Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И.Носова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matritsy_opredeliteli_sistemy_Alieva_Gracheva

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

388.06 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования РФ

Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова

Кафедра Математики

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Методические указания и варианты индивидуальных домашних заданий для студентов всех специальностей

Авторы: Алиева Н.Г., Грачева Л.А.

Магнитогорск

2002

Понятие матрицы

Матрицей

называется

прямоугольная

таблица,

составленная из чисел.

Например,

а21

а21 а22

а22

а23

а31

а32

а33

Числа а11,а12,...- элементы матрицы.

Если в матрице число строк равно столбцов, то такую матрицу называют квадратной, в противном случае - прямоугольной. Размерностью матрицы называется количество строк и количество столбцов в матрице.

Если матрица состоит только из одной строки (а11 а12 а13 )

	а
	11
или из одного столбца а21		, то такие матрицы называются
	а31
	а31

соответственно матрицей-строкой и матрицей-столбцом.

Для краткости матрицы будем обозначать одной заглавной латинской буквой. Например:

В =

А =

а21

а22

а31

а32

а33

Действия над матрицами

Матрицы

можно

складывать и умножать на число, т.е.

совершать линейные операции, и перемножать матрицы между собой.

1. Сложение матриц.

Можно складывать только матрицы одинаковой размерности по правилу: элемент первой матрицы складывается с соответствующим элементом второй матрицы.

Пример 1.

2		3	1		2	2 +1 3+ 2			3		5
			+			=			=			.
	1	0		3	1		+ 3 0	+1		4	1
						1

Пример 2.
1		2	3	1		0	3	2		2 6
				+				=			.
	2	4	5		5	9	7		7	13 12
	2	4	5		5	9	7		7	13 12

Если все элементы матрицы равны нулю, то такая матрица называется нуль-матрицей или просто 0. При сложении с такой матрицей первоначальная матрица не меняется:

А + 0 = А .

Легко проверить, что операция сложения матриц подчиняется законам коммутативности и ассоциативности:

А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С) .

2. Умножение матрицы на число.

Оно производится по правилу: каждый элемент матрицы

умножается на число.
1	− 5	4	− 20

Например, 4 3	0	= 12	0	.
	2		8
7	2	28	8

При умножении матрицы на нуль получается нуль-матрица. Матрицы называют равными если:

1)имеют одинаковую размерность,

2)соответствующие элементы равны.

Пусть

А =

В =

тогда

А = В ,

если

а21

а22

в21

в22

выполняются равенства а11 = в11, а12 = в12,

а21 = в21, а22 = в22.

3. Умножение матриц .

Пусть даны две матрицы

А =

,В

а21

в21

в22

а22

Произведением матрицы А на матрицу В называется

матрица

С = А В ,

элементы

которой

составляются следующим

образом:

а в + а в

а в + а

А В =

22 .

в + а

Матрицы можно перемножать, если количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице.

Пример 3.
2	1	0	1		2	2 1+1 3 + 0 7			2 2 +1 3 + 0 0	5		7
2	1	0				2 1+1 3 + 0 7			2 2 +1 3 + 0 0	5		7
				3	3	=				=			.
	1						3 1+1 3	+ 2 7	3 2 +1 3 + 2 0		20	9
3	1	2		7	0		3 1+1 3	+ 2 7	3 2 +1 3 + 2 0		20	9
				7	0

В результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет матрица, являющаяся первым множителем, и столько столбцов, сколько их имеет матрица, являющаяся вторым множителем.

Пример 4.

3		2		1	2	3 1+ 2 3	3 2 + 2 5			=	9	16
АВ =						=	(−1) 2 + 5			=		.
−1		5		3	5	(−1) 1+ 5 3	(−1) 2 + 5	5			14	23

1	2		3		2	1 3 + 2 (−1)	1 2 + 2 5		1		12
ВА =				−1		=		=
3	5			−1	5	3 3+ 5 (−1)	3 2 + 5 5			4	31

Эти примеры показывают, что произведение двух матриц, вообще говоря, не коммутативно: АВ ≠ ВА.

Главной диагональю квадратной матрицы называется та ее диагональ, которая содержит первый элемент первой строки этой матрицы.

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.

	1				1		0	0
Например:	1	0		Е =
						0	1
	Е =		,			0	1	0 .
	0	1				0	0	1
						0	0	1

Определители

Понятие определителя распространяется только на квадратные матрицы, где количество строк называется порядком матрицы.

