Лекция 10 - Агрегативное описание систем

10 АГРЕГАТИВНОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ

Рассмотренные в предыдущих лекциях математические схем (конечные автоматы, динамические системы, системы массового обслуживания и т.д.) широко применяются для формального описания элементов при моделировании и исследовании сложных систем. Однако с их помощью могут быть решены далеко не все проблемы, возникающие в теории сложных систем и системотехнике. Фактически, для успешного применения подобных методов необходимо, чтобы в результате формализации все элементы системы оказывались бы конечными автоматами, либо системами массового обслуживания, либо динамическими системами и т.д. Такой класс сложных систем довольно узок. Поэтому введение унифицированной схемы, позволяющей описывать все элементы системы (дискретные, непрерывные, детерминированные, стохастические) имеет существенное значение. Одной из таких схем является агрегат.

10.1 Понятие агрегата

Пусть T – фиксированное подмножество множества действительных чисел (множество рассматриваемых моментов времени), X, Г, Y, Z – множества любой природы. Элементы указанных множеств будем называть так: – момент времени, – входной сигнал, – управляющий сигнал, – выходной сигнал, – состояние. В дальнейшем состояния, входные, выходные и управляющие сигналы будут рассматриваться как функции времени и обозначаться, соответственно, как z(t), x(t), y(t).

Под агрегатом понимают объект, определяемый множествами T, X, Г, Y, Z и операторами H и G, в общем случае случайными. Операторы H и G, называемые операторами переходов и выходов, реализуют функции z(t) и y(t). Удобно ввести также пространство параметров агрегата B. Пусть элемент этого пространства β имеет вид β = (β₁, β₂, …, β_p). Значение β фиксировано в рамках конкретной задачи, элементы β обычно называют конструктивными параметрами. В этой связи значение управляющего сигнала можно назвать параметром управления.

Оператор выходов G можно представить в виде совокупности операторов G' и G''. Оператор G' вырабатывает очередные моменты выдачи непустых выходных сигналов, а оператор G'' – содержание сигналов. В пространстве состояний агрегата Z для каждого значения и определим некоторое множество , определяющее моменты выдачи выходных сигналов. Если для данного момента времени t состояние z(θ) не принадлежит при t – ε < θ < t, где ε > 0 – достаточно малое число, а , то t является моментом выдачи непустого выходного сигнала

.

(10.1)

В общем случае оператор G'' является случайным оператором, то есть данным t, z(t), g(t), β ставится в соответствие не одно определённое y, а некоторое множество значений y с соответствующим распределением вероятностей, задаваемым G''. Работа оператора G' заключается в определении очередного момента достижения траекторией z(t) подмножества , который является моментом выдачи выходного сигнала.

Выходной сигнал y зависит от последнего управляющего сигнала g(t) непосредственно через оператор G'', а также через множество . От g(t) также зависит состояние агрегата z(t), являющееся аргументом оператора G''. В этом состоит сущность одного из возможных способов управления агрегатом посредством управляющих сигналов, поступающих из внешней среды.

Обратимся теперь к оператору переходов H. Наряду с состоянием агрегата z(t) рассмотрим также состояние z(t + 0), в которое агрегат переходит за малый интервал времени. Вид оператора H зависит от того, поступают или не поступают в течение рассматриваемого интервала времени входные и управляющие сигналы. Поэтому его обычно представляют в виде совокупности случайных операторов U, V' и V''.

Пусть t_n' – момент поступления в агрегат входного сигнала x_n', тогда

.

(10.2)

Здесь под понимается управляющий сигнал, поступивший в момент времени t < t_n'. Если t_n'' – момент поступления в агрегат управляющего сигнала g_n'', то

.

(10.3)

Далее, если t_n – момент одновременного поступления в агрегат и входного x_n, и управляющего g_n сигналов, то

.

(10.4)

В этом выражении под понимается не оператор, а результат его действия на аргументы t_n, z(t_n), g_n, β, являющийся элементом множества Z. Другими словами, вместо (10.4) можно записать

,

где определяется соотношением (10.3).

Если полуинтервал (t_n, t_n+1] не содержит моментов поступления входных и управляющих сигналов, за исключением t_n+1, а t_n – момент поступления входного или управляющего сигнала, то для

.

(10.5)

Здесь под понимается последний управляющий сигнал, поступивший в момент времени t ≤ t_n.

В некоторых случаях удобно рассматривать «расширенное» состояние агрегата вида . Тогда соотношение (10.1) примет вид:

,

(10.6)

оператор V' – вид

,

(10.7)

оператор V'' – вид

,

(10.8)

соотношение (10.4) – вид

,

(10.9)

оператор U – вид

.

