ИДЗ_2_С использованием явной схемы
.docxМИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра МНЭ
отчёт
по индивидуальному заданию №2
по дисциплине «Моделирование и проектирование микро- и наносистем»
Тема: Численное моделирование нестационарного процесса теплопроводности в неоднородном теле с учетом зависимости плотности мощности источников (стоков) тепла от температуры с использованием явной схемы
Вариант №16
Студентка гр. 9282 |
|
Зикратова А. А. |
Преподаватель |
|
Рындин Е. А. |
Санкт-Петербург
2022
Цель работы.
Нахождение распределения температуры в многослойной структуре в каждый момент времени из заданного диапазона, а также сравнение прямого метода решения СЛАУ и последовательного метода по явной схеме.
Задание.
Рис. 1 – Общий вид неоднородной структуры
Таблица 1 – Исходные данные
№ п/п |
L, мм |
W, мм |
Коэффициент теплопроводности k, Вт/(м К) |
Плотность , кг/м3 |
Удельная теплоемкость C, Дж/(кг К) |
Начальное и граничные условия (род) gt gxmin gxmax gymin gymax, К или К/м |
Зависимость плотности мощности источников (стоков) тепла от температуры f(T), Вт/м3 |
Интервал времени t, c |
16. |
30 150 230 |
10 10 20 10 50 10 20 30 30 130 |
1000 100 200 100 300 10 10000 |
10000 2000 1000 2000 1000 2000 300
|
10000 100 1000 100 1000 100 300 |
300(1) 50(2) 50(2) 300(1) 0(2)
|
-1107 (ИДЗ №1)
-1107/lgT (ИДЗ №2,3)
|
20 |
Теоретические положения.
Ⅰ. Уравнение и условия в обычном виде:
- -
Начальное условие:
Г
} y = [ymin, ymax], t = (tmin, tmax]
раничные условия:
1)
2)
3
} x = (xmin, xmax), t = (tmin, tmax]
)
4)
Ⅱ. Уравнение и условия в дискретном виде:
↓
- замена → из уравнения можно выразить в явном виде температуру в следующий момент времени ( через температуры в предыдущий момент времени ( , , , ) → можно отбросить индекс «m» и последовательно находить температуры в точках (i, j) по временным срезам.
↓
- температура в следующий момент времени
Граничные условия:
1
} j = 1…J
} i = 2…I – 1
) 3)
2) 4)
Программа в Matlab:
clear all
close all
clc
L=[30 150 230];
L=L.*1e-3;
W=[10 10 20 10 50 10 20 30 30 130];
W=W.*1e-3;
kL=[1000 100 200 100 300 10 10000];
rL=[10000 2000 1000 2000 1000 2000 300];
cL=[10000 100 1000 100 1000 100 300];
gt=300;
gxmin=50;
gxmax=50;
gymin=300;
gymax=0;
F=-1e7;
tmax=20;
dt=2e-5;
B=8e4;
Sx=7;
kV(1)=kL(1);
rV(1)=rL(1);
cV(1)=cL(1);
x(1)=0;
for i=1:length(kL)
x=[x max(x)+W(i)/Sx:W(i)/Sx:max(x)+W(i)];
kV=[kV ones(1, Sx).*kL(i)];
rV=[rV ones(1, Sx).*rL(i)];
cV=[cV ones(1, Sx).*cL(i)];
end
kV=kV';
rV=rV';
cV=cV';
I=length(x);
dx=diff(x);
L(3)=L(3)-L(1)-L(2);
Sy=9;
y(1)=0;
for i=1:length(L)
y=[y max(y)+L(i)/Sy:L(i)/Sy:max(y)+L(i)];
end
J=length(y);
dy=diff(y);
k=kV;
r=rV;
c=cV;
for j=2:J
k=[k kV];
r=[r rV];
c=[c cV];
end
t=0;
T0=ones(I,J).*gt;
ct=1;
NN='Graphic_';
NNN=[NN num2str(t)]
figure
mesh(y.*1e3, x.*1e3, T0-273)
xlabel('y, mm','FontSize',19)
ylabel('x, mm','FontSize',19)
zlabel('T, ^oC','FontSize',19)
xlim([min(y.*1e3) max(y.*1e3)])
ylim([min(x.*1e3) max(x.*1e3)])
zlim([-20 100])
grid on
colormap([0 0 0])
print(gcf, '-djpeg', NNN)
pause(1e-3)
ct=1;
while t<=tmax
t=t+dt
ct=ct+1;
f=zeros(I,J);
for j=Sy+1:2*Sy+1
for i=1:I
if x(i)>=W(9) && x(i)<=W(9)+W(8)
f(i,j)=F;
end
end
end
for i=1:I
T(i,1)=gymin;
end
for i=2:I-1
T(i,J)=T0(i,J-1)+dy(J-1)*gymax;
end
for j=1:J
T(1,j)=T0(2,j)-dx(1)*gxmin;
T(I,j)=T0(I-1,j)+dx(I-1)*gxmax;
end
for i=2:I-1
for j=2:J-1
T(i,j)=T0(i,j)+(...
(2/(dx(i)+dx(i-1)))*(k(i,j)*(T0(i+1,j)-T0(i,j))/dx(i)-k(i-1,j)*(T0(i,j)-T0(i-1,j))/dx(i-1))+...
(2/(dy(j)+dy(j-1)))*((k(i,j)*(T0(i,j+1)-T0(i,j))/dy(j))-k(i,j-1)*(T0(i,j)-T0(i,j-1))/dy(j-1))...
+f(i,j))*dt/r(i,j)/c(i,j);
end
end
T0=T;
if ct/B-fix(ct/B) == 0
NNN=[NN num2str(t)]
figure
mesh(y.*1e3, x.*1e3, T-273)
xlabel('y, mm','FontSize',19)
ylabel('x, mm','FontSize',19)
zlabel('T, ^oC','FontSize',19)
xlim([min(y.*1e3) max(y.*1e3)])
ylim([min(x.*1e3) max(x.*1e3)])
zlim([-20 100])
grid on
colormap([0 0 0])
pause(1e-3)
print(gcf, '-djpeg', NNN)
end
end
Результаты моделирования:
Рис. 2 – Пространственное распределение температуры в неоднородном теле при t = 0 с (явная схема)
Рис. 3 – Пространственное распределение температуры в неоднородном теле при t = 1,6 с (явная схема)
Рис. 4 – Пространственное распределение температуры в неоднородном теле при t = 9,6 с (явная схема)
Рис. 5 – Пространственное распределение температуры в неоднородном теле при t = 12,8 с (явная схема)
Рис. 6 – Пространственное распределение температуры в неоднородном теле при t = 17,6 с (явная схема)
Рис. 7 – Пространственное распределение температуры в неоднородном теле при t = 19,2 с (явная схема)
Вывод: в данной работе программа находит численное решение уравнения теплопроводности для неоднородного тела с использованием явной схемы. На основе данных о распределении температур на предыдущем временном срезе находится распределение температур на следующем временном срезе, причём температура в следующий момент времени явно выражается через температуры в точках предыдущего временного слоя.
«+»:используется меньший объём оперативной памяти по сравнению с прямым методом решения и последовательным методом решения по неявной схеме.
«-»: для сходимости решения приходится задавать маленький шаг по времени, что не всегда нужно в контексте решаемой задачи.