Задачи по методам оптимизации

Текстовые задачи

1. Фермер имеет хозяйство, состоящее из 100 голов крупного рогатого скота. Он планирует продолжать этот бизнес в течение 4 лет. В конце каждого года какое-то количество скота можно продавать по цене 50 тыс. руб. за голову, численность оставшегося стада удваивается к концу следующего года. Найти оптимальный план ежегодных продаж за планируемый период, обеспечивающий максимальный доход.

2. Склад ёмкостью 1200 ед. товара используется для хранения и отпуска товаров в торговую сеть. Поступление товаров происходит в конце каждого квартала, а продажа в течение всего квартала. Затраты на хранение и отпускная цена в I квартале составляют 5 и 20 д.е., во II квартале – 4 и 16 д.е., в III квартале – 7 и 15 д.е., в IV квартале – 6 и 18 д.е.

Начальный и конечный запасы равны 550 ед. товара. Предполагая спрос неограниченным, составить оптимальный план хранения и реализации товара со склада, максимизирующий прибыль.

3. Производственное объединение состоит из семи заводов, мощности которых позволяют выполнять в установленные сроки только один из пяти заказов, имеющихся в плане. Данные о затратах на выполнение заказов указаны в таблице. Найти вариант распределения заказов с наименьшими затратами на его выполнение.

Номер заказа	Номер завода
	1	2	3	4	5	6	7
1	15	17	16	15	14	17	14
2	13	11	12	16	15	12	16
3	9	5	8	17	10	6	17
4	20	21	19	13	22	16	8
5	13	16	15	14	13	14	16

4. Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката – 600 тыс. л алкилата, 316 тыс. л крекинг-бензина, 460 тыс. л. бензина прямой перегонки и 200 тыс. л изопентана. В результате смешивания этих ингредиентов в пропорциях 2:3:1:5, 2:4:3:4, 5:1:6:2 и 7:1:3:2 получают бензин четырёх сортов. Цена его реализация составляет соответственно 23тыс., 25 тыс., 30 тыс., 21 тыс. руб. за тысячу литров. Учитывая постоянный спрос на все виды бензина, найти план выпуска, приносящий заводу наибольшую прибыль.

5. Фирма выпускает из картофеля чипсы, хлопья и крахмал. Картофель можно купить у двух поставщиков, при этом объёмы продуктов, получаемых из картофеля разных поставщиков, различно. Соответствующие показатели приведены в таблице. Какое количество картофеля следует купить у каждого поставщика для получения максимальной прибыли?

Продукт	Поставщик 1	Поставщик 2	Максимальный объём выпуска
Чипсы	0,2	0,3	1,8
Хлопья	0,2	0,3	2,4
Крахмал	0,3	0,1	1,2
Прибыль	5	6

6. Для сбалансированного кормления животного ему необходимо давать ежедневно не менее 15 ед. некоторой соли (вещество А) и 15 ед. витамина (вещество В). Фермер не имеет возможность давать вещества А и В в чистом виде, но может закупать вещество АА по 1 тыс. руб. за килограмм и вещество ВВ по 3 тыс. руб. за килограмм. Каждый килограмм АА содержит 1 ед. вещества А и 5 ед. В, килограмм ВВ – 5 ед. А и 1 ед. В. Определить оптимальное содержание веществ АА и ВВ в ежедневном рационе.

7. Небольшое предприятие выпускает два типа автомобильных деталей. Оно закупает литьё, подвергаемое токарной обработке, сверловке и шлифовке. Данные, характеризующие производительность станочного парка, приведены в таблице.

Каждая отливка, из которой изготавливают деталь А, стоит 2 тыс. руб., стоимость отливки В – 3 тыс. руб. Продажная цена деталей равна соответственно 5 и 6 тыс. руб. Стоимость часа станочного времени составляет по трём типам используемых станков составляет 20. 14 и 17,5 тыс. руб. Предполагая, что можно выпускать для продажи любую комбинацию деталей А и В, найти план выпуска продукции, максимизирующий чистую прибыль.

Станки	Деталь А (штук/час)	Деталь В (штук/час)
Токарные	25	40
Сверлильные	28	35
Шлифовальные	35	25

8. Ткань трёх артикулов производится на ткацких станках двух типов с различной производительностью. Для изготовления ткани используется пряжа и красители. В следующей таблице указаны мощности станков (в тыс. станко-часов), ресурсы пряжи и красителей (в тыс. кг), производительность станков по каждому виду пряжи (м/ч), нормы расхода пряжи и краски (в кг на 1 тыс. м) и цена (в руб.) 1 м ткани.

Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий товарную продукцию фабрики.

Виды ресурсов	Объём ресурсов	Производительность и нормы расхода
		1	2	3
Санки 1 типа	30	20	10	25
Станки 2 типа	45	8	20	10
Пряжа	30	120	180	210
Красители	1	10	5	8
цена		15	15	20

9. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием, необходимым для производства любого из четырёх видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного товара, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в таблице.

Какой ассортимент товара нужно выпустить, чтобы прибыль была максимальной?

Ресурс \Товар	1	2	3	4	Объём ресурса
Сырьё, кг	3	5	2	4	60
Рабоча сила, ч	22	14	18	30	400
Оборудование, станко-ч	10	24	8	16	128
Прибыль на ед. тов., руб	30	25	56	48

10. В угольном бассейне добывается уголь трёх сортов в относительных долях 20%, 55%, 25%. Добытый уголь доставляется четырём ТЭЦ. Заданы теплотворные способности каждого из сортов топлива (в ккал/кг): 2800, 3000, 3500. Потребности ТЭЦ (в млн. ккал): 10, 25, 15, 30. Затраты по добыче 1 т каждого сорта (в тыс. руб.): 4, 5, 8.

Определить требуемый план добычи и распределения разных сортов угля между энергетическими установками с учётом минимизации суммарных затрат.

11. Животноводческая ферма составляет рацион кормления коров на зиму. Имеется два научно разработанных рациона А и В и произвольный рацион С следующих составов. Рацион А: не менее 40 кукурузного силоса, не более 40 кормовых трав. Рацион В: не менее 30 кукурузного силоса, не более 50 кормовых трав. Рацион С без ограничения на составляющие.

Заданы следующие предельные нормы расхода, исходя из произведённых заготовок кормов: кукурузного силоса – 200 ц., кормовых трав – 300 ц.

Какое количество каждого из рационов должна составить ферма, чтобы получить максимальную прибыль, если при рационе А она составляет 10 руб/ц, при рационе В – 12 руб/ц, при произвольном рационе – 5 руб/ц?

12. Птицефабрика должна составить два вида комбикормов для кормления цыплят и кур, используя для этого три различных ингредиента: А, В и С. Известно, что комбикорм для цыплят должен содержать не менее 10% вещества А, не более 5% вещества В и не менее 50% вещества С. Комбикорм для кур должен включать в себя не менее 5% вещества А, не менее 10% вещества В и не менее 40% вещества С. Потребность в комбикормах составляет 500 ед для цыплят и 1000 ед для кур. Птицефабрика имеет 200 ед вещества А, 250 ед В и 1300 ед С, стоимость которых равна 45, 10 и 25 соответственно. Составить план выпуска комбикормов, минимизирующий суммарные затраты при заданных ограничениях.

13. Фирма, специализирующаяся на производстве замороженных полуфабрикатов, выпускает три различных продукта из моркови: звёздочки, кружочки и соломку. Фирма может закупить картофель у трёх поставщиков, причём, объём продуктов, который можно получить из одной тонны моркови каждого поставщика, различны. Соответствующие показатели приведены в таблице. Какое количество моркови следует купить, чтобы получить максимальную прибыль?

Продукт	Поставщик 1	Поставщик 2	Максимальный объём выпуска
звёздочки	0,5	0,3	3,4
кружочки	0,6	0,4	2,1
соломка	0,8	0,5	5,2
Прибыль	7	8

14. Учитель бальных танцев составляет танцевальные пары. Ему известна психологическая совместимость партнёров (в баллах, наивысший балл 5, см таблицу). Необходимо создать коллектив с максимальной совместимостью.

	Аня	Света	Оля	Галя	Вика
Толя	1	1		5	3
Егор	5	2	2	5	3
Боря	3	3	2	4	3
Денис	3	4	4	3	3
Коля	2	4	3	4	3

15. Фирма «Дары моря» производит рыбные консервы трёх видов. Она может закупить свежую рыбу у трёх различных рыболовных сейнеров. При этом из тонны одной рыбы разных поставщиков получается разное количество консервов. Какое количество рыбы следует закупить у каждого сейнера, чтобы получить максимальную прибыль?

Консервы	Сейнер 1	Сейнер 2	Сейнер 3	Ограничения на объём
1	0,4	0,5	0,3	50
2	0,2	0,2	0,3	150
3	0,3	0,1	0,3	100
Относительная прибыль	40	50	30

16. К распространителю билетов обратилось 15 человек с математического факультета, 10 человек с физического и 8 человек с химического факультетов с просьбой продать им билеты на премьерный спектакль. Распространитель может предложить им 5 билетов в партере, 12 билетов в амфитеатре и 16 билетов на балконе. Известно, какие места в зрительном зале предпочитает каждая из групп МФ, ФФ и ХФ в первую, вторую и в третью очередь. Распространителю необходимо продать билеты так, чтобы удовлетворить зрителей наилучшим образом.

