||||||||
|
|
|
n + 1 |
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arctg |
1 α |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) an = |
|
, |
|
|
|
|
|
6) an = |
|
. |
|||||||||||||||||||||
n ln2(1 + nα) |
|
|
|
|
|
ln(1 + n + n2) |
1.1.5. Для отработки навыков исследования положительных рядов рекомендуем решить следующие примеры различной степени трудности:
∞√
1)X n n + 1,
n=1
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=1 ln100 n + 3sin n , |
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5n + 3 n + 1 |
|
||||||||||||
5) |
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=1 4(√n + 1)√n + 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
n+1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
− 2 |
, |
|
|
|
||||||
7) |
∞ |
2 |
n |
|
||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ln n |
|
||||||||||||
|
=2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
∞ |
ln(n + 1) − ln n |
, |
|
||||||||||||
nX |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n + ln n |
|
||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11) |
∞ |
|
arctg15 n |
, |
|
|||||||||||
nX |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ln n |
|
|||||||||||
|
=2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
2) |
nX q |
|
|
|
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
=1 |
|
|
3n(3n + 1) |
|||||||
4) |
∞ |
|
ln n |
|
, |
|
|
|
|||
nX |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2n + n |
||||||||||
|
=2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
3 |
n |
− |
n , |
|||||||
|
=1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|||
8) |
∞ |
2 n − 2 |
, |
||||||||
nX |
|||||||||||
|
|
|
ln2 n |
||||||||
|
=2 |
|
|
∞ sin n−1
10) X n ,
n=2 n3 ln n
∞sin2 1
12)X √ ln n ,
n=2 n + 2
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
13) |
|
|
|
n |
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
(3n + 1) ln n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
=2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
arctg ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
15) |
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
− |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
2 + sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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∞ |
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1 |
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25) |
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27) |
∞ |
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− √3 |
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3n sin n1 |
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3n + 1 |
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22) |
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24) |
∞ |
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28) |
∞ |
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=1 |
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en+1 − 1 , |
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nX |
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37) |
sin |
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n + 1 |
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∞ |
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√ |
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√3 |
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3 |
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39) |
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43) |
∞ |
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ln2(5n + 1) |
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45) |
∞ |
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47) |
∞ 1 |
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49) |
∞ |
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=1 |
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51) |
∞ |
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53) |
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− |
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n , |
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∞arctg5 n
55)X 2√n + 1,n=1
14 |
∞ |
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36) |
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38) |
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∞ √3 |
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40) |
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∞ |
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ln(2n + 5) |
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42) |
nX |
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=1 |
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∞ |
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n ln(n + 2) |
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44) |
nX |
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=1 |
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∞ |
ln−100(2n + 1), |
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46) |
nX |
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=1 |
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48) |
∞ |
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1 |
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∞ |
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π |
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=1 |
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52) |
∞ |
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3n + 3−n − ln n |
, |
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nX |
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5n + sin n |
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54) |
∞ |
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sin2(n!) |
, |
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56) |
∞ |
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, |
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nX |
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∞ |
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1 |
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nX |
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57) |
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√n arctg n, |
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=1 |
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∞ 2n arcsin 1 |
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59) |
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∞ |
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1 |
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61) |
nX |
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63) |
∞ e |
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− 1 , |
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nX |
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1 |
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|||
65) |
∞ |
3n arctg |
, |
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|
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nX |
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1 |
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67) |
∞ n tg |
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2 |
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|
=2 |
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ln |
n |
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69) |
∞ |
ln(n!) |
, |
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|||||||||||
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n3 |
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nX |
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1 |
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71) |
∞ |
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, |
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n |
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∞ √ |
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− √ |
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, |
|||||||||||||||||||||
73) |
n + 2 |
n − 2 |
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nX |
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∞ |
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75) |
nX |
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||||||||||||||||||||||||||
77) |
∞ |
ln(n + 2) − ln n |
, |
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
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nα + 2cos n |
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X n=1
15 |
∞ |
sin20(2−n) |
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||||||||||||||||||||||
58) |
nX |
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3n |
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− |
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|||||||||||||||||
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3n 1 , |
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|||
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n + 2 n |
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1 |
