Потенциал электрического поля
Лекция №2 по курсу «Физика, Электричество и магнетизм»
А. В. Купцова, П. В. Купцов
СГТУ им. Гагарина Ю. А.
Институт электронной техники и машиностроения
14 февраля 2014 г.
Потенциал
электрического
поля
Примеры
применения теоремы Гаусса
Потенциал поля точечного заряда
Потенциал системы зарядов
Связь напряжённости и потенциала
Эквипотенциальны
поверхности
Циркуляции вектора
1/32
1 Примеры применения теоремы Гаусса
Поле бесконечного круглого цилиндра Поле сферы
Применимость теоремы Гаусса для расчёта полей
2 Потенциал поля точечного заряда
Работа силы Кулона Потенциальная энергия Понятие потенциала Единица измерения потенциала
3 Потенциал системы зарядов
Работа поля системы зарядов Принцип суперпозиции для потенциала
Энергия взаимодействия системы зарядов
4 Связь напряжённости и потенциала
5 Эквипотенциальные поверхности
Определение Ориентация вектора
6 Циркуляции вектора
Теорема о циркуляции вектора
Примеры использования теоремы о циркуляции
Потенциал
электрического
поля
Примеры
применения теоремы Гаусса
Потенциал поля точечного заряда
Потенциал системы зарядов
Связь напряжённости и потенциала
Эквипотенциальны
поверхности
Циркуляции вектора
2/32
Потенциал
электрического
поля
Примеры
применения теоремы Гаусса
Поле
бесконечного
круглого
цилиндра Поле сферы
Применимость теоремы Гаусса
1. Примеры применения теоремы Гаусса для расчёта
полей
Потенциал поля точечного заряда
Потенциал системы зарядов
Связь напряжённости и потенциала
Эквипотенциальны
поверхности
Циркуляции вектора
3/32
|
Потенциал |
|
Поле бесконечного круглого цилиндра |
электрического |
|
поля |
||
|
||
|
Примеры |
|
|
применения |
|
Задача |
теоремы Гаусса |
|
|
||
Поле |
||
|
||
Найти поле бесконечного круглого цилиндра, радиуса , |
бесконечного |
|
круглого |
||
равномерно заряженного по поверхности с линейной |
цилиндра |
|
Поле сферы |
||
плотностью заряда ( заряд, приходящийся на |
||
Применимость |
||
единицу длины, = / ). |
теоремы Гаусса |
|
для расчёта |
||
|
полей |
a 
Потенциал поля точечного заряда
Потенциал системы зарядов
Связь напряжённости и потенциала
Эквипотенциальны
поверхности
Циркуляции вектора
4/32
a |
Sосн |
|
~ ~n |
r |
|
E |
|
|
h |
~n |
|
~ |
||
|
||
|
E |
|
|
~n ~ |
|
Sбок |
E |
|
|
Исходя из конфигурации заряда, можно сказать, что |
||
|
|
|
поле радиально-симметрично: | | зависит от |
||
расстояния |
до оси цилиндра, вектор |
|
|
в каждой точке |
|
перпендикулярен оси цилиндра.
Так как форма поверхности, фигурирующей в теореме
Гаусса, может быть любой, выберем е¼ так, чтобы вычисляя поток,
можно было вынести из под знака
интеграла.
Потенциал
электрического
поля
Примеры
применения теоремы Гаусса
Поле
бесконечного
круглого
цилиндра
Поле сферы
Применимость теоремы Гаусса для расчёта полей
Потенциал поля точечного заряда
Потенциал системы зарядов
Связь напряжённости и потенциала
Эквипотенциальны
поверхности
Циркуляции вектора
5/32
|
|
|
|
|
|
|
|
Потенциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
электрического |
|
|
|
|
|
|
|
|
поля |
|
|
|
a |
|
|
|
Sосн |
Примеры |
|
|
~ |
~n |
|
|
r |
|
применения |
|
|
E |
|
|
|
|
|
теоремы Гаусса |
|
|
|
|
|
|
|
~n |
Поле |
|
|
h |
|
|
|
бесконечного |
||
|
|
|
|
|
~ |
круглого |
||
|
|
|
|
|
|
|
цилиндра |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
~n |
~ |
Поле сферы |
|
|
|
|
|
|
Применимость |
||
|
|
|
Sбок |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
теоремы Гаусса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для расчёта |
|
|
|
|
|
|
|
|
полей |
|
∫ |
|
∫ |
|
∫ |
|
Потенциал поля |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= бок = 2 |
точечного заряда |
= |
+ |
|
= |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Потенциал |
|
бок |
|
|
осн |
бок |
|
системы зарядов |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Связь |
Используем теорему Гаусса: 2 = / 0 = / 0. |
напряжённости и |
|||||||
потенциала |
||||||||
Отсюда получаем при > : |
|
|
Эквипотенциальны |
|||||
|
|
поверхности |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Циркуляции |
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 0 |
|
|
|
Ïðè < поверхность не охватывает заряды и = 0. |
6/32 |
|||||||
Поле сферы
Задача.
