motau

5. Составляем

характеристическое

уравнение

det( A E) 0 :

3

4

2

5

2

0 .

1

2;

2

3

1; (корни вещественные: два

из них кратные).

8.

Для корня

1

2

найдем частное решение вида:

x (t)

h(1)

e2t ;

x (t) h(1)

2

e2t

x (t)

h(1)

e2t .

1

1

2

3

3

ставляя значение корня

1

2 :

6

h11

2 h12

5 h13

0

6 h11

3 h12

6 h13

0 ;

8

h11

3 h12

7 h13

0

2

8

9

3

1

11

1

h(1) k

k

6

6

6

2 .

12

1

1

3

10

8

6

2

13

Тогда

частное

решение

для значения

корня

1

2

запишется:

x1

2

(t) 1 e

2t

; x2

2

(t)

2 e

2t

; x3

2

(t) 2 e

2t

.

(2.11)

подстановке

значения корня

=1 в выражение (А-

Е) получим матри-

цу:

5

2

5

( A

E)

6

2

6 .

8

3

8

Ее порядок n равен 3 , ранг

r= 2,

найденный известными метода-

ми.

Число

линейно

независимых

собственных

векторов

равно

m

n r 1. Корень

=1 имеет кратность k=2.

Так как m<k,

то решение следует искать в виде произведения мно-

гочлена степени k-m=1 на

e1t :

x1(t)

P(1) (t)

e1t

(a1

a2

t)

e1t ;

x2 (t)

Q(1) (t)

e1t

(b1

b2

t) e1t ;

x3(t)

S (1) (t)

e1t

(c1

c2

t)

e1t .

Для нахождения коэффициентов ai,

bi, ci

(i=1,2) делаем подстанов-

ку полученных выражений в исходную систему (2.4).

Сокращая на

e1 t правую

и левую

часть

уравнений,

имеем:

a2 t a1

a2

( 4a2

2b2

5c2 ) t 4a1

2b1

5c1

b2 t b1

b2

(6a2

b2

6c2 ) t 6a1

b1

6c1 .

c2 t c1

c2

( 8a2

3b2

9c2 ) t 8a1

3b1

9c1

Приравнивая

коэффициенты

при

t

и свободные члены, получаем

систему уравнений:

Так как кратность корня

=1

равна 2, будем считать известными

два коэффициента с1 и с2 . Остальные неизвестные коэффициенты

вы-

разим через них. Решая систему, находим:

a2

c2 ;

a1

c1

c2;

b2

0;

b1

3 c2 .

5 a

2 b 5 c

0,

(t1)

2

2

2

5 a 2 b 5 c a ,

(t0 )

1

1

1

2

6 a

2 b 6 c

0,

(t1)

2

2

2

6 a 2 b 6 c b ,

(t0 )

1

1

1

2

8 a

3 b 8 c

0,

(t1)

2

2

2

8 a 3 b 8 c c .

(t0 )

1

1

1

2

Частное решение для кратного корня

=1 принимает вид:

x

1(t)

(c

c

c

t) et

; x

1(t) 3 c et

;

1

1

2

2

2

2

et.

(2.12)

x

1(t)

(c

c t)

3

1

2

x1(t) x1

1(t) x1

2 (t) (c1

c2 c3 t) et c3 e2t ;

x2 (t) x2

1(t) x2

2 (t) 3 c2 et 2 c3 e2t ;

x3(t) x3

1(t) x3

2 (t) (c1

c2 t) et 2 c3 e2t ,

dx1

5 x1

x2

dt

dx2

x1

5 x2

dt

с начальными условиями X0

x0,1 .

x0,2

A

5

1

.

1

5

3.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

2

10

26

0 ;

1,2

5

i

(корни комплексно сопряженные).

4.

Для

корня

5

i

найдем

собственный

вектор

h(1) .

Для этой цели

делаем подстановку в матрицу ( A

E)

значения этого

корня и получаем систему уравнений:

i

h11

h12

0

h11

i

h12

0 .

Эти

два

уравнения

линейно

зависимы.

Поэтому

для нахождения

h11 и h12 можно

воспользоваться любым уравнением системы.

Пусть

h11

1. Тогда из первого уравнения h12

i .

x1(t)

1 e(5 i) t

h1 e(5 i)t

e5t

eit

e5t

(cos(t) i

sin(t)) ;

x2 (t)

h2 e(5 i)t

i e(5 i) t

i

e5t

eit

e5t (sin(t)

i cos(t)) .

x

Re(x )

e5t

cos(t)

11

1

(первое частное решение);

e5t

x

Re(x )

sin(t)

12

2

x

Im(x )

e5t

sin(t)

21

1

(второе частное решение).

e5t

x

Im(x )

cos(t)

22

2

x1

c1

x11

c2

x12

e5t (c1 cos(t)

c2 sin(t));

x2 (t) c1

x12

c2

x22

e5t (c1 sin(t)

c2 cos(t)).

