3.13. Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи рис. 3.21:

u_R+ u_L+ u_C  u = 0,

или u_R+ u_L+ u_C = u. (3.59)

Из уравнения (3.59) следует,

Рис. 3.21 что напряжение цепи u

состоит из трёх составляющих,

из которых u_R преодолевает сопротивление цепи R, u_L уравновешивает противоположную ему по знаку ЭДС самоиндукции е_L и u_С уравновешивает противоположную ему по знаку ЭДС ёмкости е_С .

Задавшись током цепи , определим все составляющие напряжения.

Напряжение на сопротивлении

u_R = Ri = R = U_RmSint, (3.60)

где U_Rm = RI_m, откуда U_R = RI. (3.61)

Напряжение на индуктивности

, (3.62)

где U_Lm= LI_m= X_LI_m, откуда U_L = X_L I . (3.63)

Напряжение на ёмкости

, (3.64)

где , откуда U_С = X_С I. (3.65)

Из выражений (3.60), (3.62) и (3.64) видно, что отдельные составляющие напряжения u представляют собой синусоидальные напряжения u_R, u_L, u_C, следовательно, суммарное напряжение (3.59) будет также синусоидальным u = U_mSin(t+_u), вектор которого равен геометрической сумме векторов составляющих синусоид.

Построим векторную диаграмму действующих значений напряжений U_R (3.61), U_L (3.63), U_С (3.65) для цепи рис. 3.21.

В качестве исходного вектора при построении диаграммы принимаем вектор тока I, общий для всех элементов цепи. Кроме того, предположим, что U_L  U_С,

т. е. цепь имеет индуктивный

характер.

Сравнивая начальную фазу тока (_i = 0) с начальными фазами активного напряжения

Рис. 3.22 u_R ( 3.60 ), индуктивного

напряжения u_L (3.62) и ёмкостного напряжения u_С (3.64), видим, что = 0, = , =  . Поэтому на векторной диаграмме рис. 3.22 вектор U_R совпадает по фазе с вектором тока, вектор U_L опережает вектор тока на угол , и вектор U_С отстаёт от вектора тока на угол ( ). При построении векторных диаграмм напряжений и токов надо всегда иметь в виду, что векторы вращаются против направления вращения часовой стрелки.

Сумма векторов U_L , U_R , U_С даёт вектор напряжения U на входе цепи (рис. 3.21). Так как U_L  U_С, вектор напряжения U опережает вектор тока I на угол  (рис. 3.22). Соединив концы векторов U_R и U вектором U_Х, совпадающим по направлению с вектором U_L, получим прямоугольный треугольник напряжений, катетами которого являются активное U_R и реактивное U_Х = U_L  U_С напряжения, а гипотенузой – полное напряжение U.

Из треугольника напряжений (рис.3.22) имеем:

(3.66)

где X_L  X_C =X  (3.67)

реактивное сопротивление цепи с последовательным соединением X_L и X_C;

 (3.68)

полное сопротивление цепи с последовательным соединением R и X. Единица измерения активного, реактивного и полного сопротивлений – Ом.

Из выражения (3.66) имеем:

 (3.69)

закон Ома для цепи переменного тока. В таком виде закон Ома справедлив только для действующих и максимальных значений переменных токов и напряжений. Для мгновенных значений тока и напряжения закон Ома в таком виде не применим, т. е. , так как мгновенные значения тока и напряжения не находятся в линейной зависимости:

, ,

при i = 0, u  0.

Закон Ома для мгновенных значений:

. (3.70)

Из выражения (3.70) видно физически существующие ЭДС индуктивности е_L и ЭДС ёмкости е_С. В выражении закона Ома (3.69) они формально учитываются через X_L и X_C, входящие в полное сопротивление цепи Z.

Закон Ома в дифференциальной форме устанавливает связь между плотностью тока в данной точке проводящей среды и напряженностью поля в этой же точке:

, (3.70, а)

где  плотность тока, векторная величина, [A/м²];

 удельная проводимость проводящей среды, [1/Омм];

 статическая напряженность электрического поля, векторная величина, [В/м].

Из векторной диаграммы (рис. 3.22) видно, что вектор тока сдвинут по фазе относительно вектора напряжения на угол  :

. (3.71)

Угол  положителен при X_L  X_C, при этом вектор напряжения опережает вектор тока на угол . Если X_L  X_C, угол сдвига фаз будет отрицательный; в этом случае вектор напряжения будет отставать от вектора тока на угол .