Определителем второго порядка называется число,

обозначаемое			символом				а11	а12	и определяемое равенством
							а21	а22
	а11 а12	= а а	22	− а а	21	.
	а11 а12	= а а		− а а		.
	а21 а22	11		12
	а21 а22

Определителем третьего порядка называется число,

а11

а12

а13

обозначаемое

символом

а21

а22

а23

определяемое,

а31

а32

а33

равенством

а11 а12

а13

= а

а22

а23

− а

а21

а23

+ а

а21

а22

а31

а32

а33

(1)

Формула (1) называется формулой разложения определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Назовём минором определитель, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Миноры будем обозначать заглавными буквами М

сдвумя индексами. Например, М12 , соответствующий

элементу а	есть определитель М	12	=	а21		а23	. Он получается,
12		12		а	31	а
					31	33

если вычеркнуть из определителя третьего порядка первую строку и второй столбец.

Назовём алгебраическим дополнением элемента определителя его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, чётна, и со

знаком минус, если эта сумма нечётна. Аik = (−1)i+k Mik

Таким образом, определитель матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, определитель третьего порядка можно найти разложением по элементам второго столбца.

2	3	− 4	1+2		5	7	+ (−1)	2+2		2	− 4	+ (−1)	3+2		2	− 4	= −3	(15	− 56)	+
5	6	7	1+2	3	5	7		2+2	6	2	− 4		3+2	0	2	− 4
5	6	7	= (−1)	3	8	3			6	8	3			0	5	7
8	0	3			8	3				8	3				5	7
8	0	3

+ 6 (6− (−32)) = 351.

Определитель третьего порядка можно найти по правилу треугольников: определитель находится в виде разности сумм

				•		• •	O	O O	O	O O

произведений					•	• •	= O	O O	− O	O O
					•
					•	• •	O	O O	O	O O
	а11	а12	а13
	а21	а22	а23	=(а11 а22 а33 +а12 а23 а31 +а21 а32 а13)−(а13 а22 а31 +
	а31	а32	а33

+а11 а32 а23 +а33 а21 а12).

Свойства определителя

1.Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е. транспонировать.

2.При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.

3.Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

4.Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

5.Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

6.Если к элементам какой-либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своего значения

7.Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (или столбца) равна нулю.

Определитель 4-го порядка

а11 а12 а13 а14

= а21 а22 а23 а24 а31 а32 а33 а34

а41 а42 а43 а44

Определитель четвёртого порядка находят двумя способами.

1.Разложением по элементам строки (или столбца) (этот метод описан выше).

2.Методом элементарных преобразований определителя. Например, с помощью прибавления к элементам какой-либо

строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число добиваемся получения нулевых элементов в строке (в столбце), кроме одного, и раскладываем по элементам этой строки (или столбца). Получается, что вместо четырёх определителей приходится находить только один.

Пример 5.

	−1	− 2	1	4
Вычислить определитель =	1	3	0	6
	2	− 2	1	4
	3	1	− 2	−1

1 способ:
				6			−1	− 2	4		−1 − 2 4
		1 3		6			−1	− 2	4		−1 − 2 4
= (−1)1+31		2 − 2 4				+ (−1)2+3 0	2	− 2	4	+ (−1)3+31	1	3	6	+
		3 1		−1			3	1 −1			3	1	−1
	−1		− 2	4
	−1		− 2	4
(−1)4+3 (−2)	1		3	6	= 1 (2 +12 + 36 − (−36) − 4 − (−6)) − 0 +
	2		− 2	4

+1 (3 + 4 − 36 − 36 − 2 − (−6)) − (−2) (−12 − 8 − 24 − 24 −12 − (−8)) = 117.

2 способ:

Прибавляя к первой строке третью, умноженную на (–1), получим

	− 3	0	0	0
=	1	3	0	6	.
	2	− 2	1	4
	3	1	− 2	−1

Разлагая этот определитель по элементам первой строки, найдём

	3	0	6		1	0	6		1	3	6		1	3	0
= −3	− 2 1		4	− 0	2	1	4	+ 0	2	− 2 4		− −0	2	− 2 1		=
	1	− 2 −1			3	− 2 −1			3	1	−1		3	1	− 2
3		0	6
= −3 − 2		1	4 .

