Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

motau

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

3.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

	1	0,5	0	0,5	0	0
C	0	1,5	7	1,5	1	0 .
	0	6,5	1	2,5	0	1

3.В качестве опорного элемента принимаем c22 1,5 . Делим

на него элементы второй строки. Вычитаем из первой строки вторую строку, умноженную на второй элемент первой строки; вычитаем из третьей строки вторую строку, умноженную на второй элемент третьей строки матрицы.

В результате получаем преобразованную матрицу:

		1	0	2,333	0	0,0335	0
	C	0	1	4,667	1	0,667	0 .
		0	0	31,333	4	4,333	1
4.	В качестве ведущего элемента принимаем c33 31,333 . Де-

лим на него элементы третьей строки. Вычитаем из первой строки третью строку, умноженную на третий элемент первой строки; вычитаем из второй строки третью строку, умноженную на третий элемент второй строки матрицы.

В результате получаем преобразованную матрицу:

	1	0	0	0,298	0,011	0,074
C	0	1	0	0,404	0,021	0,149 .
	0	0	1	0,128	0,138	0,032

Обратная матрица получилась в трех последних столбцах. При правильных вычислениях первые три столбца дают единичную матрицу. Как побочный результат имеем также определитель матрицы A, равный произведению тех значений опорных элементов, которые они принимают на соответствующих шагах матрицы A,1 :

det A 2 1,5 ( 31,333) 94 .

Пример 7

Определить устойчивость АСР алгебраическими критериями Гурвица и

Льенара-Шипара

по

дифференциальному

уравнению

замкнутой системы:

d y

6 y 9

4 x .

Решение

1. Под устойчивостью системы понимают свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения внешнего возмущения. Математически это описывается однородным дифференциальным уравнением замкнутой АСР:

5	d y	9	d y	7	d y	6 y 0 .
	dt3		dt2		dt

2.Составляем определитель Гурвица согласно (1.15):

9 6 0

3	5 7 0 .

0 9 6

3.Вычисляем главные миноры определителя Гурвица:

				9	6			9	6	0
	9	0;		9	6	33 0;		5	7	0	6 ( 1)3 3		198 0.
1	9	0;	2	5	7	33 0;	3	5	7	0	6 ( 1)3 3	2	198 0.
1			2				3					2
								0	9	6
								0	9	6

4.Система автоматического управления устойчивая, поскольку коэффициенты дифференциального уравнения положительны и определители, составленные как главные миноры матрицы Гурвица, положительны.

5.Определим устойчивость системы с помощью критерия ЛьенараШипара. Система устойчивая, поскольку коэффициенты дифференциального уравнения положительны, и определители с нечетными индексами, составленные как главные миноры матрицы Гурвица, тоже положительны.

Пример 8
Исследовать на экстремум функцию f (x , x )		3 x3	x	x3	3 x2	1.
1	2	1	1	2	2

Решение

1. Находим компоненты вектор-градиента:

f	9 x2	1;	f	3 x2	6 x .


x1	1		x2	2	2

2. Приравниваем их к нулю:

9 x2	1 0;	3 x2	6 x 0.
1		2	2

3. Решаем первое уравнение:

9 x2	1 0;	x	1	; x	1	.

1		1,1	3	1,2	3

4. Решаем второе уравнение:

3 x2	6 x 3 x (x 2) 0; x				0; x	2 .
2	2	2	2	2,1	2,2

5.Записываем точки стационарности, в которых возможен экстремум функции:


1) x	1	,			x	0;	2) x	1	,			x	2;

1	3				2		1	3				2
3) x			1	,	x	0;	4) x			1	,	x	2;

1	3				2		1	3				2

6. Составляем матрицу Гесса и находим ее элементы:

2 f

;

2 f

(

)

(9 x2

1) 18 x ;

x1 x1

2 f

(

)

(3 x2

6 x ) 0;

x1 x2

2 f

(

)

(9 x2

1) 0;

2 f

(

)

(3 x2

6 x ) 6 x 6;

7. Для первой точки стационарности рассчитываем матрицу Гесса:

18	1	0		6	0
	3					.
				0	6
0		6 0	6

Главные миноры:		6 0;		6	0	36 0.
	1		2	0	6

Таким образом, матрица Гесса не является ни положительно, ни отрицательно определенной, т. е. первая точка не имеет экстремума.

