Практическое задание 2 Нелинейный регрессионный анализ при обработке результатов пассивных экспериментов

Задание: провести нелинейный регрессионный анализ.

Сгладить данную экспериментальную кривую.

Параметр	Значения х
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
у	30	31	32	33,5	34	36,3	38	40	43	46	49

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 3)

x	y	x2	y2	x*y
0	30	0	900	0
1	31	1	961	31
2	32	4	1024	64
3	33.5	9	1122.25	100.5
4	34	16	1156	136
5	36.3	25	1317.69	181.5
6	38	36	1444	228
7	40	49	1600	280
8	43	64	1849	344
9	46	81	2116	414
10	49	100	2401	490
55	412.8	385	15890.94	2269

Для наших данных система уравнений имеет вид 11a + 55·b = 412.8 55·a + 385·b = 2269 Домножим уравнение системы на (-5), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения. -55a -275 b = -2064 55*a + 385*b = 2269 Получаем: 110*b = 205 Откуда b = 1.8636 Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения: 11a + 55*b = 412.8 11a + 55*1.8636 = 412.8 11a = 310.3 a = 28.2091 Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1.8636, a = 28.2091 Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии): y = 1.8636 x + 28.2091

Параметры уравнения регрессии. Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

a = \\x\\to(y) - b·\\x\\to(x) = 37.527 - 1.8636·5 = 28.2091

Коэффициент корреляции. Ковариация.

cov(x,y) = \\x\\to(x·y) - \\x\\to(x)·\\x\\to(y) = 206.273 - 5·37.527 = 18.64 Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Коэффициент детерминации. Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака. Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах. R²= 0.978² = 0.9559 т.е. в 95.59% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 4.41% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации). Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 4)

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	|y - yx|:y
0	30	28.209	56.66	3.207	0.0597
1	31	30.073	42.605	0.86	0.0299
2	32	31.936	30.551	0.00405	0.00199
3	33.5	33.8	16.219	0.09	0.00896
4	34	35.664	12.442	2.768	0.0489
5	36.3	37.527	1.506	1.506	0.0338
6	38	39.391	0.223	1.935	0.0366
7	40	41.255	6.114	1.574	0.0314
8	43	43.118	29.951	0.014	0.00275
9	46	44.982	71.787	1.037	0.0221
10	49	46.845	131.623	4.642	0.044
55	412.8	412.8	399.682	17.636	0.32

Ошибка аппроксимации. Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным. В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 2.91%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

F-статистика. Критерий Фишера.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму: 1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости α. 2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

Поскольку фактическое значение F > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

t-статистика. Критерий Стьюдента.

t_крит(n-m-1;α/2) = t_крит(9;0.025) = 2.685

Поскольку 13.96 > 2.685, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 35.72 > 2.685, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии. Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими: (b - t_крит S_b; b + t_крит S_b) (1.86 - 2.685*0.133; 1.86 + 2.685*0.133) (1.505;2.222) С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале. (a - t_крит S_a; a + t_крит S_a) (28.209 - 2.685*0.79; 28.209 + 2.685*0.79) (26.089;30.329) С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

Выводы. Изучена зависимость Y от X. На этапе спецификации была выбрана парная линейная регрессия. Оценены её параметры методом наименьших квадратов. Статистическая значимость уравнения проверена с помощью коэффициента детерминации и критерия Фишера. Установлено, что в исследуемой ситуации 95.59% общей вариабельности Y объясняется изменением X. Установлено также, что параметры модели статистически значимы. Возможна экономическая интерпретация параметров модели - увеличение X на 1 ед.изм. приводит к увеличению Y в среднем на 1.864 ед.изм.