Глава 6. Устойчивость линейных систем автоматического управления

6.1. Понятия и условия устойчивости

При проектировании системы управления ключевой пробле­мой является обеспечение её устойчивости, т.к. устойчивость является важнейшей характеристикой любой САР. С практической точки зрения неустойчивая система не имеет никакого смысла, т.к. только устойчивая система работоспособна.

Любая система управления испытывает внешние воздействия. Эти воз­действия имеют различный характер и природу (задающие, возмущаю­щие...). Всякие воздействия стремятся вывести систему из исходного со­стояния равновесия. Устойчивая система при этом переходит в новое устой­чивое состояние равновесия.

Следовательно, под устойчивостью можно понимать свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установив­шийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

Замкнутая САР из-за наличия обратных связей склонна к неустойчи­вой работе. В процессе регулирования часть энергии с выхода передаётся на вход группы звеньев системы, среди которых могут быть и колебатель­ные звенья. При работе системы в этом случае могут возникнуть колеба­ния регулируемой величины и её отклонение от заданного значения. На­личие главной обратной связи будет способствовать поддержанию коле­бательного процесса и при больших коэффициентах усиления. Если па­раметры системы не обеспечивают необходимого затухания (рассеива­ния) энергии колебаний, то это может привести к неустойчивой работе, характеризуемой возрастанием амплитуды колебаний.

В устойчивых системах энергия колебаний с течением времени умень­шается, стремясь рассеяться в виде тепловой энергии, а колебания регулируемой величины, возникшие в результате возмущения, затухают. Следовательно, в результате возмущающих воздействий и следующих за ними регулирующих воздействий регулятора, в системе возникают пере­ходные процессы.

При этом могут иметь место три вида переходных процессов.

1. Сходящийся переходный процесс (рис 6.1, а), когда регулируемая величина, отклонившись под действием возмущающих воздействий от заданного значения, с течением времени под воздействием регулятора возвращается к заданному значению. Система, имеющая такой переход­ный процесс, будет называться устойчивой.

2. Расходящийся переходный процесс (рис. 6.1 ,б) когда регулируе­мая величина, отклонившись под действием возмущающих воздействий от заданного значения, с течением времени беспредельно удаляется от заданного значения. Этот процесс может быть апериодическим (кривая 1)

или колебательным (кривая 2). Система, имеющая такой переходный про­цесс, будет неустойчивой.

3. Апериодический расходящийся процесс может возникнуть в САУ, если вместо отрицательной обратной связи, например, ввести ошибочно положительную обратную связь. В этом случае будет возникать лавинооб­разное изменение регулируемой величины. Колебательный переходный процесс может наступить, например, при неограниченном увеличении коэф­фициента усиления системы, что будет вызывать энергичное воздействие регулятора на объект и расходящийся колебательный процесс.

В реальных условиях не может произойти беспредельное отклонение какого-либо физического параметра от заданного значения, также как и не­возможны колебания с беспредельно возрастающей амплитудой из-за на­сыщения элементов, ограниченной мощности элементов и др.

4. Колебательный установившийся переходный процесс (см. рис. 6.1, б, кривая 3), когда регулируемая величина, отклонившись в резуль­тате возмущающих воздействий от заданного значения, с течением вре­мени к установившемуся значению не возвращается, а совершает незату­хающие колебания с амплитудой, зависящей от начальных условий. Ли­нейная САР в этом случае находится на границе устойчивости.

Рассмотрение понятия устойчивости определяет устойчивость уста­новившегося режима системы. Но система может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействий, когда установившийся режим вообще отсутствует.

В этом случае можно дать следующее определение устойчивости:

система устойчива, если её выходная величина остаётся ог­раниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений

или иначе

устойчивая система - это динамическая система, обладающая ограниченной реакцией на ограниченный входной сигнал.

Нетрудно показать, что если переходный процесс в системе является затухающим, то система будет удовлетворить и последнему определению.

Чтобы определить устойчиво ли равновесие какой-либо статической системы, изучают её поведение при малых отклонениях от положения равновесия. Устойчивость системы при бесконечно малых отклонениях называется устойчивостью в малом. Часто системы, устойчивые в ма­лом, оказываются устойчивыми и при конечных, достаточно больших, от­клонениях, т.е. система оказывается устойчивой в большом.

При исследовании САР рассматривают устойчивость в малом, т.е. по­ведение системы при малых отклонениях регулируемой величины от ус­тановившегося значения. В линейных системах устойчивость в малом обеспечивает устойчивость и в большом.

Понятие «устойчивость» в математической трактовке впервые ввёл в науку русский учёный A.M. Ляпунов (1892 г.). Он дал стройную и закончен­ную постановку задачи об устойчивости движения и методы её решения.

A.M. Ляпуновым были сформулированы следующие теоремы:

Теорема первая. Если вещественные части всех корней характе­ристического уравнения первого приближения отрицательны, то

система будет устойчива, независимо от членов разложения выше первого порядка малости.

Теорема вторая. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдётся, по меньшей мере, один с положи­тельной вещественной частью, то система будет неустойчивой, неза­висимо от членов разложения выше первого порядка малости.

Пусть, например, свободное движение линейной САР, выведенной малым отклонением из состояния равновесия, описывается дифференци­альным уравнением замкнутой системы

(6.1)

Т.е. в общем случае передаточная функция линейной САР

(6.2)

где n≥т.

Первая часть дифференциального уравнения определяется внешни­ми воздействиями. Об устойчивости системы можно судить по переход­ному процессу при приложении внешних воздействий

(6.3)

Для устойчивых систем правая часть уравнения определяет значение регулируемой координаты у в статическом режиме.

Свободная составляющая

где c_i - постоянная интегрирования;

p_i - корни характеристического уравнения.

Вынужденная составляющая (при p=0) определится

Характеристическое уравнение системы

(6.4)

Характеристическое уравнение или характеристический полином - это знаменатель передаточной функции по задающему, возмущающему воз­действию или по ошибке регулирования.

Вынужденная составляющая представляет собой частное решение уравнения, является полезной составляющей регулируемой величины. Она характеризует установившийся режим системы. Переходная или сво­бодная составляющая является решением однородного дифференциаль­ного уравнения и имеет место в переходном режиме. Эта составляющая по существу представляет ошибку системы в переходном режиме (откло­нение системы от равновесного состояния) и поэтому является нежела­тельной составляющей регулируемой величины. Переходная составляю­щая (решение однородного уравнения) в случае некратных корней может быть представлена в виде следующей суммы:

(6.5)

Очевидно, что система будет устойчивой, если переходная состав­ляющая y_св(t) в ней стечением времени затухает, т.е. решение уравнения (6.5) должно удовлетворять требованию

(6.6)

Если же y_св(t) при t→∞ не стремится к нулю, а возрастает или пред­ставляет незатухающие колебания, то система неустойчива.

Из формулы (6.6) видно, что затухание y_св(t) т.е. устойчивость системы, зависит от значения корней p₁, р₂,…, р_n характеристического уравне­ния замкнутой системы (6.4).

Возможны следующие случаи: