Скляр в пересказе Орешкина

Рис.3.3. Узкополосные аналоговые сигналы

Решение.

Мы можем графически определить отношение принятой энергии на бит сигнала,

используя для этого один из двух графиков - либо s1(t) , либо s2 (t) , представленных на рис.3.3. Энергия - это площадь под графиком импульса, которая находится путем интег-

рирования.

3

Eb v2 (t)dt (10 3 B)(10 6 c) (2 10 3 B)2 (10 6 c)

0

(10 3 B)2 (10 6 c) 6 10 12 Дж .

Поскольку сигналы, изображенные на рис.3.3, являются антиподными и обнаружи-

ваются с помощью согласованного фильтра, используем формулу (3.24) для вычисления вероятности появления ошибочного бита.

того, поскольку аргумент Q(x) больше трех, можно также использовать аппроксимацию,

которая дает вероятность Pb 2,9 10 4 .

Пример 3.3.

1) Найдите минимальную ширину полосы, требуемую для узкополосной передачи последовательности четырехуровневых импульсов в кодировке РАМ со скоростью

R = 2400 бит/с, если передаточная характеристика системы имеет вид приподнятого коси-

нуса со 100%-ным избытком полосы ( r 1 ).

2) Та же последовательность модулируется несущей, так что теперь узкополосный спектр смещен и центрирован на частоте f0 . Определите минимальную двустороннюю полосу, требуемую для передачи модулированной последовательности РАМ. Передаточ-

ная характеристика такая же, как в п. 1.

41

Решение.

1) M 2k , поскольку М = 4 уровня, k = 2.

Скорость передачи символов или импульсов

минимальная ширина полосы

W12 (1 r)Rs 12 (2)(1200) 1200[Гц].

2)Здесь, как и в п. 1,

Rs 1200 [символов/с];

WDSB (1 r)Rs 2(1200) 2400[Гц].

При смещении вверх по частоте спектра смещаются отрицательная и положитель-

ная половины узкополосного спектра, таким образом требуемая полоса передачи дубли-

руется. Как указывает название, двусторонний сигнал имеет две боковые полосы: верх-

нюю боковую полосу (upper sideband - USB), получаемую из положительной половины узкополосного сигнала, и нижнюю боковую полосу (lower sideband - LSB), получаемую из отрицательной половины.

Пример 3. 4. Сравните требования, предъявляемые к ширине полосы системы для наземного аналогового телефонного канала передачи в речевом диапазоне (3 кГц) и циф-

рового канала. Для цифрового канала речь форматируется как поток битов в кодировке РСМ с частотой дискретизации аналогового сигнала 8000 выборок/с. Каждая речевая вы-

борка квантуется на один из 256 уровней. Затем поток битов передается с использованием сигналов РСМ и принимается с нулевой межсимвольной интерференцией.

Решение.

Процесс дискретизации и квантования дает слова РСМ, каждое из которых пред-

ставляет одну выборку и относится к одному из L = 256 различных уровней. Если каждая выборка передается как 256-уровневый импульс (символ) в кодировке РАМ, то получим ширину полосы (без межсимвольной интерференции), требуемую для передачи Rs симво-

лов/с.

W R2s [Гц].

Здесь равенство достигается только при использовании идеальной фильтрации Найквиста. Поскольку цифровая телефонная система использует (двоичные) сигналы РСМ, каждое слово РСМ преобразовывается в l log2 L log2 256 8 бит. Следовательно,

полоса, необходимая для передачи речи с использованием РСМ, равна выражению:

42

Глава 4. Полосовая модуляция

Цифровая модуляция - это процесс преобразования цифровых символов в сигна-

лы, совместимые с характеристиками канала. При узкополосной модуляции (base band modulation) эти сигналы обычно имеют вид импульсов заданной формы. В случае полосо-

вой модуляции (band pass modulation) импульсы заданной формы модулируют синусоиду,

называемую несущей волной (carrier wave), или просто несущей (carrier). Полосовая моду-

ляция - это этап, необходимый для всех систем, использующих радиопередачу.

4.1. Методы цифровой полосовой модуляции

Полосовая модуляция (аналоговая или цифровая) - это процесс преобразования информационного сигнала в синусоидальную волну; при цифровой модуляции синусои-

да на интервале Т называется цифровым символом. Синусоиды могут отличаться по ам-

плитуде, частоте и фазе. Таким образом, полосовую модуляцию можно определить как процесс варьирования амплитуды, частоты или фазы (или их комбинаций) радиочастот-

ной несущей согласно передаваемой информации.

В общем виде несущая записывается следующим образом:

где ω - угловая частота несущей; (t) - ее фаза. Частота может записываться как пе-

ременная f или как переменная ω. В первом случае частота измеряется в герцах (Гц),

во втором - в радианах в секунду (рад/с). Эти параметры связаны соотношением 2 f .

Если для обнаружения сигналов приемник использует информацию о фазе несу-

щей, процесс называется когерентным обнаружением (coherent detection); если подобная информация не используется, процесс именуется некогерентным обнаружением (no coherent detection). Вообще, термины "демодуляция" (demodulation) и "обнаружение"

44

(detection) часто используются как синонимы, хотя демодуляция делает акцент на восста-

новлении сигнала, а обнаружение - на принятии решения относительно символьного зна-

чения принятого сигнала.

4.2. Векторное представление синусоиды

Используя известное тригонометрическое равенство, называемое теоремой Эй-

лера, введем комплексную запись синусоидальной несущей:

e j 0t cos 0t i sin 0t . (4.4)

Далее будет показано, что такая форма записи облегчает описание реализации реаль-

ных модуляторов и демодуляторов.