1− 2 −1

Прибавляя в полученном определителе третьего порядка к третьему столбцу первый, умноженный на (–2) , имеем

	3	0	0		1	8

= −3	− 2	1	8	= −3 3			= −117.
					− 2	− 3
	1	− 2	− 3

Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной. Если же определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной.

Например, матрица

А= 2 3 = 2 6 − 3 4 4 6

В= 2 3 = 2 5 − 3 4 4 5

2 3

А= является вырожденной, т.к.

4 6

= 0, а матрица	2		3	- невырожденной, т.к.
= 0, а матрица	В =			- невырожденной, т.к.
		4	5
		4	5

= −2 ≠ 0.

Системы линейных уравнений

Выражение следующего вида:

a11x1 + a12 x2 +K + a1n xn = b1

x + a

+K + a

= b

21 1

+K + a3n xn

= b3

, где a11,a12 ,K,amn и b1,b2 ,K,bm –

a31x1 + a32 x2

KKKKKKKKKKKKK

x + a

+K + a

= b

m1 1

действительные числа, называется системой m линейных уравнений с n неизвестными. Здесь x1, x2 ,K, xn называются

неизвестными системы, a11,a12 ,K,amn называются

коэффициентами при неизвестных системы, b1,b2 ,K,bm называются свободными членами системы.

Пусть при x1 = α1, x2 = α2, K, xn = αn все уравнения системы обращаются в тождества. Тогда упорядоченный набор чисел (α1; α2; K αn) называется решением системы.

Система уравнений называется совместной, если она имеет решения, в противном случае она называется несовместной. Если система линейных уравнений имеет единственное решение, то она называется определенной, если же решений бесконечно много, то она называется неопределенной.

Формулы Крамера

1. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

а х + в у = с

является

совместной

при условии,

что

ее

1 ,

а2х + в2 у = с2

с1

в1

а1

с1

определитель

а1 в1

≠ 0

и имеет решение: х=

с2

в2

, у =

а2

с2

а2 в2

а1 в1

а1

в1

а2

в2

а2

в2

(1)

в1

а1

с1

Если

= 0

с1

= 0,

= 0 . В

этом

случае

с2

в2

а2

с2

система имеет бесчисленное множество решений, то есть является неопределенной. Задавая, например, произвольное

значение у, получим соответствующее значение х = с1 − в1у .

а1

Если = 0 и хотя бы один из определителей х , у не равен нулю, то система не имеет решений (является несовместной).

2. Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

а1х + b1 у + с1z = d1,
					+ c2 z = d2 , при условии, что ее определитель
a2 x + b2 y					+ c2 z = d2 , при условии, что ее определитель
a	3	x + b y + c				z = d		.
	3			3	3		3
			а1	b1	c1
=			а2	b2	c2		≠ 0, имеет следующее единственное решение
			а3	b3	c3

x =

, y =

, z =

d1 b1 c1

a1 d1 c1

a1 b1 d1

где

1 =

d2 b2

2 =

3 =

d3 b3 c3

a3 d3 c3

a3 b3 d3

Пример 6.

x + 2y − z = 2,

= 2,

Решить систему 2x − 3y + 2z

3x + y + z = 8.

−1

Найдём

определители

− 3

= −8,

1 =

− 3

= −8,

−1

2 =

= −16,

3 =

− 3

= −24.

По формулам Крамера находим х =

−8

= 1, у =

−16

= 2, z =

−24

= 3.

− 8

Ответ: (1, 2, 3).

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Определение. Матрица В называется обратной матрицей для матрицы А, если выполняется условие

АВ = ВА = Е, где Е – единичная матрица.

Обратную матрицу обозначают A−1` и находят по формуле

−1

или A−1

где A - матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы A, и транспонированная

Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т. е. чтобы её определитель был отличен от нуля.

