gos_geometria_2012

В О П Р О С Ы

по алгебре и геометрии на ГЭК -2012 г.

АЛГЕБРА

1. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК двух целых чисел.

2. Поле комплексных чисел. Числовое поле. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними.

3. Алгебраическая операция. Алгебры. Группы. Примеры групп. Простейшие свойства группы. Подгруппы. Изоморфизм групп.

4. Кольца, поля. Примеры. Простейшие свойства. Подкольцо, подполе.

5. Система линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений и элементарные преобразования систем. Различные способы решения систем.

6. Функция Эйлера. Классы сравнимых чисел, взаимно простых с модулем. Приведенная система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма.

7. Векторное пространство, подпространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

8. Базис и размерность конечномерного векторного пространства.

9. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.

10. Сравнения в кольце целых чисел, основные свойства. Классы сравнимых чисел, полная система система вычетов.

11. Многочлены над полем рациональных чисел. Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами.

12. Теорема о существовании корня многочлена в поле комплексных чисел (без доказательства). Многочлены, неприводимые над полем комплексных чисел. Формулы Виета. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.

13. Геометрическое представление комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.

14. Кольцо многочленов над полем, наибольший общий делитель многочленов, способы его вычисления. Факториальность и евклидовость кольца многочленов над полем.

15. Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1962.

3. Ларин С.В. Линейная алгебра, ч.1. КГПУ, 2002.

Линейная алгебра, ч.2. КПУ, 1999.

4. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.

5. Ларин С.В. Многочлены, КГПУ, 2007.

6.Ларин С.В.Лекции по теории групп., КГПУ, 2008.

7. Казачек Н.А. и др. Алгебра и теория чисел., ч. 3., 1974.

ГЕОМЕТРИЯ

1. Построения на плоскости циркулем и линейкой. Примеры задач, неразрешимых циркулем и линейкой.

2. Многоугольник. Площадь многоугольника. Равновеликость, равносоставленность многоугольников. Теорема Бояи-Гервина.

3. Линии второго порядка.

4. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их свойства, приложение к решениям задач.

5. Правильные многогранники. Теорема Эйлера для многогранников.

6. Прямые и плоскости в пространстве, их аналитическое задание, взаимное расположение.

7. Поверхности второго порядка.

8. Движения плоскости. Классификация движений.

9. Аффинные преобразования плоскости. Родство.

10. Проективная плоскость. Теорема Дезарга.

11. Аксиоматический метод построения геометрии. «Начала» Евклида. Система аксиом Гильберта.

12. Геометрия Лобачевского, основные факты, непротиворечивость.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Анищенко С.А. Лекции по геометрии. Ч.1. Красноярск: РИО КГПУ, 2004, - 144 с.

2. Анищенко С.А. Лекции по геометрии. Ч.2. Красноярск: Изд-во КГПУ, 1999, - 175 с.

3. Анищенко С.А. Основания геометрии. Ч.3. Красноярск: РИО КГПУ, 2000, - 120 с.

4. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х частях. Ч. 1. Учебное пособие для студентов физ.-мат. Факультетов пед. Институтов. М.: Просвещение, 1986, – 336 с.

5. Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия. Ч. 2. Учебное пособие для студентов физ.-мат. Факультетов пед институтов. М.: Просвещение, 1976, - 447 с.

6. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1961, – 360 с.

Зав. кафедрой алгебры, геометрии и МП В.Р. Майер