3
2Ход работы
2.1Интерполяционный полином Лагранжа
Для решения данной задачи необходимо найти приближение "неизвестной функции".
Неизвестную функцию можно найти двумя способами, это интерполяция и аппоксимация. В данном пункте необходимо воспользоваться интерполяционным полиномом Лагранжа второй степени. Интерполяционный многочлен Лагранжа - многочлен минимальной степени, принимающий данныезначения в данном наборе точе
Для решения необходимо получить 30 точек для заданной функции. Аргумент функции брался с шагом 0.2 и до 5.8. Все точки подсчитаны с помощью программы написанной на языке С. Все точки показаны на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 - Аргументы предложенной функции
Далее необходимо проверить работу программы написаной на языке C в узлах. Результат работы можно увидеть на рисунке 2.2.
Рисунок 2.2 - Результат работы программы, полином Лагранжа
4
2.2Интерполяционный полином Ньютона
Интерполяционный многочлен в форме Ньютона – это математическая функция позволяющая записать полином n-степени, который будет соединять все заданные точки из набора значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки с постоянным/переменным временным шагом измерений.
Результат работы программы для полинома Ньютона второй степени приведен на рисунке 2.3.
Рисунок 2.3 - Полином Ньютона второй степени
В данном случае результаты точно такие же как и в предыдущем пункте. Это говорит о том, что полином является одним из видов полинома Лагранжа. Вычисление погрешностей в данном случае не имеет значение так как числа сопадают с теми, что были получены ранее и соответственном, погрешности будут точно такие же.
5
2.3Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов метод, используемый для решения различного рода задач, он основан на минимизации суммы квадратов отклонений приближенных функций от искомых переменных.
Метод наименьших квадратов является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.
На рисунке 2.4 предсталена таблица Excel, в которой представлены все необходимые данные для построения графика.
Рисунок 2.4 - Данными необходимые для построения графиков.
На рисунке 2.5 представлены высчитанные коэффициенты, уравнения для построения матрицы, обратная матрица и погрешности.
6
Рисунок 2.5 - Вычисление коэффициентов.
На рисунке 2.6 представлены графики, которые построены на основе данных, полученных ранее.
Рисунок 2.6 - Графики f(x) и ’f(x).
Из рисунков представленных ранее, видно, что функция не очень хорошо поддается прогнозу с помощью аппроксимации, однако сам график выглядит довольно неплохо. Большие погрешности вычислений в выбранных точках объясняются тем, что в этих местах функция стремится к нулю, из - за чего отностительная погрешность резко возрастает.
Результаты всех вычислений на лабораторной работе представлены в таблица 2.1 и 2.2. Полный код программы можно найти в приложении А.
Таблица 2.1 - Результаты вычислений, интерполяция
x |
f(x) |
L2(x) |
x |
(x ) |
LN2(x) |
x |
(x ) |
5; 8 |
5,88558 |
5,2532078 |
0 |
0% |
0,00655 |
0 |
0% |
|
|
|
|
|
|
|
|
5; 7 |
5,78705 |
4,5333827 |
1,25367 |
5% |
1,57169 |
1,25367 |
5% |
|
|
|
|
|
|
|
|
6; 8 |
6,87314 |
5,2532078 |
1,61993 |
24% |
2,62417 |
1,61993 |
24% |
|
|
|
|
|
|
|
|
10; 8 |
10,8462 |
7,8707537 |
2,97544 |
24% |
8,85327 |
2,97544 |
24% |
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Таблица 2.2 - Результаты вычислений, аппроксимация
x |
f(x) |
0f(x) |
x |
(x ) |
5,8 |
5,88558 |
5,96653 |
0,08096 |
0,01376 |
|
|
|
|
|
5,7 |
7,8Е-15 |
4,53338 |
4,53338 |
5,8Е+14 |
|
|
|
|
|
6,8 |
8,3Е-21 |
5,25321 |
5,25321 |
6,3Е+20 |
|
|
|
|
|
10,8 |
2,2Е-51 |
7,87075 |
7,87075 |
3,6Е+51 |
|
|
|
|
|