Задания практического занятия № 5

Дана система дифференциальных уравнений:

dx1

a11 x1

a12

x2

a13 x3

dt

dx2

a21 x1

a22

x2

a23 x3

dt

dx3

a31 x1

a32

x2

a33 x3

dt

x10

с начальными условиями x20 .

x30

Требуется:

решить систему уравнений и построить графики зависимостей

x1(t), x2 (t)

x3(t).

Варианты практического занятия № 5

Вари-

анты

a11

a12

а13

a21

а22

а23

а31

а32

а33

x10

x20

x30

зада-

ния

1.

-4

-3

-2

0

0

1

6

5

2

1

1

2

2.

8

2

-1

0

1

-1

-6

-4

1

1

2

0

3.

-2

2

-1

0

-5

-1

-6

-4

1

1

2

0

Вари-

анты

a11

a12

а13

a21

а22

а23

а31

а32

а33

x10

x20

x30

зада-

ния

4.

-2

2

-1

6

0

-1

2

-4

1

1

2

0

5.

-4

-3

-2

0

0

1

6

5

2

1

0

2

6.

9

2

1

-6

5

1

7

-4

1

1

1

2

7.

-1

0

4

3

2

1

1

1

6

1

0

2

8.

1

2

-1

8

1

-1

1

-4

1

1

0

0

9.

2

1

-1

1

-1

-1

-1

1

2

1

0

2

10.

-8

-2

1

0

-1

1

6

4

-1

0

0

2

11.

-4

-3

-2

0

0

1

6

5

2

1

0

2

12.

-2

2

1

0

-5

-1

-6

-4

1

1

0

1

13.

-2

2

-1

6

0

-1

2

-4

1

2

1

2

14.

-1

0

4

3

2

1

1

1

6

1

1

2

15.

-8

-2

1

0

-1

1

6

4

-1

1

1

2

16.

2

1

-1

1

-1

-1

-1

1

2

2

1

2

17.

1

2

-1

8

1

-1

1

-4

1

1

1

2

18.

9

2

1

-6

5

1

7

-4

1

1

2

1

19.

-2

2

-1

6

0

-1

2

-4

1

1

2

1

20.

8

2

-1

0

1

-1

-6

-4

1

1

2

1

dX

AX (t) G(t).

(2.13)

dt

Решение системы (2.13) состоит

из суммы двух решений:

X (t) e A t X

0

t e A(t )

G( ) d .

(2.14)

0

g

k

(t) Pmk ev t , (k 1, 2, , n) ,

k

где

Pmk (t)

a

a

t

a

tmk

(k

1, 2, , n) полином степе-

k

0k

1k

mk

ни m.

Частное решение в этом случае отыскивается в виде:

(2.15)

xkчастн (t)

Qkz

s (t) ev t

(k

1, 2,

, n) ,

где Qz

s (t) – полиномы степени (m+s) с неизвестными коэффициен-

k

тами;

z m a x (m

)

k(

1, 2 , n ,– максимальная)

степень полинома

k

gk (t) ;

v – экспоненциальная степень полинома gk (t) ; s –коэффициент.

тов при подобных членах уравнений.

2 . Элементы вектора G(t)

представлены в виде

произведения поли-

номов степени mk ,nk на гармонические функции:

g

k

(t)

e t Rmk (t) cos(

t) W nk (t) sin( t) .

(k 1, 2, , n)

k

k

частн

(t) e

t

z

s

(t)

z

s

(t)

sin( t) ,

(2.16)

xk

Pk

cos( t) Qk

где Pz

s , Qz

s

– полиномы степени (z+s) с неизвестными

коэффици-

k

k

ентами; z max (mk

n, k )

k(

1, 2, n , –)максимальная степень поли-

нома gk (t) ;

(

i )

– экспоненциальная степень полинома

gk (t) ; s –

коэффициент.

Величина s находится из следующих условий:

а)

s =0

,

если

i

не является корнем характеристического

уравнения однородной системы;

б) s= k (k – кратность корня), если

i

является корнем характе-

dx1

2

X 2

3 t

dt

dx2

2

X1

4

dt

с нач. усл.: X0

x1,0 .

x2,0

E

A

2

;

2

в) характеристическое уравнение:

2

4

0 ;

г) корни характеристического уравнения:

1

2 i ;

2

2 i

(корни мнимые);

д) модальная матрица:

H

i

i

;

1

1

е) фундаментальная матрица:

Ф(t)

i(e(2 i) t

e( 2 i) t )

(e(2 i) t

e( 2 i) t )

=

(e(2 i) t

e( 2 i) t )

i(e(2 i) t

e( 2 i) t )

=

cos2t

sin 2t

;

sin 2t cos2t