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|||||||||||||||||||
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n=1 |
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n |
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u |
|
n |
||||||||||||||||
|
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|
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|
X |
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t |
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|||||||||
60) |
∞ ln |
|
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|
vcos |
|
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, |
|
|||||||||||||||
|
∞ arccos |
5 |
1 |
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||||||||||||||||
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√ |
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||||||||||||||
62) |
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n |
|
, |
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nX |
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||
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=1 an + ln2 n |
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|||||||||||||||||||||||
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nX |
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10 |
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n |
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64) |
∞ |
, |
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ln n |
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||||||||||
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=1 |
|
3 |
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∞ |
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sin |
1 |
− 1 |
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|||||||||||
66) |
3 |
|
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|
n |
, |
|
|
|
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|
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||||||||||||||||
nX |
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||
|
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|
n ln n |
|
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||||||||||
|
=2 |
|
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|||||||||
67) |
∞ |
3n + ln5 n |
, |
|
|
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||||||||||||||||||||
nX |
|
|
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|
|
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||||||||||||||
|
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nα + 1 |
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||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
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|||||||||||||||||||
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|
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|
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70) |
∞ |
|
arctg(n!) |
, |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
nX |
|
|
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|
|
|
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|
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|
n! |
|
|
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=1 |
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|||||
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|
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|
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|
|
∞ |
|
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1 |
|
|
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|
|
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72) |
nX |
|
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|
, |
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=2 n |
α+ 2 |
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||||||||||
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ln n |
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||||||
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||||
|
∞ |
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|
√ |
|
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|
|
|
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|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||
74) |
nX q |
|
|
|
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|
|
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|
, |
|||||
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|
|
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|
|
|
|
|
||||
|
=1 |
|
|
|
n5 + ln(n + 2) |
||||||||||||||||||||||||||
76) |
∞ ln 1 + |
|
cos2n1 |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|||||
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ln |
n |
||||||||||||||
78) |
∞ n ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 + cosnα n , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
|
=1 |
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
cos10(n4) |
|
|
|
|
||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
n, |
|||
|
√3 n6 |
− |
n + 1 |
|||||||||||
=2 |
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
(√ |
|
+ (−1)n)n |
|
|
||||||||
81) |
5 |
n2, |
||||||||||||
nX |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
5n |
|
|
· |
|
|
|
||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
1 + 2n |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
83) |
nX |
|
|
|
|
|
|
· n , |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||
=1 5n + 3 |
n |
|
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
sin6(3n2) |
|
|
|
||||
85) |
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
|
=1 n(ln2 n + ln n + 1) |
16 |
|
∞ √ |
|
|
|
|
|
− |
√ |
|
|
|
|
|
cos 2−n, |
|||||||||||
80) |
n + 2 |
n + 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
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|
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|
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||||||
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|
n |
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|
√n |
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||||||||||||
|
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|
|
|
|
− |
|
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|
|
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|||||
|
|
=2 |
|
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|
∞ |
|
(1 + √ |
|
|
cos nπ )2n |
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
82) |
nX |
|
|
|
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|
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3 |
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, |
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||
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32n |
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|||||||||||
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||||||
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=1 |
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|||||
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84) |
∞ |
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|
ln n |
cos |
|
|
n |
|
|
, |
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|
||||||||
|
nX |
|
|
|
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|
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|||||||||
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|
nα |
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3n + 2 |
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||||||||||||
|
|
=1 |
|
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|||||||||||||
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|
∞ √ |
|
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|
√ |
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|
p |
|
|
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n + 1 |
|||||||||
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||
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86) |
nX |
|
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− |
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( n + 1 |
|
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n) |
ln n |
|||||||||||||||||||
|
=1 |
|
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|||||||||||||||||||||
|
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1.2 Сходимость знакопеременных рядов.
Обратимся теперь к вопросу о сходимости рядов, члены которых имеют произвольные знаки (см. [1], стр. 518-540 или [2], стр. 293-318). Если члены ряда не все положительны, но, начиная с некоторого, становятся положительными, то отбросив достаточное количество первых членов ряда, сведем задачу к исследованию положительного ряда. Если же все члены ряда, начиная с некоторого места, отрицательны, то, почленно умножая ряд на (-1), снова придем к исследованию сходимости положительного ряда (см. [1], стр. 504-506 или [2], стр. 260-261). Таким образом, существенно новым случаем будет тот, когда среди членов ряда есть бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.
