10. Методы расчёта электрических цепей с несколькими источниками эдс

1.10.1. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники эдс, одной эквивалентной ветвью

Существенное упрощение при расчёте сложных электрических цепей даёт замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники ЭДС, одной эквивалентной ветвью.

На рис. 1.22, а показана группа из m параллельных ветвей, выделенная в сложной схеме электрической цепи. Остальная часть схемы условно обозначена прямоугольником. Требуется заменить m параллельных ветвей (рис. 1.22, а) одной эквивалентной ветвью (рис. 1.22, б), так, чтобы ток I и напряжение U_аb в эквивалентной схеме были такими же, как в заданной схеме.

а) б)

Рис. 1.22

Для схемы (рис. 1.22, а) запишем уравнения по второму закону Кирхгофа, выбирая каждый раз контур, замыкающийся по данной ветви и напряжение U_аb:

E₁= I₁R₁ + U_аb; 0= I₂R₂ + U_аb;  E₃= I₃R₃+ U_аb..

Из этих уравнений определяем токи:

;

;

.

По первому закону Кирхгофа

I = I₁ +I₂ +I₃ = E₁G₁  E₃G₃  U_аb(G₁+G₂+G₃). (1.33)

Для схемы (рис. 1.22, б):

E_э= IR_э+U_аb, откуда . (1.34)

Равенство токов I в схемах (рис. 1.22, а) и (рис. 1.22, б) должно иметь место при любых значениях напряжения U_аb, а это возможно только в том случае, когда коэффициенты при U_аb в уравнениях (1.33) и (1.34) будут равны. Следовательно:

G_э= G₁+ G₂+G₃, или для m параллельных ветвей

G_э= , (1.35)

но если слагаемые с U_аb в уравнениях (1.33) и (1.34) равны, и токи I по условию эквивалентности двух схем также равны, то E₁G₁  E₃G₃=E_эG_э или ,

отсюда

. (1.36)

Из выражения (1.35) следует, что проводимость эквивалентной ветви G_э не зависит от ЭДС исходной схемы, тогда как E_э этой ветви зависит не только от ЭДС параллельных ветвей, но и от проводимостей всех ветвей.

При вычислении E_э произвольно задаются направлением этой ЭДС; тогда со знаком плюс берутся те ЭДС параллельных ветвей, которые совпадают с направлением E_э, и со знаком минус – ЭДС ветвей, направленных встречно E_э.

Если какая-либо из параллельных ветвей не содержит ЭДС, то в числитель выражения (1.36) для E_э проводимость этой ветви не войдёт, так как E_кG_к=0, а в знаменателе проводимость этой ветви остаётся.

Мощность, развиваемая источниками ЭДС цепи до преобразования (рис. 1.22, а), не равна мощности, развиваемой источником эквивалентной ЭДС цепи после преобразования (рис. 1.22, б). Это следует из того, что в ветвях схемы (рис. 1.22, а) токи могут протекать даже при I = 0, тогда как в ветви ab схемы (рис. 1.22, б) при I = 0 ток и потребление электроэнергии отсутствуют. Однако это обстоятельство не мешает широко использовать понятие эквивалентной ЭДС для расчёта электрических цепей, так как после определения тока в эквивалентной схеме можно вернуться к исходной и найти токи и мощности во всех её ветвях.

Пример 1.4.

а) б) в)

Рис. 1.23

Дано: Е₁= 60 В, E₂= 90 В, E₄= 50 В, R₁= R₂= R₃= 30 Ом; R₄=5 Ом.

Определить: Е_Э , R_Э .

Р е ш е н и е .

Заменяем три параллельные ветви (рис. 1.23, а) одной эквивалентной ветвью (рис. 1.23, б) с ЭДС E_эbc и R_эbс (предполагаемое направление ЭДС E_эbс на схеме указано пунктирной стрелкой):

G_эbc= G₁ + G₂ + G₃= См;

R_эbc= Ом.

Е_эbc= В.

Действительное направление эквивалентной ЭДС Е_эbc противоположно заданному (указано сплошной стрелкой на рис. 1.23, б).

Для неразветвлённой электрической цепи (рис. 1.23, б) эквивалентная ЭДС Е_э по второму закону Кирхгофа равна алгебраической сумме ЭДС контура (контур замыкается между зажимами ас участком цепи, содержащим ЭДС Е_э и сопротивление R_э):

Е_эbc + Е_э  Е₄ = 0, отсюда

Е_э= Е₄  Е_эbc = 50  10 = 40 В.

Направление ЭДС Е_Э (рис. 1.23, в) совпадает с направлением большей ЭДС Е₄ (от точки с к а).

Эквивалентное сопротивление R_э равно сумме сопротивлений контура (рис. 1.23, б):

R_э= R_эbc + R₄ = 10 +5 = 15 Ом.

П ример 1.5. В том случае, когда известны токи некоторых параллельных ветвей, при расчёте эквивалентной ЭДС по формуле (1.36) в числителе эти токи учитываются, а в знаменателе проводимости этих ветвей исключаются из G_э (рис. 1.24).

а) б)

Рис. 1.24

Е_э = ; G_э= G₁+ G₂+ G₃+ G₄.