8.Во второй точке матрица Гесса положительно определена (минимум):

18	1	0		6	0
	3					;	1 6 0; 2 36 0.
				0	6
0		6 2	6

В третьей точке матрица Гесса отрицательно определена (максимум):

18	1	0		6	0
						;		6 0;	2 36 0.
	3						1
	0	6 0	6	0	6

9. В четвертой точке матрица Гесса не является ни положительно ни отрицательно определенной, следовательно, экстремума нет:

18	1	0		6	0
						;		6 0;		36 0.
	3					;	1	6 0;	2	36 0.
	0	6 2	6	0	6
	0	6 2	6

	Задания практического занятия № 4
1.	Вычислить ранг матрицы: приведением ее к каноническому виду, к ступенчатому виду, методом
окаймления (по заданию преподавателя).
2.	найти значения , при которых вектор-столбцы матрицы А линейно зависимы.

3.Произвести обращение матрицы: по формуле, методом неопределенных коэффициентов, методом исключения, методом разложения матрицы на две треугольные (по заданию преподавателя).

4.По дифференциальному уравнению системы a3 y (t) a2 y (t) a1 y (t) a0 y(t) 0 определить

устойчивость АСР с помощью критериев Гурвица и Льенара-Шипара.

5.Исследовать на экстремум функцию.

№										Задания
вари
вари			1					2			3				4			5
ри-			1					2			3				4			5

													a3	a3		a3	a3
анта													a3	a3		a3	a3
	4	7	1	4	4	1	0	2	1	2	3	1						f (x, y)
	3	0	5	7	2					2	3	1
						1	1	2 3
1.										6	1 3		5	8		9	1	1 5x3
1.	5	6	6	1	7					6	1 3		5	8		9	1	1 5x3
	5	6	6	1	7	0	3	0	0	5	7	3						2x y	2	4 y
																		2x y		4 y
	7	6	4	3	3
	7	6	4	3	3

				Варианты практического занятия № 4 (продолжение)

	№										Задания
	вари
	вари			1				2				3			4						5
	ри-			1				2				3			4						5

														a3	a3	a3	a3
	анта													a3	a3	a3	a3
		0	1	0	1	0	2	0	1	1	2	3	1
		0	1	0	0	1	2	0	1	1	2	3	1
	2.	0	1	0	0	1	0	3	0	0	6	1	3	3	1	4	9	2			4	0
	2.						0	3	0	0	6	1	3	3	1	4	9				4	0

		0	1	0	0	0	0	2	0	0	5	7	3
		1	1	0	1	0	0	2	0	0	5	7	3
66		1	1	0	1	0

		4	7	1	4	4	2	1	0	0
		4	7	1	4	4
											1	7	8					f (x, y)
		3	0	5	7	2	3 0		2 0		1	7	8					f (x, y)
	3.	3	0	5	7	2					6	49 48		1	2	3	6	5x 5x3
	3.	5	6	6	1	7					6	49 48		1	2	3	6	5x 5x3
		5	6	6	1	7	3	2	0	1	5	35,5	45					3y	2		4 y	1
											5	35,5	45					3y			4 y	1
		7	6	4	3	3

		0	1	0	1	0	1	0	1	0	7	49	56
											7	49	56					f (x, y)
		0	1	0	0	1
											1	0	8
	4.						0 1 0 1				1	0	8	4	8	1	2	6x3			4x
	4.	0	1	0	0	0	0 1 0 1				6	45	53	4	8	1	2	6x3			4x
		0	1	0	0	0	3	3	0	0	6	45	53					5 y		2	4 y
																		5 y			4 y
		1	1	0	1	0
		1	1	0	1	0