При исследовании вопроса о сходимости знакопеременных рядов полезными бывают признаки Лейбница, Абеля и Дирихле (см. [1], стр. 521-523, 536-539 или [2], стр. 302-308). При применении этих признаков необходимо показывать монотонное убывание некоторой последовательности {cn}. Если монотонность {cn} не очевидна, то используют следующий факт.
Пусть функция f : [1, +∞) → R такова, что f(n) = cn(n ≥ 1). Если функция f монотонна на [1, +∞), то и последовательность {cn} монотонна.
Аналогично, если lim f(x) = 0, то lim cn = 0 (докажите оба эти факта!).
x→+∞
17 |
nX |
( |
1)n−1 ln n |
|
||
Пример 1.5. Исследовать сходимость ряда |
∞ |
|
− |
|
|
. |
|
|
|||||
=2 |
|
√3 n + 1 |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
B Ряд знакочередующийся. Покажем, что он является рядом лейбни-
√
цевского типа. Пусть f(x) = ln x· ( 3 x + 1)−1. В силу правила Лопиталя
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
lim x−31 |
|
||||||||
lim |
= lim |
|
x |
|
= 3 |
= 0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→+∞ |
√3 x + 1 |
|
|
x→+∞ 31 x−2/3 |
|
x→+∞ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поэтому lim an = lim |
√3 |
|
+ 1 |
|
|
= 0. Далее, так как |
|
|||||||||||||||
n |
|
|
||||||||||||||||||||
f0(x) = |
3 − |
√3 |
|
|
(ln x − 3) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
< 0 |
|
x(> x |
|
2), |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3(√3 x + 1)2· x |
|
0 ≥ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
то f монотонно убывает на (x0, +∞), а {an} монотонно убывает при n >
n0(n0 ≥ x0).
В силу сказанного ряд сходится. C Выше нами было показано применение формулы Тейлора к изучению вопроса о сходимости положительных рядов. Формула Тейлора оказывается полезной и при исследовании сходимости знакопеременных рядов в случаях, когда применение признаков Лейбница, Абеля и Дирихле затруд-
нительно или невозможно.
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||||
Пример 1.6. Исследовать сходимость ряда |
|
∞ |
|
|
(−1)n−1 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 √n + ( 1)n ln n |
||||||||||||||||
B Используя формулу Тейлора для функции (1 + x)−1, получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
an = |
|
|
|
(−1)n−n |
|
|
= (−1) |
− |
1 + ( 1)n ln n − |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
√ |
|
+ (−1) ln n |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
− |
√ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
(−1)n−1 |
1 |
|
|
( 1)n |
ln n |
+ o |
ln n |
|
= |
(−1)n−1 |
+ |
ln n |
+ o |
ln n |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
√n |
|
− − |
|
|
√n |
|
|
√n |
|
|
|
√n |
|
|
|
|
n |
|
n |
||||||||||||||||||||||||
при n → ∞. |
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
Исходный ряд является суммой следующих двух рядов: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ (−1)n−1 |
и |
|
∞ ln n + o ln n . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
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18 Первый из них сходится как ряд лейбницевского типа (проверьте!).
Исследуем второй, обозначив его члены через bn.