Пример 7.
						1		2	0

Найти обратную матрицу к матрице A = 3								2	1	.
							0	1	2
							0	1	2
					1		2	0
Находим определитель матрицы			A	=	3		2	1	= −9.
Находим определитель матрицы			A	=	3		2	1	= −9.
					0		1	2
Так как	A	≠ 0, то матрица				А		–	невырожденная, и,
Так как	A	≠ 0, то матрица				А		–	невырожденная, и,

следовательно, существует обратная ей матрица. Вычисляем алгебраические дополнения:

	1+1	2 1				= 3,	A = (−1)	2+1	2 0				= −4, A = (−1)	3+1	2 0					= 2,
A = (−1)						= 3,	A = (−1)						= −4, A = (−1)							= 2,
11		1			2		21		1			2	31		2			1
		1			2				1			2			2			1
	1+2			3 1		= −6, A = (−1)		2+2			1 0		= 2, A = (−1)	3+2			1 0			= −1,
	1+2			3 1				2+2			1 0			3+2			1 0
A = (−1)
12				0	2		22				0	2	32				3	1
				0	2						0	2					3	1
							A = (−1)2+3			1 2
A = (−1)1+3			3 2			= 3,	A = (−1)2+3			1 2			= −1, A = (−1)3+3			1 2			= −4.
13			0		1		23			0		1	33			3		2
			0		1					0		1				3		2

Составляем матрицу

− 3/9

4/9

− 2/9

−1/3

4/9

− 2/9

A−1

− 2/9

2/3 − 2/9

6/9

1/9

1/9 .

− 3/9 1/9

4/9

−1/3

1/9

4/9

Предлагаем самостоятельно проверить выполнение условия

AA−1 = E

Матричная запись и матричное решение систем линейных уравнений

Пусть дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

a		x + a x		2		+ a x = b ,
	11	1	12			13	3	1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b3,
a		x + a x			2	+ a x = b .
	31	1	32			33	3	3

Обозначим матрицу системы и матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов буквами A , X и B :

a	a	a		x		b
11	12	13		1		1
A = a21 a22		a23	,	X = x2	,	B = b2	.
	a32
a31	a32	a33		x3		b3

Тогда систему уравнений записать в виде матричного уравнения AX = B .

Если система записана в виде матричного уравнения и матрица А системы невырожденная, то это уравнение решается следующим образом:

Умножим обе его части на матрицу A−1 , обратную матрице А:

A−1(AX) = A−1B.

Используя ассоциативность умножения матриц, можно написать:

(A−1A)X = A−1B .

Но так как

A−1A = E, EX = X ,

то получаем решение матричного уравнения в виде:

X = A−1B.

Пример 8.

Решить матричным способом систему уравнений

					x				+ 2x			=10,
							1				2
					3x1 + 2x2 + x3 = 23,
					x			2	+ 2x				=13.
								2			3
В матричной форме эта система запишется в виде AX = B . Здесь
	1 2		0		x								10
A =							1			=				Матрица A−1 была найдена в
							2
		3 2	1	, X =		x			, B				23 .
		0 1	2
		0 1	2		x3								13

−1/3 4/9

− 2/9

примере 7: A−1

− 2/9

2/3

1/9 .

−1/3

1/9

4/9

−1/3 4/9

− 2/9 10

Решение системы ищем в виде X =

− 2/9

2/3

1/9

3 ,

4/9

−1/3 1/9

откуда следует, что x1 = 4, x2 = 3, x3 = 5. Ответ: (4, 3, 5).

Метод Гаусса

Данный метод является универсальным методом решения систем линейных алгебраических уравнений, так как с помощью него можно найти решения как определенных, так и неопределенных систем.

Суть метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для этого используются элементарные преобразования матриц:

−умножение (деление) всех элементов какой-либо строки расширенной матрицы системы на постоянное число, не равное нулю,

−сложение (вычитание) каких-либо двух строк расширенной матрицы системы,

−перестановка строк расширенной матрицы системы.

При этом расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду, после чего вычисляются по очереди значения неизвестных системы.

Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Пример 9.

	x + y − 2z = 6

2x + 3y −7z =16 .
	5x + 2y + z =16
	5x + 2y + z =16

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

	1	1	− 2	6

			− 7
2		3		16	. Умножим элементы первой строки сначала на -2 и
	5	2	1	16

сложим с соответствующими элементами второй строки, а затем на –5 и сложим с соответствующими элементами третьей строки.

	1 1		− 2	6	(−2) (−5)		1 1		− 2	6

			− 7						−3
2		3		16		~ 0		1		4	. Теперь умножим
	5	2	1	16			0	−3	11	−14

элементы второй строки на 3 и сложим с соответствующими элементами третьей строки.

	1 1		− 2					1 1		− 2	6
				6
			−3		3					−3
0		1		4		~	0		1		4	. Получили матрицу
	0	−3	11	−14				0	0	2	− 2

ступенчатого вида. Теперь составим систему уравнений, соответствующую этой матрице.

x + y − 2z = 6

−2

y −3z = 4 .