(10.10)

Теперь типичный процесс функционирования агрегата можно описать в терминах рассматриваемой выше реализации операторов H и G. Пусть в некоторый начальный момент времени t₀ агрегат находится в состоянии и пусть в моменты времени t₁' и t₂' поступают входные сигналы x₁' и x₂', а в момент времени t₁'' – управляющий сигнал g₁'', кроме того, для определённости t₁' < t₁'' < t₂'.

Рассмотрим сначала полуинтервал (t₀, t₁']. Состояния агрегата z(t) изменяются с течением времени по закону

.

(10.11)

Предположим, что в момент времени t₁* такой, что t₀ < t₁* < t₁', состояние z(t₁*) достигает множества . Тогда в момент t₁* агрегат выдаёт выходной сигнал

.

(10.12)

Если состояние z(t) опять достигает множества в момент t₂* такой, что t₁* < t₂* < t₁', то в момент времени t₂* снова выдаётся входной сигнал

(10.13)

и т.д. Здесь z(t₁*) и z(t₂*) определяются из (10.11).

В момент t₁' в агрегат поступает входной сигнал x₁'. Состояние агрегата

.

(10.14)

Здесь (t₁') также определяется из (10.11).

Функционирование агрегата в полуинтервале (t₁', t₁''] можно описать по аналогии с интервалом (t₀, t₁']. Состояние z(t) определяется как

.

(10.15)

Если в моменты t_k* такие, что t₁' < t_k < t₁'', состояния z(t_k*) достигают множества , в каждый из моментов t_k* выдаётся выходной сигнал:

,

(10.16)

где z(t_k*) определяется из (10.15). В момент t₁'' в агрегат поступает управляющий сигнал g₁''. Тогда состояние агрегата

.

(10.17)

Здесь z(t₁'') также определяется из (10.15).

Далее, в полуинтервале (t₁'', t₂'] состояние агрегата изменяется по закону

.

(10.18)

Если в моменты , такие что , состояния достигают множества , в каждый из моментов выдаётся выходной сигнал

,

(10.19)

Когда в момент t₂' в агрегат поступает входной сигнал x₂' состояние агрегата

,

(10.20)

где z(t₂') определяется из 10.18.

Затем состояние агрегата в полуинтервале , где – очередной момент поступления входного или управляющего сигнала, изменяется по закону

.

(10.21)

и т.д.

Для решения ряда задач нет необходимости различать виды сигналов (входные, управляющие), поступающих в агрегат. Достаточно учитывать факт поступления в агрегат в момент времени t обобщённого входного сигнала . В этом случае реализацию оператора переходов H можно записать более просто. Оператор переходов H представляется в виде совокупности двух операторов

(10.22) (10.23)

Оператор вида (10.22) реализуется в моменты t_n поступления в агрегат обобщённых входных сигналов и принимает вид: (10.2), если ; (10.3), если ; (5.4), если ( означает отсутствие, соответственно, входного или управляющего сигнала). Оператор (10.23) показывает изменение состояний агрегата z(t) в полуинтервалах (t_n, t_n+1] между моментами поступления обобщённых входных сигналов.

Формальное описание некоторых реальных систем приводит к так называемым агрегатам с обрывающимся процессом функционирования. Для этих агрегатов характерно наличие среди координат состояния z₁(t), z₂(t), …, z_n(t) такой координаты (обычно z₁(t)), которая имеет смысл интервала времени τ, оставшегося до момента, когда процесс функционирования агрегата обрывается, если за это время не поступает очередной входной или управляющий сигнал.

Другими словами, среди координат состояния z_n(t_n+0), вырабатываемых случайным оператором (10.4) в момент поступления обобщённого входного сигнала x(t_n) имеется координата z₁(t) = τ_n, где τ_n – случайное время, оставшееся до обрыва процесса. Оператора (10.5) описывает поведение агрегата не в полуинтервале , а в полуинтервале , где , причём z₁(t)  изменяется по закону z₁(t) = t­_n+τ_n–t. Когда z₁(t) обращается в нуль (например, при t_n+τ < t_n+1), функционирование агрегата прекращается. В другом случае, когда t_n+τ ≥ t_n+1, в момент времени t_n+1 приходит очередной входной сигнал x(t_n+1), и координаты состояния агрегата z(t_n+1+0), определяемого оператором (10.4), содержат новое значение τ_n+1. Оператор (10.5) описывает изменение состояний z(t) в полуинтервале , где и т.д.