При комплексной записи в компактной форме, e j 0t , указаны два важных компо-

нента любой синусоидальной несущей волны, называемые взаимно ортогональными син-

фазной (действительной) и квадратурной (мнимой) составляющими.

4.3. Фазовая манипуляция

Сигнал фазовой манипуляции (phase shift keying - PSK)

Здесь фазовый член i (t) может принимать М дискретных значений:

i (t) 2Mi , i 1,...,M .

4.4. Частотная манипуляция

Общее аналитическое выражение для сигнала в частотной манипуляции (frequency shift keying - FSK) имеет вид

Здесь частота ω0 может принимать М дискретных значений, а фаза φ является про-

извольной константой.

45

4.5. Амплитудная манипуляция

Сигнал в амплитудной манипуляции (amplitude shift keying - ASK) описывается вы-

ражением

зовый член φ - это произвольная константа.

4.6. Амплитудно-фазовая манипуляция

Амплитудно-фазовая манипуляция (amplitude phase keying - АРК) - это комбина-

ция схем ASK и PSK. Сигнал в модуляции АРК выражается как

с индексированием амплитудного и фазового членов.

4.7. Корреляционный приемник

Предполагается, что сигнал искажается только вследствие шума AWGN. Принятый

сигнал будем описывать как сумму переданного сигнала и случайного шума.

r(t) si (t) n(t), 0 t T , i 1,...,M . (4.9)

При наличии подобного принятого сигнала процесс обнаружения включает два ос-

новных этапа. На этапе 1 принятый сигнал r(t) усекается до одной случайной переменной z(T) или до набора случайных переменных zi(T) (i = 1,..., М), формируемых на выходе де-

модулятора и устройства дискретизации в момент времени t = Т, где Т - длительность символа. На этапе 2 на основе сравнения z(T) с порогом или согласно критерию максиму-

ма zi(T) принимается решение относительно значения символа.

Согласованный фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал/шум на вы-

ходе фильтра в момент t = Т. Как одна из реализаций согласованного фильтра описывался коррелятор. Теперь мы можем определить корреляционный приемник (correlation receiver),

состоящий, как показано на рис.4.1,а, из М корреляторов, выполняющих преобразование принятого сигнала r(t) в последовательность М чисел или выходов коррелятора, zi(T)

46

4.8. Минимальное расстояние между тонами FSK

Минимальное расстояние между тонами для ортогональной передачи сигналов FSK

с некогерентным обнаружением

Следовательно, при одинаковых скоростях передачи символов когерентное обна-

ружение требует меньшей ширины полосы, чем некогерентное, обеспечивая при этом ортогональную передачу сигналов.

4.9. Комплексная огибающая

Описание реальных модуляторов и демодуляторов облегчается при использовании комплексной формы записи. Любой реальный полосовой сигнал s(t) можно представить в комплексной форме как

В формуле (4.13) g(t) можно называть полосовым сообщением или данными в комплексной форме, а e j 0t - несущей в комплексной форме. Произведение этих двух ве-

личин представляет операцию модулирования, a s(t), действительная часть произведения,

- это переданный сигнал. Следовательно, используя формулы (4.4), (4.13) и (4.14), s(t)

можно записать как:

Отметим, что модулирование сигналов, выраженное в общей форме (а + ib), умно-

женное на (с + id), дает сигнал с переменой знака (в квадратурном члене несущей вол-

ны) вида ас – bd.

4.10. Вероятность ошибки в бинарных системах

Рассмотрим вероятность появления ошибочного бита при следующих условиях:

Данный результат для полосовой передачи антиподных сигналов BPSK совпада-

ет с полученными ранее формулами для обнаружения антиподных сигналов с использова-

нием согласованного фильтра и обнаружения узкополосных антиподных сигналов с при-

менением согласованного фильтра;

когерентное обнаружение сигнала в дифференциальной модуляции

BPSK. Вероятность появления ошибочного бита при когерентном обнаружении сигналов

в дифференциальной модуляции PSK (DPSK) дается выражением:

когерентное обнаружение сигнала в бинарной ортогональной модуляции

FSK

Зависимость (4.20) для когерентного обнаружения ортогональных сигналов BFSK

аналогична зависимости, полученной для обнаружения ортогональных сигналов с по-

мощью согласованного фильтра и узкополосных ортогональных сигналов (униполярных импульсов) с использованием согласованного фильтра;

некогерентное обнаружение сигнала в бинарной ортогональной модуля-

ции FSK

некогерентной и когерентной FSK, можно заметить, что при равных Рb некогерентная FSK

49

требует приблизительно на 1 дБ большего отношения Eb/N0, чем когерентная FSK (для Рb

< 10–4). При этом некогерентный приемник легче реализуется, поскольку не требуется ге-

нерировать когерентные опорные сигналы;

бинарная модуляция DPSK

Зависимость (4.22) представляет собой дифференциальное когерентное обнару-

жение сигналов в дифференциальной модуляции PSK или DPSK;

модуляции MPSK. Для больших отношений сигнал/шум вероятность символь-

ной ошибки PE(M) для равновероятных сигналов в M-арной модуляции PSK с когерентным обнаружением можно выразить как

где PE(M) - вероятность символьной ошибки; Es Eb (log2 M ) - энергия, приходя-

щаяся на символ; М = 2k - размер множества символов.

Вероятность символьной ошибки для дифференциального когерентного обнаруже-

ния М-арной схемы DPSK (для больших значений Eb / N0 ) выражается подобно тому, как это было приведено выше.

модуляция MFSK. Вероятность символьной ошибки PE (M ) для равноверо-

ятных ортогональных сигналов с когерентным обнаружением можно выразить как

сигналов с некогерентным обнаружением дается следующим выражением:

является стандартным биномиальным коэффициентом, выражающим число спосо-

бов выбора j ошибочных символов из М возможных.

50