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ln n |
|
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|
||
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bn = |
+ o |
ln n |
|
ln n |
при n → ∞. |
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|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
n |
||||
Отсюда, в частности, следует, что bn > 0 n(> n0). Поскольку, |
|||||||||||||
n |
≥ n |
|
|
≥ |
|
|
nP |
|
|
|
|||
ln n |
|
1 |
, |
|
n |
|
3, то ряд |
∞ bn расходится. Следовательно, исходный ряд |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
расходится. |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
C |
||||
|
|
|
|
|
|
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1.2.1. Исследуйте сходимость следующих знакопеременных рядов:
1) |
∞ |
(−1)n−1 |
, |
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|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
nX |
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
(−1) |
arcsin n, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
∞ |
|
|
sin nπ6 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
nX |
|
n + ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
cos nπ4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
=1 |
|
|
n + 1 |
|
|
arctg n, |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) |
(−1) |
sin 3n cos n, |
||||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
+ 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
||||||||||||||||||
11) |
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(−1) |
|
|
ln |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13) |
nX |
(−1)n−1 |
√n |
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||
n + 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15) |
∞ ln 1 + |
(−1)n−1 |
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√n |
|
|
|
||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n , n + 1
∞(−1)n
2)X √ , n=2 3 ln n
|
nX |
|
− |
|
n |
|
4) |
∞ |
( |
|
1)n arcsin |
n − 1 |
, |
=1 |
|
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∞1
6)X (−1)n(2ln n − 1),
n=2
8) |
∞ (−1) |
− |
3n , |
|
|
|
|
||||||||
nX |
|
|
|
|
n 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
2n + 5 · |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10) |
∞ |
|
|
|
|
n−1 |
|
n + 1 |
, |
|
|||||
nX |
(−1) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ln |
n |
||||||||||||
|
=1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
sin nπ |
|
|
|
n |
|||||||
12) |
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
√n + ln5 n· |
|
|||||||||||||
=1 |
|
|
|||||||||||||
|
nX |
|
( 1)n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14) |
∞ |
|
− |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
=1 |
|
|
|
1+ n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16) |
∞ |
|
|
(−1)n−1 |
, |
|
|
|
|||||||
nX |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
=1 |
|
√n + ( |
1)n |
|
|
|
|
17) |
∞ |
|
|
(−1)n−1 |
, |
|
|||||
nX |
|
|
|||||||||
|
n ln n + ( |
− |
1)n sin n |
||||||||
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19) |
∞ |
(−1)n sin 2n |
, |
|
|
|
|||||
nX |
|
|
|||||||||
|
|
ln(n + 1) |
|
|
|
|
|
||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n(n + 1) |
|
|
|||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2n + n |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21) |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
3n + n2 , |
|||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23) |
∞ |
|
cos(n + π4 ) |
. |
|
|
|||||
nX |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 ln2(n + 1) |
|
|
|
|
|
19
18) |
∞ |
|
|
|
|
|
|
(−1)n−1 |
|
, |
|
||||||
nX |
√ |
|
|
|
|
||||||||||||
n |
3 |
+ ( |
− |
n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1) ln n |
|
|
|||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ ( |
− |
1)n(1 + √ |
|
sin nπ ) |
||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||
20) |
nX |
|
|
|
|
|
5n + n |
|
|
4 |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
22) |
∞ cos( |
4 |
+ nπ) sin |
n |
, |
|
|||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость.
Основные понятия см. в [1] на стр. 548-549 или в [2] на стр. 293-316.
Пример 1.7. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
n=1 np + ln n.
B Прежде всего заметим, что при произвольном p R общий член ряда an → 0 при n → ∞. Справедливы следующие соотношения:
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
cos nπ |
|
|
|
sin2 nπ |
|
|
sin nπ |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
= |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
| |
|
6 |
| |
|
|
, n |
1 |
||||||||
|
|
p |
+ ln n |
− n |
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
+ ln n |
≤ n |
p |
||||||||||||||||
2 n |
|
|
|
+ ln n |
|
n |
|
+ ln n ≤ n |
|
+ ln n |
≥ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
если p > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при n |
|
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
p |
+ ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
если p |
|
≤ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
20 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
то ряд |
|
|
сходится при p > 1. Значит, при p > 1 сходится ряд |
|||||||||||
|
|
|
|
|
np + ln n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
| sin nπ6 | |
, а рассматриваемый ряд сходится абсолютно. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
=1 |
|
np + ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
sin2 nπ6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Исследуем теперь при p ≤ 1 ряд |
=1 |
|
|
. Он является разностью |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
np + ln n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
nX |
|
|
|
|
двух рядов: положительного — |
1 |
|
1 |
|
и знакопеременного — |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
=1 |
np + ln n |
||||||||
|
1 |
|
∞ |
cos nπ3 |
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
||||
|
. Первый из них расходится в силу признака сравнения. По- |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
=1 |
np + ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кажем сходимость второго. Имеем:
1) |
|
m |
|
|
nπ |
|
1 |
|
= 2, m ≥ 1 . |
||
|
cos |
|
≤ |
|
|
||||||
=1 |
3 |
sin π/6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
1 |
|
|
→ 0 при n → ∞ и произвольном p ≤ 1. |
|||
an = |
|
||||||||||
np + ln n |
3) стремление an к нулю монотонно, так как производная функции f(x) =
1 |
|
отрицательна на [1, +∞) (проверьте!). |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
xp + ln n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Таким образом, выполнены все условия признака Дирихле, и второй |
||||||||||||||
ряд сходится при p ≤ 1. Следовательно, ряд |
∞ sin2 nπ6 |
, а поэтому и ряд |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
=1 np + ln n |
||||||||||||||||
∞ |
| sin nπ6 | |
|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
||
расходится при p |
≤ |
1. |
|
|
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|
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||||||
=1 np + ln n |
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
cos nπ3 |
|
|
||||
|
|
Легко показать (аналогично тому, как исследован ряд |
|
) |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
=1 |
np + ln n |
||
сходимость исходного ряда p (≤ 1)nπ. |
|
|
|
nX |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
sin 6 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
Подведём итог. Ряд |
|
|
|
сходится абсолютно при p > 1 |
и |
|||||||||
|
|
|
np + ln n |
|||||||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
условно при p ≤ 1. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
1.3.1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие знакопеременные ряды.
1) |
∞ |
(−1)n−1 |
|
, |
|
|
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|||||||||||
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
=1 2√n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||
3) |
∞ |
|
|
|
|
|
|
(−1)n−1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 n(√n + 1 + √n) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
√n4 + 1 + √n4 |
− |
1, |
||||||||||||||||||||||||||||
5) |
=1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
cos n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
=1 |