				Варианты практического занятия № 4 (продолжение)

	№											Задания
	вари
	вари			1					2				3					4				5
	ри-			1					2				3					4				5

																	a3	a3	a3	a3
	анта																a3	a3	a3	a3

		4	7	1	4	4		1	2	0	0	7		49		5					f (x, y)
		3	0	5	7	2		0	1 2 0			1	15			8					f (x, y)
	5.	3	0	5	7	2											5	6	8	9	8 9x3
	5.	5	6	6	1	7											5	6	8	9	8 9x3
		5	6	6	1	7		2	2	0	1	6	45			5					4x	2 y		2	4 y
																					4x	2 y			4 y
67		7	6	4	3	3

		0	1	0	1	0						1	7		8
		0	1	0	1	0
		0	1	0	0	1		1	2	0	0										f (x, y)
								1	2	0	0										f (x, y)
	6.							0	1	2	0	1	1`5		16		1	9	8	7	1	5x3
	6.	0	1	0	0	0		0	1	2	0	1	1`5		16		1	9	8	7	1	5x3
		0	1	0	0	0		2	2	0	1	5	38		46						-2x	y	2		4 y
								2	2	0	1										-2x	y			4 y
		1	1	0	1	0
		1	1	0	1	0

		5	2	3		0	1	2	1	2	3	1	1		4						f (x, y)
		1	1	3		0	1					1	1		4
								0 2		2 4
	7.											1 5 24					2	1	3	5	7 4x3
	7.	1	4	1		3	1					1 5 24					2	1	3	5	7 4x3
		1	4	1		3	1	1	0	4	3	2	5	26							3x	2 y		2	5 y
																					3x	2 y			5 y
		1	1	4		4	5
		1	1	4		4	5

				Варианты практического занятия № 4 (продолжение)

	№										Задания
	вари
	вари			1					2			3			4						5
	ри-			1					2			3			4						5

														a3	a3	a3	a3
	анта													a3	a3	a3	a3

		5	3	0	1	1	0	0	1	0	1	1	4					f (x, y)
		2	3	2	5	4					1	1	4
							0	1 1 1
	8.										1 7 34			4	6	3	1	7x3			3x
	8.	0	0	2	1	2					1 7 34			4	6	3	1	7x3			3x
		0	0	2	1	2	1	1	0	0	4	11	56					2 y		2	4 y	6
																		2 y			4 y	6
		1	1	4	1	0
68		1	1	4	1	0

		4	4	0	1	2	1	1	0	0	3	9	12
		4	4	0	1	2
		2	3	2	1	0												f (x, y)
																		f (x, y)
	9.						1 0		1 0		6 22 44			2	3	5	8	3x3			6x
	9.	0	0	2	4	1	1 0		1 0		6 22 44			2	3	5	8	3x3			6x
		0	0	2	4	1	0	1	0	1	8	31	72					2 y		2	4 y	6
																		2 y			4 y	6
		3	1	1	0	1
		3	1	1	0	1

		4	1	3	1	1	1	0	1	2	1	3	4
		5	0	1	3	1	1	0	1	2	1	3	4					f (x, y)
																		f (x, y)
	10.						1	0	1	0	6	21	42	9	8	7	6	4x3			2x
	10.	4	2	2	1	1	1	0	1	0	6	21	42	9	8	7	6	4x3			2x
		4	2	2	1	1	0	1	0	1	4	19	63					y	2		4 y	8
																		y			4 y	8
		3	1	5	1	1
		3	1	5	1	1

				Варианты практического занятия № 4 (продолжение)

