1 сем 08 09 Линии и поверх в простр

Линии и поверхности в пространстве

Уравнение F(x, y, z) 0 называется уравнением поверхности S в

прямоугольной декартовой системе координат Oxyz , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M (x, y, z) S , и не удовлетворяют координаты всех точек N(x, y, z) S .

Цилиндрической поверхностью (или цилиндром) называется поверхность

(рис. 1а), образованная прямыми, имеющими одинаковое направление и пересекающими некоторую кривую L . Прямые линии называются

образующими, а кривая L – направляющей цилиндра. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими параллельными оси Oz ( Ox или Oy ) имеет вид F(x, y) 0 ( F( y, z) 0 или F(x, z) 0 соответственно).

Конической поверхностью (или конусом) называется поверхность (рис.

1б), образованная прямыми, проходящими через данную точку M и

пересекающими некоторую кривую L ( M L). Прямые линии называются

образующими, точка M – вершиной, а кривая L – направляющей конуса.

Рис. 1. Цилиндрическая (а) и коническая (б) поверхности.

Функция F(x, y, z) называется однородной функцией порядка (измерения

или степени) относительно переменных x, y, z , если при любом допустимом t R справедливо тождество

F(tx,ty,tz) t F(x, y, z) .

Уравнение конической поверхности в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz с вершиной в точке O имеет вид F(x, y, z) 0 , где F(x, y, z)

– однородная функция.

Поверхностью вращения (рис. 2)

называется поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой

Уравнения

F1(x, y, z) 0,F2 (x, y, z) 0,

называются уравнениями линии L в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz , если координаты любой точки M (x, y, z) L одновременно удовлетворяют обоим этим уравнениям, и не удовлетворяют хотя бы одному из данных уравнений координаты всех точек N(x, y, z) L . Каждое из уравнений

F1(x, y, z) 0 и F2 (x, y, z) 0

определяет некоторую поверхность в пространстве, а линия L является линией пересечения этих поверхностей.

Уравнения

называются параметрическими уравнениями линии L в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz , если для каждого значения t D точка

M (x(t), y(t), z(t)) L и, для любой точки M0 (x0 , y0 , z0 ) L существует такое значение t0 D , что x0 x(t0 ) , y0 y(t0 ) , z0 z(t0 ) . Эти уравнения могут быть записаны в виде одного векторного уравнения

r r(t) ,

где r – радиус-вектор точки M L, t – параметр.

Алгебраической поверхностью n -го порядка называется поверхность,

определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат алгебраическим уравнением n -ой степени. Если поверхность в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется алгебраическим уравнением n -ой степени, то и в любой другой прямоугольной декартовой системе координат эта поверхность будет определяться алгебраическим уравнением той же n -ой степени.

Алгебраическими поверхностями первого порядка являются плоскости.

Плоскость в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz можно задать уравнением одного из следующих видов.

1. Общее уравнение плоскости:

Ax By Cz D 0 ,

где A, B,C, D – произвольные действительные числа, причем A , B и C не равны нулю одновременно.

2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору:

A(x x0 ) B( y y0 ) С(z z0 ) 0,

где M0 (x0 , y0 , z0 ) – точка лежащая на плоскости, n( A, B,C) – вектор перпендикулярный плоскости (нормальный вектор).

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

плоскости и не лежащие на одной прямой.

4.Нормальное уравнение плоскости:

xcos y cos z cos p 0,

где cos , cos и cos – направляющие косинусы нормального вектора,

направленного из начала координат в сторону плоскости, p – расстояние от начала координат до плоскости.

Для того чтобы общее уравнение плоскости привести к нормальному уравнению, необходимо уравнение умножить на множитель

где a , b и c – величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях Ox , Oy

и Oz соответственно.

Расстояние h от точки M0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости, заданной общим

где M0 (x0 , y0 , z0 ) – точка лежащая на прямой, a(ax , ay , az ) – направляющий

вектор прямой.

5. Векторно-параметрическое уравнение прямой: r(t) r0 at , t R ,

где r0 – радиус-вектор точки M0 L , a(ax , ay , az ) – направляющий вектор прямой, t – параметр.

Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями

если требуется определить острый угол между прямыми, то выражение в правой части равенства необходимо взять по модулю;

г) прямые лежат в одной плоскости, если

д) прямые являются скрещивающимися, если 0 .

( 2 3)i ( 6 6)j ( 3 2)k 5i 5k ( 5,0, 5) .

Общие уравнения прямой определяют две плоскости, пересечением которых является данная прямая. Следовательно, в качестве направляющего вектора a

Уравнение алгебраических поверхностей 2-го порядка в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид

где не все коэффициенты A , B , C , D , E , F равны одновременно нулю.

Вобщем случае уравнение (11) может определять: 1) пустое множество,

2)точку, 3) прямую, 4) плоскость, 5) пару плоскостей, 6) эллипсоид, 7)

гиперболоид, 8) конус второго порядка, 9) параболоид, 10) цилиндр второго порядка. В случаях 1) – 5) алгебраические поверхности 2-го порядка называются вырожденными, остальные невырожденными.

В пространстве всегда можно выбрать такую прямоугольную декартову систему координат Oxyz , в которой любое уравнение, определяющее невырожденную поверхность 2-го порядка, приведется к одному из следующих видов.

Уравнение эллипсоида

Уравнение гиперболоида

а) однополостного

б) двуполостного

x2 y2 z2 1, ( a 0 , b 0, c 0). a2 b2 c2

Уравнение конуса второго порядка

x2 y2 z2 0 , ( a 0 , b 0, c 0). a2 b2 c2