	МФ	ФФ	ХФ
партер	1	3	1
амфитеатр	2	2	3
балкон	3	1	2

17. Полицейская служба имеет следующие минимальные потребности в количестве полицейских в различное время суток:

Время суток	Минимальное количество полицейских
02-06 06-10 10-14 14-18 18022 22-02	20 50 80 100 40 30

Любой полицейский работает без перерыва 8 часов. Составить служебное расписание таким образом, чтобы обойтись минимальным числом полицейских.

18. Профилакторий работает в три смены. Ежедневный курс лечения каждого пациента имеет продолжительность в две смены. Пациенты, пришедшие в третью смену, продолжают лечение на следующий день в первую смену. Пропускная способность профилактория: в 1-ю смену – не более 30 человек, во 2-ю смену – не более 50, в третью – не более 20 человек. Составить расписание работы профилактория таким образом, чтобы максимизировать число пациентов, получивших курс лечения в течение суток.

19. Руководителю фирмы необходимо составить группы из двух человек для проведения рекламной кампании. Менеджер по работе с персоналом предоставил ему сведения о конфликтности в отношениях сотрудников (в баллах, низший балл 1). Составить пары так, чтобы возможность конфликта была минимальной.

	Евгений	Геннадий	Василий	Иван
Жанна Татьяна Лидия Ольга	5 4 3 4	2 3 2 3	1 1 2 4	2 3 4 2

20. Почтово-багажный вагон может взять груз весом 30 ед. На станции имеется различное количество ящиков шести видов разного веса и разной стоимости. Необходимо загрузить вагон так, чтобы эффективность перевозки была максимальной.

	1	2	3	4	5	6
Количество Вес Эффективность	5 4 10	3 7 20	10 2 7	15 1 5	7 3 9	1 5 15

21. Станция скорой помощи имеет следующие минимальные потребности во врачах в различное время суток:

Время суток	Минимальное количество полицейских
24-03 03-06 06-09 09-12 12-15 15-18 18-21 21-24	40 45 50 60 65 70 100 80

22. Для изготовления определённого сплава свинца, цинка и олова используется сырьё в виде следующих сплавов из тех же металлов, отличающихся составом и стоимостью одного килограмма.

Сплав Компоненты	Содержание в %
	1	2	3	4	5
Свинец	10	10	40	60	30
Цинк	10	30	50	30	20
Олово	80	60	10	10	50
Стоимость	4	4,5	5,8	6,0	7,5

Определить, сколько нужно взять сплава каждого вида, чтобы изготовить с минимальной себестоимостью сплав, содержащий 20% свинца, 30% цинка и 50% олова.

23. Предприятие имеет возможность реализовать от одного до четырёх различных типов производственно-технологических процессов. Технологические процессы 1 2 ориентированы на получение продукции А, а технологические процессы 3 и 4 – на получение продукции В. Расходы, связанные с каждым из технологических процессов, определяются трудозатратами и количеством потребляемого материала вида Y и вида Z. Диапазон возможностей предприятия ограничен как за счёт людских ресурсов, так и за счёт сырья. Определить уровень производства каждого продукта для получения максимальной прибыли.

	На единицу продукта А		На единицу продукта В		Ресурс
	Процесс 1	Процесс 2	Процесс 3	Процесс 4
Трудозатраты	1	1	1	1	15
Материал Y	7	5	3	2	120
Материал Z	3	5	10	15	100
Доход с 1 ед	4	5	9	11

24. Крупная ферма имеет возможность покупать различные виды комбикормов. Разные зерновые содержат различное количество питательных компонентов. Комбикорм должен удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности. Необходимо определить, какая из всех возможных смесей является самой дешёвой.

	Единица веса			Минимальные потребности
	зерна 1	зерна 2	зерна 3
Ингредиент A	2	3	7	1250
Ингредиент B	1	1	0	250
Ингредиент C	5	3	0	900
Ингредиент D	0,6	0,25	1	232,5
Затраты на ед	41	35	96

25. На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры трёх видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 штук. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество заготовок, получаемых при данном способе раскроя, приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.

Вид заготовки	Количество заготовок (шт.) при раскрое по способу
	А	В
I	2	6
II	5	4
III	2	3
Величина отходов (см2)	12	16