Из

третьего

уравнения находим

z =

= −1

2z = −2

подставляем во второе уравнение и находим

y = 4 +3z = 4 −3 =1 ,

подставляем

первое

уравнение

находим

x = 6 − y + 2z = 6 −1− 2 = 3 .

Ответ: (3;

−1).

«Ступеньки» можно получить и в другом направлении.

Пример 10.

2x − x

+3x

+ 2x

= 4

3x1 +3x2 + 3x3 + 2x4 = 6

3x − x

− x

− 2x

= 6 .

3x − x

+ 3x

− x

= 6

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

	2		−1 3	2	4							8	−3	9	0		16		7
																			7
3			3 3	2	6						9		1	9	0		18		7
											~								~
	3		−1 −1	− 2	6		(− 2)					−3 1		− 7 0			−6		9
	3		−1 3	−1	6		(− 2)		2 2			3	−1	3 −1			6
		39 −12											−12

				0		0		58			39			0	0	58
																		3
	36 16			0		0		72	: 4	9			4	0	0	18		3
~		−3 1		− 7 0				− 6	~		−3 1			− 7 0		− 6			~
		−3 1		− 7 0				− 6			−3 1			− 7 0		− 6
		3	−1	3		−1		6			3		−1	3	−1	6

	66	0	0

~	9	4	0
~	−3	1	− 7
	−3	1	− 7
	3	−1	3

0112

018

. Получили матрицу ступенчатого вида.

0− 6 −1 6

Теперь составим систему уравнений, соответствующую этой матрице.

66x1 =112

9x1 + 4x2

=18

. Из первого уравнения находим x1 =

112

= 2

−3x + x

− 7x

= −6

3x − x

+ 3x

− x

= 6

подставляем

во

второе

уравнение

находим

x2 =

18−9x1

18−18

= 0,

подставляем в третье

уравнение

находим					x3 =			6 −3x1 + x2						=	6 − 6 + 0	= 0 , подставляем в четвертое
находим					x3 =									=		= 0 , подставляем в четвертое
													7	7
уравнение и находим x4 = 3x1 − x2 +3x3 −6 = 6 − 0 + 0 − 6 = 0 .
Ответ: (2;					0;		0;					0).
Пример 11.
	3x − 2x				−5x				+ x				= 3
	1			2			3					4
2x1 −3x2 + x3 + 5x4 = −3
	x + x	2		− 6x		3	− 4x				4		=1 .
	1	2				3					4
	x − x		2		+ x	3	− x			4		= 0
	1		2			3				4

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

	3	− 2	−5	1	3				0	1	−8	4	3

2		−3	1	5	−3			0		−1	−1	7	−3
	1	1 − 6		− 4	1		~		0	2	− 7	−3	1	.
	1	1 − 6		− 4	1	(−1) (− 2) (−3)			0	2	− 7	−3	1
	1	−1	1	−1	0	(−1) (− 2) (−3)			1	−1	1	−1	0

Поменяем местами первую и третью строки матрицы.

	0		2 − 7		−3	1							0	0	9	−11	−5
	0		2 − 7		−3	1							0	0	9	−11	−5

0			−1	−1	7	−3					~	0		0	−9	11	0	~
	0		1	−8	4	3			(− 2)		~		0	1	−8	4	3	~
	0		1	−8	4	3			(− 2)				0	1	−8	4	3
	1		−1 1		−1	0							1	−1 1		−1	0


		0	0	0	0		−5
				−9
~	0		0	−9	11			0		. Получили ступенчатую матрицу.
~		0	1	−8	4			3		. Получили ступенчатую матрицу.
		0	1	−8	4			3
		1	−1	1	−1			0

	0 = 5
	− 9x3 +11x4	= 0
	− 9x3 +11x4	= 0
Ей соответствует система		. Так как первое
	x2 −8x3 + 4x4 = 3

x1 − x2 + x3 − x4 = 0

равенство системы ложное, то данная система не имеет решений, то есть является несовместной.

Ответ: нет решений.

Пример 12.

3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2
	2x + 3x			2	+ 2x			3	+ 5x			4	= 3
	1
	9x + x				+ 4x				− 5x				= 1 . Особенностью данной системы является
			2				3				4
	1
2x + 2x					+ 3x				+ 4x				= 5
	1			2				3				4
7x + x		2		+ 6x		3		− x		4	= 7
	1

то, что в ней уравнений больше, чем неизвестных.

