М ИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Тольяттинский государственный университет»

(наименование института полностью)

Кафедра /департамент /центр¹ институт химии и энергетики

(наименование кафедры/департамента/центра полностью)

13.03.02 Электроэнергетика и электротехника

(код и наименование направления подготовки, специальности)

(направленность (профиль) / специализация)

Практическое задание №__1_

по учебному курсу «Инженерный эксперимент в электроэнергетике и электрохозяйстве»

(наименование учебного курса)

Вариант __10__ (при наличии)

Студент	Яшин И.А. (И.О. Фамилия)
Группа	ЭЭТбп-1801а (И.О. Фамилия)
Преподаватель	Федяй Олег Валерьевич (И.О. Фамилия)

Тольятти 2022

Практическое задание 1 Линейный регрессионный анализ при обработке результатов пассивных экспериментов

Задание: Провести линейный регрессионный анализ.

Имеются экспериментальные характеристики привода турбонагнетателя.

Скольжение, о.е.	Активная мощность каскада, Мвт
0,025	4,32
0,050	3,39
0,075	3,38
0,100	3,24
0,125	3,03
0,150	2,63
0,175	2,49
0,200	2,28
0,225	2,02
0,250	1,87
0,275	1,61
0,300	1,50

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

x	y	x2	y2	x*y
0.025	4.32	0.000625	18.6624	0.108
0.05	3.39	0.0025	11.4921	0.1695
0.075	3.38	0.00563	11.4244	0.2535
0.1	3.24	0.01	10.4976	0.324
0.125	3.03	0.01563	9.1809	0.3788
0.15	2.63	0.0225	6.9169	0.3945
0.175	2.49	0.03063	6.2001	0.4358
0.2	2.28	0.04	5.1984	0.456
0.225	2.02	0.05063	4.0804	0.4545
0.25	1.87	0.0625	3.4969	0.4675
0.275	1.61	0.07563	2.5921	0.4428
0.3	1.5	0.09	2.25	0.45
1.95	31.76	0.4063	91.9922	4.3348

Для наших данных система уравнений имеет вид

12a + 1.95·b = 31.76

1.95·a + 0.406·b = 4.335

Домножим уравнение системы на (-0.163), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

-1.95a -0.318 b = -5.177

1.95*a + 0.406*b = 4.335

Получаем:

0.088*b = -0.842

Откуда b = -9.2448

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения:

12a + 1.95*b = 31.76

12a + 1.95*(-9.2448) = 31.76

12a = 49.787

a = 4.1489

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -9.2448, a = 4.1489

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = -9.2448 x + 4.1489

Параметры уравнения регрессии. Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

a = \\x\\to(y) - b·\\x\\to(x) = 2.647 - (-9.2448)·0.163 = 4.1489

Коэффициент корреляции. Ковариация.

cov(x,y) = \\x\\to(x·y) - \\x\\to(x)·\\x\\to(y) = 0.361 - 0.163·2.647 = -0.0689 Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

В нашем примере связь между признаком Y и фактором X весьма высокая и обратная.

Коэффициент детерминации. Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака. Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах. R²= -0.981² = 0.9627 т.е. в 96.27% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 3.73% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации). Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	|y - yx|:y
0.025	4.32	3.918	2.8	0.162	0.0931
0.05	3.39	3.687	0.553	0.088	0.0875
0.075	3.38	3.456	0.538	0.00571	0.0224
0.1	3.24	3.224	0.352	0.000241	0.0048
0.125	3.03	2.993	0.147	0.00134	0.0121
0.15	2.63	2.762	0.000278	0.0175	0.0503
0.175	2.49	2.531	0.0245	0.00169	0.0165
0.2	2.28	2.3	0.134	0.0004	0.00877
0.225	2.02	2.069	0.393	0.00239	0.0242
0.25	1.87	1.838	0.603	0.00104	0.0172
0.275	1.61	1.607	1.075	1.1E-5	0.00209
0.3	1.5	1.376	1.315	0.0155	0.083
1.95	31.76	31.76	7.934	0.296	0.422

Ошибка аппроксимации. Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным. В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 3.52%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

F-статистика. Критерий Фишера.

Фактическое значение F-критерия:

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=10, F_табл = 4.96 Поскольку фактическое значение F > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

t-статистика.

t_крит(n-m-1;α/2) = t_крит(10;0.025) = 2.634

Поскольку 16.08 > 2.634, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 39.21 > 2.634, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими: (b - t_крит S_b; b + t_крит S_b) (-9.24 - 2.634*0.575; -9.24 + 2.634*0.575) (-10.76;-7.73) С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале. (a - t_крит S_a; a + t_крит S_a) (4.149 - 2.634*0.106; 4.149 + 2.634*0.106) (3.87;4.428) С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

Выводы. Изучена зависимость Y от X. На этапе спецификации была выбрана парная линейная регрессия. Оценены её параметры методом наименьших квадратов. Статистическая значимость уравнения проверена с помощью коэффициента детерминации и критерия Фишера. Установлено, что в исследуемой ситуации 96.27% общей вариабельности Y объясняется изменением X. Установлено также, что параметры модели статистически значимы. Возможна экономическая интерпретация параметров модели - увеличение X на 1 ед.изм. приводит к уменьшению Y в среднем на 9.245 ед.изм.