Если разделить все стороны прямоугольного треугольника напряжений (рис. 3.22) на общий множитель I:

U_R = IR, U_X = IX, U = IZ,

получится подобный ему треугольник сопротивлений (рис. 3.23) с гипотенузой Z и катетами R и X.

Из треугольника сопротивлений

Рис. 3.23 имеем:

R = ZCos ,

X = ZSin , . (3.72)

Z =

Определим мгновенную мощность цепи (рис. 3.21) с учётом выражений (3.60), (3.62) и (3.64):

=

+ (3.73)

где  (3.74)

 мгновенная активная мощность;

 (3.75)

 мгновенная индуктивная мощность;

 (3.76)

 мгновенная ёмкостная мощность.

После преобразования выражения (3.73) получаем:

. (3.77)

Из выражений (3.74) – (3.76) следует:

постоянная составляющая мощности равна активной мощности

; (3.78)

максимальное значение мгновенной индуктивной мощности

(3.79)

называется индуктивной мощностью;

максимальное значение мгновенной ёмкостной мощности

(3.80)

называется ёмкостной мощностью.

Разность индуктивной и ёмкостной мощностей

(3.81)

называется реактивной мощностью.

Амплитуда переменной части мгновенной полной мощности (3.77)

(3.82)

называется полной мощностью.

Активная, реактивная и полная мощность имеют разные единицы измерения:

[P] = Вт; [Q] = вар; [S] = ВА.

Если умножить все стороны прямоугольного треугольника напряжения (рис. 3.22) на общий множитель I или треугольника сопротивлений (рис. 3.23) на I², получим подобный им треугольник мощностей (рис. 3.24), катетами которого являются активная P и реактивная Q мощности, а гипотенузой – полная мощность S.

Из этого треугольника имеем:

,

, (3.83)

.

По полученным выражениям

мгновенных значений напряжения,

тока и мощности построим волно-

Рис. 3.24 вую диаграмму u, i, p (рис. 3.25).

Из волновой диаграммы видно,

что напряжение опережает ток на угол , мгновенная мощность изменяется во времени с двойной частотой; она имеет постоянную составляющую UICos и переменную составляющую с амплитудой UI. Так как UI  UICos, мощность в определённые промежутки времени становится отрицательной, т. е. электрическая цепь в эти промежутки времени отдаёт энергию источнику. Когда мгновенная мощность положительна, цепь получает энергию от источника.

Р ассмотренные выше мощности P, Q, S (3.83) характеризуют также любую электрическую цепь (электроустановку) синусоидального тока.

Рис. 3.25

Остановимся на математическом и физическом определении этих мощностей.

Активная мощность.

Математическое определение: среднее значение от мгновенной мощности за период

.

Физическое определение: активная мощность представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи с сопротивлением R или преобразуется в другие виды энергии: механическую, химическую, световую и пр.

Реактивная мощность.

Математическое определение: максимальное значение мгновенной реактивной мощности

.

Физическое определение: реактивная мощность характеризует энергетические процессы, связанные с накоплением электрической энергии в магнитном поле катушек индуктивности и электрическом поле конденсаторов, и процессы обмена электрической энергии между источником и приёмником, обладающим L и С. Индуктивная мощность Q_L положительна, т. е. приёмники, обладающие индуктивностью, получают энергию от источника; ёмкостная мощность Q_С отрицательна, т. е. приёмники, обладающие ёмкостью, отдают энергию источнику (являются генераторами реактивной мощности). Это свойство реактивных элементов широко используется в электроустановках для компенсации реактивной мощности.

Полная мощность.

Математическое определение: максимальное значение мгновенной полной мощности

.

Физическое определение: все электроустановки рассчитывают для работы при определённых значениях напряжения U и тока I. Поэтому их характеризуют не активной мощностью P, зависящей от сдвига фаз  между напряжением и током, а полной мощностью S, равной произведению действующих напряжения и тока. Следовательно, полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжении и токе.

Коэффициент мощности.

Отношение активной мощности к полной (из треугольника мощностей (рис. 3.24), равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности:

. (3.84)

Для повышения эффективности использования источников электрической энергии и уменьшения её потерь в сетях желательно повышать Cos (уменьшать сдвиг по фазе тока относительно напряжения), т. е. стремиться к получению Cos = 1. При данной активной мощности P приёмника ток в линии тем меньше, чем больше значение Cos :

,

следовательно, потери мощности в линии при этом будут уменьшаться.