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

							17
	3	2 2	2	2			17		4	14 0	16

2 3 2			5	3			37		8	32 0	38
	9	1 4	− 5	1		~		− 26	− 4 − 26 0		− 34		: 2	~
	9	1 4	− 5	1		~		− 26	− 4 − 26 0		− 34		: 2	~
2		2 3	4	5	4 (− 5) 5 2		30		6	27 0	33	:3
	7	1 6	−1	7	4 (− 5) 5 2			7	1	6 −1	7

	17								(−9)		−13	−8 0 0	10
	17		4		14	0	16		(−9)		−13	−8 0 0	10
								(− 9)			−13	−8 0 0
	37			8	32	0	38	(− 9)			−13	−8 0 0	10
		−13		− 2	−13 0		−17	9					−10
~		−13		− 2	−13 0		−17	9		~	13	8 0 0	−10	.
	10			2	9	0	11	13 32	14		10	2 9 0	11
		7		1	6	−1	7				7	1 6 −1	7
		7		1	6	−1	7				7	1 6 −1	7

Первые три строки соответствуют одному и тому же уравнению системы, поэтому из них можно оставить только одну.

13	8	0	0 −10

10	2	9	0 11	. Эта матрица уже имеет ступенчатый вид,

7 1 6 −1 7

причем строк в ней меньше, чем столбцов. Следовательно, система, соответствующая полученной матрице, является неопределенной, то есть имеет бесконечное множество решений.

13x1 + 8x2 = −10
		, x1	– свободная переменная, x2 , x3 , x4	–
10x1 + 2x2 + 9x3 = 11		, x1	– свободная переменная, x2 , x3 , x4	–
	= 7
7x1 + x2 + 6x3 − x4	= 7

базисные переменные. Выразим базисные переменные через свободные.

Из первого уравнения выражаем

−10 −13x1

, подставляем во

второе уравнение и выражаем x =

11−10x1 − 2x2

11−10x1 − 2

−10 −13x1

44 − 40x1 +10 +13x1

54 − 27x1

6 − 3x1

подставляем

третье

уравнение

находим

x = 7x + x + 6x − 7 = 7x1 +

−10 −13x1

+ 6

6 − 3x1

− 7 =

56x1 −10 −13x1 + 72 − 36x1

− 56

7x1 + 6

Так как

x1 –

свободная

переменная, то она может принимать любое значение, пусть x1 =с,

тогда x

−10 −13с

, x

6 − 3с

7с + 6

Общее

решение: (с;

−10 −13с

;

6 − 3с

;

7с + 6

), где с – любое

действительное число.

Для проверки можно найти какое-либо частное решение, придав конкретное значение независимой переменной.

Пусть с=6, тогда частное решение можно вычислить, подставив это значение в общее решение.

(6; −10−13 6;	6−3 6	;	7 6+6	)= (6; −11 −3 6) – частное решение.
			8
8	4

Подставим его во все уравнения первоначальной системы.

3 6+ 2 (−11)+ 2 (− 3)+ 2 6 = 2

2 6+ 3 (−11)+ 2 (− 3)+ 5 6 = 3
	9 6 + (−11)+ 4 (− 3)− 5 6 = 1

2 6 + 2 (−11)+ 3 (− 3)+ 4 6 = 5
	6	+ (−11)+ 6 (− 3)− 6	= 7
7

	2	= 2 (верно)
18− 22−6+12 = 2		= 3 (верно)
12−33−6+30 = 3
12−33−6+30 = 3	3
54−11−12−30 =1	1	= 1(верно) .
12− 22−9+ 24 = 5	5	= 5 (верно)
		= 7 (верно)
42−11−18−6 = 7	7	= 7 (верно)

Получившиеся числовые равенства свидетельствуют о том, что система решена верно.

