3
2Ход работы
2.1Решение метод Крамера
Для того, чтобы проверить правильность решения уравнений приближенными, численными методами, необходимо найти корни уравнений с помощью точных методов (В данном случае с помощью методом Крамера). Необходимо решить данную систему:
8
>0; 2 x + 0; 3 y 0; 2 z = 0; 6
<
0; 1 x 1; 6 y + 0; 2 z = 0; 3 (1)
>
:0; 5 x + 0; 1 y + 0; 34 z = 0; 2
Для решения системы уравнений была написана программа на языке программирования С#. Листинг кода программы представлен в приложении А. Результат работы программы представлен рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 - Решение методом Крамера
Корни уравнений найденные с помощью метода Крамера:
x = 2,138;
y = 0,147;
z = -1,083;
2.2Решение методом простых итераций
Для дальнейшего решения методом простых итераций и методом Зейделя необходимо преобраховать систему умножением на транспонированную матрицу. Матрица A:
0 1
0; 2 0; 1 0; 5
B 0; 3 1; 6 0; 1 C
@A
0; 2 0; 2 0; 34
4
Тогда ветктор-столбец В:
0 1
0; 6
B 0; 3 C
@A
0; 2
Таким образом, получаем: A X = B. Далее умножим всё уравнение на AT и получим: AT A X = AT B.
Слева получим матрицу: |
|
|
00; 27 |
|
|
|
1 |
AT |
|
A = |
0; 66 |
|
0; 346 |
||
|
|
|
0; 3 0; 27 |
0; 11 |
C |
||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
@ |
0; 346 0; 195 |
A |
||
|
|
|
0; 11 |
|
|||
Справа получим:
0 1
0; 5
AT B = B 0; 64C @ A
0; 248
Листинг кода программы для метода простых итераций находится в приложении B. Результат работы программы приведен на рисунке 2.2.
Рисунок 2.2 - Решение методом простых итераций
Корни уравнений найденные с помощью метода простых итераций:
x = -0,65;
y = -0,015;
z = 1,55;
2.3Решение методом Зейделя
Метод Зейделя является модификаций метода простых итераций. Отличие в том, что после вычисления x, y вычисляется уже с помощью нового значения x, то же самое с z. Таким образом, повышается точность вычисления и количество итераций будет меньше. Код программы находится в приложении Д, результат решение методом Зейделя приведен на рисунке 2.3.
Рисунок 2.3 - Решение методом Зейделя
5
Корни уравнений найденные с помощью метода Зейделя:
x = -1,083;
y = 0,147;
z = 2,138;
Для сравнения работы приближенных методов результаты вычисления приведены в таблице 2.4
Таблица 2.4 - Результаты вычислений.
|
Решение |
Начальная точка |
Число итераций |
|
|
|
|
Точный метод (Крамера) |
-1,083; 0,147; 2,138; |
- |
- |
Метод простых итераций |
-0,65; -0,015; 1,55 |
-0,698 0,399 0,298 |
31 |
Метод Зейделя |
-1,081; 0,147; 2,136; |
0 0 0 |
17 |
|
|
|
|