	№										Задания
	вари
	вари			1				2				3			4							5
	ри-			1				2				3			4							5

														a3	a3	a3	a3
	анта													a3	a3	a3	a3

		4	7	1	4	4	1	1	2	2	6	18	24					f (x, y)
		3	0	5	7	2					6	18	24
							1	2	2	1
	11.										1	6	31	8	1	5	9	5x3				4x
	11.	5	6	6	1	7					1	6	31	8	1	5	9	5x3				4x
		5	6	6	1	7	1	1	1	1	4	19	84					y	2			4 y	6
																		y				4 y	6
		7	6	4	3	3
69		7	6	4	3	3

		0	1	0	1	0	0	1	0	1	6	12	24					f (x, y)
		0	1	0	1	0	0	1	0	1
		0	1	0	0	1
							1	0	0	0
	12.										1	4	22	7	4	2	1	8x3				8x
	12.	0	1	0	0	0					1	4	22	7	4	2	1	8x3				8x
		0	1	0	0	0	0	0	1	0	4	14	75					+2 y		2		5 y	9
																		+2 y				5 y	9
		1	1	0	1	0
		1	1	0	1	0

		4	7	1	4	4	1	0	1	1	1	3	4
		3	0	5	7	2	1	0	1	1	1	3	4					f (x, y)
																		f (x, y)
	13.						1	1	0	0	1	6	28	6	5	4	3	x3				7x
	13.	5	6	6	1	7	1	1	0	0	1	6	28	6	5	4	3	x3			2	7x
		5	6	6	1	7	0	0	1	1	4	18	71					+3 y			2	y	5
																		+3 y				y	5
		7	6	4	3	3
		7	6	4	3	3

				Варианты практического занятия № 4 (продолжение)

	№										Задания
	вари
	вари			1					2			3			4						5
	ри-			1					2			3			4						5

														a3	a3	a3	a3
	анта													a3	a3	a3	a3
		0	1	0	1	0	1	0	2	0	2	2	8
		0	1	0	0	1	1	0	2	0	2	2	8					f (x, y)
																		f (x, y)
	14.						2	0	1	1	1	7	34	5	2	3	4	x3			x
	14.	0	1	0	0	0	2	0	1	1	1	7	34	5	2	3	4	x3		2	x
		0	1	0	0	0	1	1	2	1	8	14	65					+6 y		2	12 y	4
																		+6 y			12 y	4
		1	1	0	1	0
70		1	1	0	1	0

		4	7	1	4	4	1	1	1	1	2	4	8
		4	7	1	4	4	1	1	1	1	2	4	8
		3	0	5	7	2	0	1	0	0	1	3	1					f (x, y)
	15.	3	0	5	7	2	0	1	0	0	1	3	1	4	8	1	2	y3			2 y
	15.	5	6	6	1	7	0	1	1	0	3	12	20	4	8	1	2	y3			2 y
		5	6	6	1	7	0	1	1	0	3	12	20					+6 x		2	12x	8
																		+6 x			12x	8
		7	6	4	3	3

		0	1	0	1	0	1	1	1	1	4	24	16
											4	24	16					f (x, y)
		0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	5	1					f (x, y)
	16.	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	5	1	3	4	5	6	4 y3			y
	16.	0	1	0	0	0	1	0	1	0	5	24	12	3	4	5	6	4 y3			y
											5	24	12					+3x	2		18x	5
																			2

		1	1	0	1	0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2019241.15 Кб6Millet_K_Sexualnaya_politika.doc
#
13.02.20158.59 Mб175MI_UG_7.pdf
#
13.02.20159.14 Mб8Modeling of human history Vorobyev.pdf
#
26.04.2019632.83 Кб3Moi_shpory_po_strategicheskomu.doc
#
13.09.20191.91 Mб10Moodle_ready.docx
#
13.02.20153.06 Mб10motau.pdf
#
13.02.2015679.42 Кб160MP2.doc
#
18.08.2019998.91 Кб4MSiS.doc
#
19.08.2019101.14 Кб4MSiS_1-3,18-21.docx
#
19.08.2019142.49 Кб6MSiS_1-3_4-6_15-17_18-21.docx
#
13.02.20152.14 Mб63MU_ElMatVed.pdf