Ответ: (с;				−10 −13с		;		6 − 3с		;	7с+6	), где с – любое действительное
Ответ: (с;						;				;	8	), где с – любое действительное
					8		4				8
число.
Пример 13.
	2x + x − x + 2x − 2x = 3
	1	2	3		4		5
− x1 + x2 + 3x3 − 4x4 + x5 = 6									. Особенность данной системы в том, что
	3x − x		+ x		− 3x = −1				. Особенность данной системы в том, что
	1	2	4		5
	4x + x + 4x − x − 4x = 8
	1	2	3		4		5

в ней неизвестных больше, чем уравнений. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

	2		1	−1	2	− 2			3
	−1				− 4
	−1		1	3	− 4	1			6	. Для удобства поменяем местами первую
			−1			− 3				. Для удобства поменяем местами первую
	3		−1	0	1	− 3			−1

	4		1	4	−1	− 4			8


и вторую строки матрицы.
	−1 1 3				− 4 1				6	2 3 4	−1 1 3	− 4 1	6
	−1 1 3				− 4 1				6	2 3 4	−1 1 3	− 4 1	6
				−1	2 − 2							− 6 0		2 5
2 1				−1	2 − 2				3	0 3 5		− 6 0	15	2 5
	3 −1 0				1 − 3				−1	~	0 2 9	−11 0	17	(−3)	~
														(−3)
	4 1 2				−1 − 4				8		0 5 14	−17 0	32	(−3)


		−1	1	3	− 4	1		6
		−1	1	3	− 4	1		6
					− 6
	0		3	5	− 6	0			15
~										. Из двух одинаковых последних строк
		0	0	−17	21	0	− 21
		0	0	−17	21	0	− 21


оставляем одну, а другую отбрасываем.
−1			1	3	− 4	1		6
−1			1	3	− 4	1		6
					− 6
0			3	5	− 6	0			15 . Получили ступенчатую					матрицу, в
	0		0	−17	21	0			− 21

которой строк меньше, чем неизвестных. Следовательно, система, соответствующая этой матрице, является неопределенной, то есть имеет бесконечное множество решений.

− x1 + x2 + 3x3 − 4x4 + x5 = 6
	3x2 + 5x3 − 6x4 = 15	. Пусть x1 , x2 , x3 – базисные

	−17x3 + 21x4 = −21

переменные,

а x4 и x5 - свободные переменные. Выразим

базисные переменные через свободные.

Из третьего уравнения выражаем x

21+ 21x4

, подставляем во

второе уравнение и выражаем x

15− 5x3 + 6x4

15+

6x4 − 5

21+ 21x4

255+102x4

−105−105x4

150− 3x4

50 − x4

подставляем

первое

уравнение

находим

x = x + 3x − 4x + x − 6 =

50 − x4

+ 3

21+ 21x4

− 4x + x − 6 =

50 − x4 + 63+ 63x4 − 68x4 +17x5 −102

11− 6x4 +17x5

. Так как

x4 и x5 -

свободные переменные, то они могут принимать любые значения,

пусть x		= с , а	x	= с	тогда			x	3	=	21+ 21с1		,	x	2	=	50 − с1		,
пусть x		= с , а	x	= с	тогда			x		=	21+ 21с1		,	x		=			,
	4	1	5	2 ,						17								17
										17								17
x1 =	11− 6с1 +17с2
x1 =		17
		17
Общее решение: (			11− 6с +17с			;	50 − с1		21+ 21с1			; с ; с		), где с				и с
				1	2			;
				1	2			;
				17	17					17		1	2			1		2
				17	17					17

– любые действительные числа.

Для проверки можно найти какое-либо частное решение, придав конкретное значение независимым переменным.

Пусть с1 =-1,а

с2 =1,

тогда частное решение

можно

вычислить,

подставив эти значения в общее решение.

(

11− 6 (−1)+17 1

;

50 − (−1)

21+ 21 (−1)

; −1; 1)=(2;

3; 0; −1;

–

;

частное решение. Подставим его во все уравнения первоначально заданной системы.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.02.201544.41 Кб16Manufacturing and Forming Processes перевод.docx
#
27.09.20191.42 Mб5matan_ekz.doc
#
27.08.2019229.38 Кб87Materialy_dlya_otchyota_po_muzeynoy_praktike-1.doc
#
12.08.2019432.64 Кб9Mathcad А-5.doc
#
11.02.2015628.37 Кб27matlab.pdf
#
11.02.2015388.06 Кб7Matritsy_opredeliteli_sistemy_Alieva_Gracheva.pdf
#
11.02.2015865.92 Кб10mehanika-molekulyarka.pdf
#
11.02.20151.55 Mб9Mekhanika.pdf
#
16.11.201928.81 Кб3Melnik.docx
#
28.05.2015316.46 Кб111Merzlyakova_otchet2.docx
#
11.02.2015782.61 Кб40metodicheskie-ykazaniya.pdf