Лекция по теории систем 17

Лекция №17. Нелинейные непрерывные системы. Описание с помощью макроподхода

Системы, для которых не выполнен принцип суперпозиции, называются нелинейными. Система нелинейна, если в ней присутствует хотя бы один элемент, для которого принцип суперпозиции не выполнен.

Пример. Рассмотрим систему, оператор ко-торой вычисляет квадрат входного воздействия: При гармоническом входном воздействии будем иметь: .

Пример показывает, что в нелинейных сис-темах может меняться частота. Линейные же системы могут изменять амплитуду и фазу вход-ного воздействия, но никогда не меняют частоту.

Следует отметить, что процессы, протекаю-щие в нелинейных системах более сложны, чем в линейных системах. Так, в них возможны устойчивые колебания без приложения внешних воздействий. Такие колебания называются авто-колебаниями. Причем система может иметь несколько видов таких колебаний. Иногда свой-ства системы существенно зависят от величины прилагаемых начальных условий. Могут возни-кнуть явления резонанса, несвойственные линей-ным системам, которые характеризуются неод-нозначной зависимостью амплитуды от частоты входного воздействия. В ряде случаев нелиней-ные свойства систем оказываются нежелатель-ными, т.е. предполагают фильтрацию нелиней-ных искажений, вносимых этими свойствами. Зачастую система проектируется существенно нелинейной, что позволяет использовать недоступные линейным системам свойства для решения прикладных задач.

Выясним, как можно описать нелинейную систему, используя известное представление линейной системы в виде интеграла свертки. Рассмотрим линейную систему, реакция которой представлена в следующем виде:

Для определения весовой функции этой системы могут быть использованы два способа: подача на вход элементарного воздействия в виде -функции; использование специальных условий при нулевом воздействии.

Попробуем получить для нелинейных систем при некоторых ограничениях результаты, аналогичные линейным системам.

Рассмотрим пример нелинейной системы, представляющей собой последовательное соеди-нение линейной динамической системы и безы-нерционного функционального преобразователя, вычисляющего квадрат входного сигнала:

Легко заметить, что

Обозначим теперь: Тогда получим:

Приведенный пример позволяет обобщить понятие интеграла свертки для линейных систем на случай нелинейных систем.

Одним из возможных приемов исследования нелинейных систем может быть прием, основан-ный на разложении реакции нелинейной систе-мы в бесконечный функциональный ряд по слагаемым, эквивалентным интегралу свертки, а именно:

где

имеет специальное название: однородный регулярный функционал Вольтерра i-го порядка с ядром .

По реакции нелинейной системы на входное воздействие необходимо определить набор ядер функционалов . В реальной ситу-ации набор ядер, естественно, конечен. Такое представление может быть интерпретировано, как аналог ряда Тейлора в более сложном варианте. Попытаемся обобщить процедуру определения весовой функции линейной системы на случай нелинейных систем.

Первоначально рассмотрим:

и подадим на вход этой системы -функцию: .

Стандартная процедура порождает искомое ядро при совпадающих значениях аргумента, т.е. в матрице определены только ее диагональные элементы.

Попробуем теперь на вход системы подать комбинацию -функций, для того чтобы получить значение при несовпадающих значениях аргумента.

Рассмотрим систему, имеющую два входа:

Пусть и , тогда

Если бы в нашем распоряжении была бы такая система с двумя входами, то весовая функция была бы определена полностью.

Построим систему, позволяющую опреде-лять , используя систему . Для этого подадим на ее вход входное воздействие , тогда получим:

Легко заметить, что третье слагаемое есть выход системы , т.е. системы с двумя входами (В выражении учтено, что ядро симметрично относительно своих аргументов, т.е. ).

Имеем:

Полученный результат показывает, что для определения реакции системы с двумя входами потребуются три идентичные копии системы Если при этом и , то

Задача: Дана система

.

Найти способ определения весовой функции .