Найти поле однородно заряженного шара радиуса с пространственной плотностью заряда = const.
a
q
Потенциал
электрического
поля
Примеры
применения теоремы Гаусса
Поле
бесконечного
круглого
цилиндра
Поле сферы
Применимость теоремы Гаусса для расчёта полей
Потенциал поля точечного заряда
Потенциал системы зарядов
Связь напряжённости и потенциала
Эквипотенциальны
поверхности
Циркуляции вектора
7/32
|
~ |
|
E |
~n |
|
r |
a |
|
|
|
q |
Из геометрии задачи заключаем, что поле сферически- |
||
симметрично. Вектор |
направлен вдоль радиуса, |
|
|
| | |
|
зависит от расстояния до центра сферы .
Выберем в качестве поверхности концентрическую сферу с радиусом < . Заряд всего шара равен
= 4 3/3, заряд внутри сферы ′ = 4 3/3. Отсюда
′/ = 3/ 3,
′ = 3/ 3.
Потенциал
электрического
поля
Примеры
применения теоремы Гаусса
Поле
бесконечного
круглого
цилиндра
Поле сферы
Применимость теоремы Гаусса для расчёта полей
Потенциал поля точечного заряда
Потенциал системы зарядов
Связь напряжённости и потенциала
Эквипотенциальны
поверхности
Циркуляции вектора
8/32
~
E ~n
a
r
q
| | постоянна, поэтому: На поверхности сферы =
|
= 4 2 = ′/ 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
′ |
= |
|
|
|
3 |
|
|
4 2 0 |
4 2 0 3 |
|||||||
внутри = 4 0 3
Потенциал
электрического
поля
Примеры
применения теоремы Гаусса
Поле
бесконечного
круглого
цилиндра
Поле сферы
Применимость теоремы Гаусса для расчёта полей
Потенциал поля точечного заряда
Потенциал системы зарядов
Связь напряжённости и потенциала
Эквипотенциальны
поверхности
Циркуляции вектора
9/32
Теперь возьм¼м концентрическую сферу > :
|
= 4 2 = / 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
снаружи = |
1 |
|
|
, |
внутри = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 0 |
2 |
4 0 3 |
|
|||||
Поле, создаваемое заряженным шаром, раст¼т линейно внутри шара, а вне шара совпадает с полем равного по величие точечного заряда, помещ¼нного в центр сферы.
E
r
1/r2
a |
r |
Потенциал
электрического
поля
Примеры
применения теоремы Гаусса
Поле
бесконечного
круглого
цилиндра
Поле сферы
Применимость теоремы Гаусса для расчёта полей
Потенциал поля точечного заряда
Потенциал системы зарядов
Связь напряжённости и потенциала
Эквипотенциальны
поверхности
Циркуляции вектора
10/32
Применимость теоремы Гаусса для расчёта полей
Использование теоремы Гаусса для расчёта полей
эффективно лишь в тех случаях, когда поле обладает специальной симметрией чаще всего плоской, цилиндрической и сферической. Симметрия, а следовательно, и конфигурация поля должны быть такими, чтобы можно было найти поверхность, вычисление потока вектора через которую сводилось бы к умножению на площадь поверхности. К сожалению,
число таких задач ограничено.
Потенциал
электрического
поля
Примеры
применения теоремы Гаусса
Поле
бесконечного
круглого
цилиндра Поле сферы
Применимость теоремы Гаусса для расчёта полей
Потенциал поля точечного заряда
Потенциал системы зарядов
Связь напряжённости и потенциала
Эквипотенциальны
поверхности
Циркуляции вектора
11/32