Вопросы для самопроверки:

1. В чем заключается правило Лопиталя?

2. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

3. Сформулируйте достаточные условия экстремума функции.

4. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой ?

Тема 5. Функции нескольких переменных

Основная проблема при изучении этой темы возникает в момент дифференцирования указанных функций. Это связано с тем, что при дифференцировании функции по одной переменной все другие переменные предполагаются постоянными величинами. Например,

Задача 1. Найти частные производные функции

Решение: Найдем производную функции Z по переменной x. В этом случае, при дифференцировании величина y считается постоянной и поэтому:

Аналогично найдем производную функции по y, считая величину x постоянной:

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется функцией двух переменных?

2. Дайте определения частных производных.

3. Как находится экстремум функции нескольких переменных?

4. В чем состоит способ наименьших квадратов построения эмпирических формул?

Задачи для самоконтроля

Задание 1. Вычисление пределов

1.а) ; б);

в) ; г).

2. а) ; б);

в) ; г).

3. а) ; б);

в) ; г).

4. а) ; б);

в) ; г).

5. а) ; б);

в) ; г).

6. а) ; б);

в) ; г).

7. а) ; б);

в) ; г).

8. а) ; б);

в) ; г).

9. а) ; б);

в) ; г).

10. а) ; б);

в) ; г).

Задание 2. Дифференциальное исчисление

Найти производную и дифференциал функций:

11. ; 16.;

12. ; 17.;

13. ; 18.;

14. ; 19.;

15. ; 20..

Найти производную

21. ; 26.;

22. ; 27.;

23. ; 28.;

24. ; 29.;

25. ; 30..

Найти пределы функций с помощью правила Лопиталя:

31. ; 36.;

32. ; 37.;

33. ; 38.;

34. ; 39.;

35. ; 40..

Исследовать функцию и построить график :

41. ; 46.;

42. ; 47.;

43. ; 48.;

44. ; 49.;

45. ; 50..

Задание 4. Функции нескольких переменных.

Найти частные производные функции Z = Z(x,y)

61. Z = 2x³-3xy²+y5;

62. Z = x⁴+2x²-xy³ ;

63. Z = 5x-2x³y²+2y⁴;

64. Z = -x²+5xy⁵-2y³x;

65. Z = x³-3x²y+xy²-y³;

66. Z = 4x-7x⁴y+3y⁵;

67. Z = x⁴+2x²y²+y⁴;

68. Z = x³+3x²y+3xy²+y³;

69. Z = 6x³-5x²y³+x³y²;

70. Z = x⁶+2x³y²+y⁴.

Найти экстремумы функций:

71. Z = x³+8y³+6xy+5;

72. Z = x²+xy+y²-3x-6y;

73. Z = x²+y²+8x-2;

74. Z = y²+yx+x²-6y-9x;

75. Z = x²-xy+y²+9x-6y+20;

76. Z = 3x²-y²+4y+5;

77. Z = x²-4x+y²;

78. Z = x²+xy+2y²-x+y;

79. Z = 3x²-6x-y²+4y+8;

80. Z = x²+xy+x+2y²+2y.

IV. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Тема 1. Неопределенный интеграл

[1, гл IX, § 9.1 – 9.3],[4, гл VII]

Эффективным способом интегрирования функций является замена переменной. Его целью является получение с помощью новой переменной более простого интеграла.

Задача 1. Найти

Решение:

Сделаем замену 2x=t. Для нахождения dx через t продифференцируем обе части уравнения:

. Теперь

.

Задача 2. Найти .

Решение: 1-й способ. Сделаем замену

э

Очевидно, выразить dx только через t рациональным способом не удается. Однако после подстановки полученных выражений для иdx через t исходный интеграл принимает вид:

. Можно было поступить по-другому. Нетрудно видеть, что в равенстве левая часть содержит часть подынтегрального выражения, а именно. Поэтомуи т.д.

2-й способ. Сделаем другую замену:

и подынтегральное выражение сразу очень просто выражается через t:

.