10.2 Применение агрегатов для описания сложной системы

Рассмотрим пример использования агрегатов. Между пунктами A и B шоссейной дороги движутся автомобили в двух направлениях. Скорость v свободного движения автомобиля зависит от качества покрытия дороги (коэффициент сцепления f), профиля дороги в вертикальной плоскости (угол наклона θ), собственного веса m автомобиля и перевозимого груза R, мощности двигателя H, условий видимости (ночь, туман). Кроме того, скорость автомобиля снижается за счёт интенсивности движения на дороге, наличия и расположения дорожных знаков, ограничивающих скорость, запрещающих обгон и пр. (β₁ – координата знака, β₂ – его содержание, β₃ – протяжённость участка действия и.т.д.). В процессе движения между автомобилями соблюдаются интервалы безопасности l_б, зависящие от скорости движения v.

Интервалы времени между появлением новых автомобилей на дороге в точке A (и, соответственно, в точке B) являются независимыми случайными величинами, имеющими показательное распределение с параметром λ_A (λ_B). Поток прибывающих автомобилей содержит S₁% автомобилей первого типа, S₂% автомобилей второго типа, S_l% - l-го типа и т.д. Размер перевозимого груза R_l и скорость движения автомобиля в момент появления на дороге v_0l являются независимыми случайными величинами, имеющими заданное распределение вероятностей. Условия движения зависят от погоды (сухо, дождь, гололёд и т.д.). Это обстоятельство учитывается случайными поправками Δf_k к коэффициенту сцепления f. Зависимость скорости v движения автомобиля от условий видимости учитывается специальными поправками Δv_i. Поправки Δf_k и Δv_i имеют заданные распределения вероятностей. Сделанные предположения используются лишь в процессе формирования входных и управляющих сигналов.

Вследствие наличия на дороге автомобилей, движущихся с разными скоростями, может возникнуть необходимость обгона. Обгон возможен, когда имеется интервал между впереди идущими автомобилями не менее 2 l_б, не мешают автомобили встречного потока (интервал во встречном ряду не менее L₀), нет запрета обгона и т.д. Если обгон невозможен, автомобиль снижает скорость и движется за впереди идущим транспортом, оставаясь претендентом на обгон при благоприятных условиях. Автомобили, прибывающие в пункт назначения (точки A и B), характеризуются (помимо скорости, типа и величины груза), расходом времени τ, затраченного на преодоление участка дороги AB.

Процесс автомобильного движения рассматривается как агрегат с внутренними состояниями z_i, описываемыми координатами: z₁ = N_авт – число автомобилей на участке дороги AB; z_6j-4 = s_j – расстояние автомобиля до точки A; z_6j-3 = v_j – скорость j-го автомобиля; z_6j-2 = n – номер типа; z_6j-1 = R - величина груза, z_6j = τ – длительность пребывания автомобиля на участке дороги AB; z_6j+1 = μ – признак (μ = 0, если автомобиль появляется в точке A; μ = 1 – в точке B). Входной сигнал x имеет свои координаты: x₁ = μ; x₂ = m; x₃ = R; x₄ = v₀. Управляющий сигнал g описывается координатами: g₁ = Δf – поправка к коэффициенту сцепления; g₂ = Δv – поправка к скорости. Выходной сигнал Выходной сигнал y имеет координаты: y₁ = μ; y₂ = v(t_k), где t_k – момент окончания маршрута; y₃ = τ(t_k); y₄ = m; y₅ = R.

Перейдём к операторам H и G. В качестве можно выбрать объединение множеств, определяемых соотношениями:

(10.24)

Оператор G' формирует моменты t_k выдачи выходного сигнала (достижения j-м автомобилем точки A или B), удовлетворяющие соотношениям (10.24), а оператор G'' формирует сам выходной сигнал

(10.25)

Оператор U представим в виде совокупности двух операторов: W и . Оператор W:

(10.26)

а для j = j' координаты не определяются.

Оператор (t_k' – момент поступления последнего входного или управляющего сигнала, либо выдачи выходного сигнала):

(10.27)

Скорость автомобиля определяется параметрами, перечисленными в (10.27) в случае свободного движения (ξ = 0), то есть когда автомобиль не является претендентом на обгон , где s_пр – расстояние от точки A до автомобиля, идущего впереди j-го. Если же и (скорость предыдущего автомобиля), то .

Когда появляются условия для обгона: 1) интервал в своём ряду более 2l_b; 2) интервал во встречном ряду более L; 3) отсутствует запрет обгона, то скорость v_j восстанавливается.

Если t* – момент поступления входного сигнала x = (μ, m, R, v₀), состояния z(t* + 0) описываются оператором V':

(10.28)

Если в момент времени t' поступает управляющий сигнал g = (Δf, Δv) состояния агрегата описываются оператором V'':

.

(10.29)

Новый управляющий сигнал оказывает влияние на оператор (в выражение для z_6j-3 подставляются новые значения Δf и Δv).

Существуют принципы объединения агрегатов в агрегативные системы. Подобные структуры позволяют описать широкий класс реальных сложных систем.