√n + ln n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9) |
∞ |
|
|
(−1)n |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ln |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
nX n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11) |
∞ |
|
(−1)n ln n |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
√n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13) |
∞ |
|
|
|
sin n |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
nX |
|
n2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15) |
∞ |
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
|
cos |
1 |
, |
|
|
|||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
|
=1 n2 + √n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
17) |
∞ |
|
|
(−1) |
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
n+1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
nX |
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
=2 n ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
sin nπ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19) |
|
n(1 + ln n), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
21) |
|
|
(−1) |
|
(2n |
|
|
|
|
1), |
|
|
||||||||||||||||||
nX |
|
|
− |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
=1 2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
( |
|
|
|
1)n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) |
∞ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 ln n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
− √ |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||
4) |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|||||||||||||
=1 ln |
|
|
|
n + n |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
sin nπ4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
2 ln n + 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
6) |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
8) |
∞ |
(−1)n sin n |
, |
|
|
|
|
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|
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|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
||||
nX |
|
|
|
|
n |
|
√n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) |
∞ |
|
(−1)n |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||
|
n + 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
nX |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12) |
∞ |
|
(−1)n ln12 n |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
nX |
√ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n + n + 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
14) |
∞ |
|
|
(−1)n |
|
cos |
1 |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||
|
=1 n + √n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16) |
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
n+1 |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
||
|
=2 n ln2 n· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
sin nπ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
18) |
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|||
=1 n√n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∞ |
|
|
(−1)n−1√ |
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
20) |
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||
|
n2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||
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=1 |
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√n |
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1 |
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||||||||||||||||
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22) |
∞ |
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(−1)n |
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n |
, |
|
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|||||||||||||||||
nX |
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|||||||||||||
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||
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=1 2n + 1· 2n + 3 |
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n |
|
1 |
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|
∞ |
(−1) sin |
|
|
, |
||
23) |
2n+1 |
||||||
nX |
|
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||
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|
ln n |
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=2 |
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∞ |
sin(n!) |
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25) |
nX |
|
|
, |
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|||
|
|
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|||
=1 n√n + 1 |
|
|
|
∞(−1)n
27)X √ , n=1 nn
29) |
∞ |
|
(−1)n |
tg |
1 |
, |
|
|
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|
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|
||||||||||||||
nX |
|
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||||||||||||
|
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|
n |
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|
|
|||||||
|
=1 n + ln n |
|
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|||||||||||||||||
31) |
∞ |
|
(−1)n |
|
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|
arctg n, |
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|||||||||||||||
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||||||||||||||||||
=1 n + ln n |
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||||||||||||||||||||||
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|||||||||||
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nX |
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33) |
∞ |
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sin(2n) |
, |
|
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|||||||
nX |
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|||||||
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2 |
n |
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|||
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=2 n ln |
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|||||||
|
∞ |
|
cos 2n |
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|||||
|
|
|
|
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|
n |
|
|
|
|
|
||||||||
35) |
X |
|
|
|
|
|
|
|
arcsin q0, 2, |
||||||||||||||||||
n=1 |
2n + 1 |
||||||||||||||||||||||||||
37) |
∞ |
|
(−1)n |
|
cos |
1 |
|
, |
|
|
|
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|||||||||||
nX |
|
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|||||||||||||||||
|
|
ln n |
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|
2n |
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|||||||||||
|
=2 |
|
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||||||||||||
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39) |
∞ |
|
√3 |
|
(−1)n |
|
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|
sin(1 + |
1 |
), |
|||||||||||||||
nX |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
|
|
|
n + 1 + √n |
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
n √ |
|
|
|
|
|
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|
|
√ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
41) |
nX |
|
|
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n), |
|||
(−1) ( n + 1 − |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
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43) |
∞ |
|
sin 2n |
|
ln |
2n + 1 |
, |
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|||||||||||||||
nX |
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||||||||||||||||||
|
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|
2 |
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|
2n |
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||||||||
|
=2 |
|
ln |
n |
|
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|||||||||
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||||
|
∞ |
|
cos nπ3 |
|
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|
n + 1 |
|
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||||||||||||
45) |
nX |
|
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|
cos |
|
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|
|
, |
|
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||||
|
ln ln n |
|
3n + 5 |
|
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||||||||||||||||||||
=3 |
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|||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||
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22 ∞ |
( |
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1)n ln10 n |
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|||||||||||||||||
24) |
nX |
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|
− |
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|
, |
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||||
=2 |
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n2 + 1 |
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|||||||||||||||
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||||||||||||||
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|
∞ |
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n ln n |
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||||||||||
|
nX |
|
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26) |
(−1) |
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n , |
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|||||||||||||
=2 |
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∞ |
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cos nπ4 |
|
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|
3n + 1 |
|
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|||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
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28) |
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4n |
, |
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||||||||
=1 2n + 3· |
|
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||||||||||||||||||||||||
30) |
∞ |
|
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|
sin n |
, |
|
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|||||||||||
nX |
|
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|||||||||
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n + cos n |
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||||||||||||||||
|
=1 |
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||||||||||||||||
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|
∞ |
|
|
sin nπ6 |
|
|
|
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|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
|
nX |
|
|
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32) |
|
√n + 5 ln n + 3, |
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|||||||||||||||||||||||||||
=1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
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34) |
∞ |
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|
sin n |
arcsin |
|
1 |
|
, |
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||
nX |
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|
n |
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|||||||||||||||
|
|
2n + 1 |
|
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|
3 |
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||||||||||||||
|
=1 |
|
|
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|||||||||||||||
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|
|
∞ |
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|
cos 2πn5 |
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|
2 |
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|||||||||||||
36) |
nX |
|
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||
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||
=1 2 ln n + √n + 1 arctg n , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
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|
ln n |
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||||||||
38) |
nX |
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· sin n, |
||||||
sin √3 |
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|
− |
|
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|||||||||||||||||||
=1 |
n |
5 |
|
+ n |
2 |
|
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|
n + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||
40) |
∞ |
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√3 |
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(−1)n |
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|
sin |
√4 1 |
|
, |
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|||||||||||||||||||||
nX |
|
|
3 |
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|
3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||
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n + 1 + √n |
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|
n |
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||||||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
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|
√ |
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
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|
n √ |
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1 |
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|||||||||||||||
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3 |
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|
3 |
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|
|||||
|
nX |
|
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42) |
(−1) ( |
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n + 1 − |
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|
n − 1) sin √n, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
=1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin nπ |
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n |
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44) |
nX |
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=1 3√n + 5n + 1· |
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46) |
∞ |
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sin nπ6 |
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, |
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n2 ln n |
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=2 |
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47) |
∞ |
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cos n |
sin |
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n |
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, |
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nX |
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ln n |
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n5 + 1 |
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=2 |
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49) |
∞ |
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(−1)n sin2 n |
, |
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nX |
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√n4 + 2n |
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=1 |
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nX |
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nπ |
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1 |
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n + 1 |
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51) |
∞ sin |
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tg |
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arctg |
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, |
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=1 |
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4 |
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n |
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n |
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sin nπ6 |
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||||||||||
53) |
nX |
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=2 2√n + 3 ln n, |
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∞ |
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cos n ln12 n |
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nX |
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55) |
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√3 3n |
− |
ln n, |
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=2 |
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||||||||||||||||||
57) |
∞ |
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cos n· arcsin n3+1n |
, |
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nX |
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=1 n(ln2 n + ln n + 1) |
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∞ |
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cos nπ4 |
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1 |
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59) |
nX |
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− |
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=2 n |
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√n arcsin 3√n, |
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61) |
∞ |
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sin |
nπ |
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+1 |
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2 , |
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||||||||||||||||||||
|
3 |
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2nn |
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nX |
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− |
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|||||||||||||||
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=1 3n + 1· |
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||||||||||||||||
|
∞ |
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nπ |
ln100 n |
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||||||||||||||||||
63) |
nX |
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, |
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sin |
4 · |
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n |
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||||||||||||||||||||
=1 |
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(−1)[√ |
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] |
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65) |
∞ |
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n |
sin |
1 |
, |
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||||||||||||||||||||||
nX |
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n + 10 |
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n |
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||||||||||||||
|
=1 |
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|||||||||||||||
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∞ |
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sin n |
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|||||||||||
67) |
nX |
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4 |
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|||
=1 |
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n + 3 sin nπ , |
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23 |
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48) |
∞ |
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(−1)n ln n |
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n |
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, |
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||||||||||||||||
nX |
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=2 n2 + n + 1· 5n + 2 |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
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1 |
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√ |
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||||
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n |
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||||||
50) |
nX |
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cos n tg |
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tg |
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2, |
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|||||||||||||||
=1 |
n |
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52) |
∞ |
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sin n |
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, |
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||||||
nX |
|
|
√ |
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15 |
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||||||
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|||||||||
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n ln |
n |
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|||||||||||
|
=2 |
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||||||||||||
|
∞ |
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|
cos n ln5 n |
|
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||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
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54) |
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√3 n + 3n2 + 5n5 , |
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||||||||||||||||||||||||
=1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||
56) |
∞ |
(−1)n−1 |
, |
|
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|||||||||||
|
=1 |
|
|
np+1/n |
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||||||
|
nX |
|
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58) |
∞ |
(−1)n |
, |
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|||||||
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=2 |
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lnp n |
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||||||
|
nX |
|
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60) |
∞ |
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|
(−1)n |
|
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|
|
, |
|
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||||||||
nX |
|
|
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|||||||||||
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|||||||
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=1 n + sin n |
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||||||||||||||
|
∞ √ |
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|
√ |
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|||||||
62) |
nX |
( 2n + 1 − |
|
|
|
2n − 1) sin n, |
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|||||||||||||||||||||||||
=1 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
∞ |
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|
|
√ |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
||||||
|
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|
|
|
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|
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|
|
n |
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|||||||||
|
nX |
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64) |
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sin n· 2n + 25, |
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||||||||||||||||||||||
=1 |
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||||||||||||||||||||||||
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66) |
∞ |
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sin nπ4 |
, |
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nX |
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||||||
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np + 1 |
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|||||||
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=1 |
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||||||||
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||
68) |
∞ |
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|
(−1)n |
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1· 4· 7· . . . · (3n − 2) |
p, |
||||||||||||||||||||||||
nX |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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7 |
· |
9 |
· |
|
· |
|
|
· |
(2n + 5) |
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|||||||||||||
|
=1 |
|
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|
n |
|
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|
11 . . . |
|
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||||||||||||||||||
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69) |
∞ |
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|
(−1)n |
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, |
|
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|||||||||
nX |
|
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|
n |
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||||||||||||||
|
|
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||||||||||
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n + ( |
− |
|
|
|
|
|
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|||||||
|
=2 |
|
|
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|
1) |
|
|
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||||||||
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||
71) |
∞ |
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|
(−1)n |
, |
|
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||||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
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|
n p |
|
|
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|
|
|||||||||||||
|
|
[n + ( |
− |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||
|
=2 |
|
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|
1) ] |
|
|
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|
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|||||||||||||
|
|
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|
|
|
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73) |
∞ ln 1 + |
(−1)n |
, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
√n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
=2 |
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
75) |
∞ |
|
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|
|
n−1 |
|
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|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
(−1) |
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|
sin n |
|
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||||||||||||||||
|
=1 |
|
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|
∞ |
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|
n |
|
|
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|
|
|
1 |
|
|
|
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n + 1 |
||||||
|
nX |
|
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77) |
(−1) |
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sin √ |
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|
· arctg n , |
|||||||||||||||||||||
=1 |
|
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|
n |
|||||||||||||||||||||||||
|
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79) |
∞ |
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sin n |
|
|
cos |
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|
1 |
|
, |
|
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|||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
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ln n + 1 |
|
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n ln n |
|||||||||||||||||||
|
=2 |
|
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|||||||||||||||||||||
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||
|
∞ |
|
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( |
− |
1)n |
|
|
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|
|
|
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||||||||||
81) |
nX |
|
√ |
|
|
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|
sin(ln n), |
|||||||
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||||||||||
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2 |
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3 |
||||||||
|
=1 |
|
|
1 + 2n |
|
+ 3n |
|
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|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n(n+1) |
|
|
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||||||||||
83) |
∞ |
|
(−1) |
|
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|
2 |
|
|
|
, |
|
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|
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|||||||
nX |
|
|
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||||||||||
|
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ln n |
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||||||
|
=2 |
|
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|||||||
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||
85) |
∞ |
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|
(−1)n |
√n |
|
, |
|
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|
|||||||||||
|
|
n |
|
|
|
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|
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||||||||||||||||
nX |
|
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||||||||||||||||
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||||||||||||||||
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=3 ln ln n |
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|||||||||
|
∞ |
|
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|
√ |
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|
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|
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|
|
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||||
87) |
nX |
|
sin(π |
|
|
|
n2 + 1), |
||||||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
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89) |
∞ |
|
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(−1)n−1 |
|
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|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||
|
|
|
n + ( |
− |
1)n ln n |
|
|
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|||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
24 |
∞ |
|
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|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
3) |
|
p |
|||
70) |
|
|
(−1) |
|
1· 5· |
9· . . . · (4n − |
, |
||||||||||||||||||||||||
nX |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
· · |
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
|
|
· |
|
|
|
· |
(3n |
− |
2) |
|
|
||||||||||||
|
|
=2 ln n |
|
|
|
1 4 7 . . . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
72) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|||||||||
|
|
=1 [√n + ( 1)n 1]p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
74) |
|
∞ |
(−1)n(ln(n + 1) − ln n), |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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76) |
(−1) |
sin n2 , |
|
|
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|
||||||||||||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
78) |
|
∞ |
|
|
|
sin n |
|
|
|
sin |
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ln n + 1 |
|
|
n ln n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
(−1)n−1 |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
80) |
|
|
|
3n + 1 |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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3n + |
√n |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
=1 √n + ln nu |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
u |
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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82) |
nX |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
(−1)n sin √n n, |
|
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|
|||||||||||||||||||
|
|
=1 |
|
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|
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|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
cos(n!) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||
84) |
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
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|
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|
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|
|||
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=1 (n + 1)(ln3 n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
(2n)!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||
|
nX |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
86) |
(−1) |
(2n |
− |
1)!!, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
∞ |
|
sin(π√3 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n3 + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
88) |
nX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
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|
||
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
ln2 n |
|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
|
∞ |
|
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sin n |
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nX |
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90) |
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n + 10 sin n, |
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=10 |
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