идз3
.pdfТеория вероятностей и математическая статистика
Индивидуальное домашнее задание №3
Случайная величина (ξ, η) имеет равномерное распределение в области D:
D = |
x ≥ −2≤, y ≥ 0 |
|
x + 2y 0 |
ζ = 1ξ4 − 3, ν = 3η , µ = −2ξ − 3η
Задание 1. Найти pξ,η, функции и плотности распределения компонент. Построить графики функций распределений Fξ(x) и Fη(y). Будут ли компоненты независимыми?
Решение. Построим область D:
Плотность случайной величины (ξ, η) :
:
(
pξ,η(x,y) =
C, (x, y) D
0, else
Найдём C:
x
0− 2
ZZ
dx C dy = 1
−2 0
1
|
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− |
x |
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||||
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||||
0 |
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2 |
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1 |
|||||||||||
Z |
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dx Z |
|
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||||||||||
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|
dy = |
|
|
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||||||||||||
|
C |
||||||||||||||||
−2 |
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0 |
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||
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0 |
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Z |
− |
x |
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1 |
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|||||||
|
dx = |
|
|
|
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||||||||||||
2 |
C |
||||||||||||||||
−2 |
|
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||
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1 |
x2 |
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0 |
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1 |
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|||||||||
− |
|
· |
|
|
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|
2 |
= |
|
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||||||
2 |
2 |
|
|
C |
|||||||||||||
|
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− |
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||
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|
!
1 4 1
−2 · −2 = C
C = 1
Тогда:
(
pξ,η(x,y) =
1, (x, y) D
0, else
Найдём плотности распределений компонент:
|
|
− |
x |
|
|
|
x |
|
|
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||||
|
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− |
|
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||||||
|
|
2 |
|
|
|
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|
x |
||||||
1) pξ(x) = |
|
2 |
|
|||||||||||
0 |
|
|
dy = y 0 |
|
= −2, x [−2; 0] |
|||||||||
|
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Тогда: |
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x |
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||
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R |
|
|
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|
|
|
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||||
pξ(x) = |
− |
|
, x [−2; 0] |
|||||||||||
2 |
||||||||||||||
|
0, else |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−2y |
dx = x |
−2y |
||||||||||
2) pη(y) = |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
= −2y + 2, y [0; 1] |
||||||
|
|
−R |
|
− |
|
|
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|
|||||
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Тогда: |
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(
pη(y) = −2y + 2, y [0; 1] 0, else
Найдём функции распределения компонент: 1) Fξ(x) =?
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x |
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|
x |
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а) Fξ(x) = |
R |
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R |
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||
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−∞ |
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−∞ |
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1 t2 |
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x |
|
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|
|
x2 |
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||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
−2 |
x |
|
t |
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|||||||||||
b) Fξ(x) = −∞ pξ(t) dt = −∞ 0 dt + |
2 − |
|
|
dt = − |
|
· |
|
|
2 = − |
|
+ 1 |
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Rx |
|
|
|
|
|
R2 |
−R0 |
|
t |
x |
|
|
|
|
− |
1 t |
2 |
|
|
0 |
|
1 |
||||||||
c) Fξ(x) = −∞ pξ(t) dt = |
|
− |
2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = − |
||||||||||||||||||
|
−∞ 0 dt + |
2 dt + 0 |
0 dt = −2 · 2 |
|
2 · (0 − 2) = 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
−R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
− |
|
|
|
|||
|
|
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Тогда функция распределения Fξ(x): |
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||||||||||||
F (x) = |
0,x2 |
( |
−∞ |
− |
2] |
|
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||||
ξ |
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|
x |
|
; |
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|||
− 4 + 1, x (−2; 0] |
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|||||||||
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|
1, x (0; +∞) |
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||||||
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функции распределения F |
(x): |
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График |
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ξ |
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|
2
2) Fη(y) =?
|
y |
|
|
|
y |
y |
|
y |
y |
|
|
2 y |
y |
|
||
Ry |
|
|
|
R0 |
|
|
|
|
||||||||
а) Fη(y) = |
|
pη(t) dt = |
0 dt = 0 |
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|
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||||
−∞ |
|
|
|
−∞ |
|
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|
|
|
t |
0 + 2 · t 0 = −y2 |
|
|||
b) Fη(y) = −∞ pη(t) dt = −∞ |
0 dt + 0 (−2t + 2) dt = −2 0 t dt + 2 |
0 dt = −2 · |
+ 2y |
|||||||||||||
2 |
||||||||||||||||
Ry |
|
|
|
R0 |
R1 |
y |
R |
R2 1 |
1 |
|
|
|
|
|||
c) Fη(y) = −∞ pη(t) dt = −∞ |
0 dt + 0 |
(−2t + 2) dt + 1 0 dt = −2 · |
t |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
+ 2 · t 0 = 1 |
|
|
|||||||||||||
R |
|
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|
R |
R |
R |
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||
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Тогда функция распределения Fη(y): |
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||||||||
Fη(y) = |
y2 |
+ 2y, y |
|
(0; 1] |
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|||
0, y |
|
(−∞; 0] |
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|||
− |
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|
(1; + |
|
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1, y |
|
) |
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|||
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функции распределения F |
(y): |
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|||||||
График |
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η |
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3
Проверим компоненты на независимость.
Компоненты независимы, если pξ,η(x,y) = pξ(x) · pη(y) для всех пар чисел (x, y) pξ,η(x,y) = 1
x
pξ(x) · pη(y) = −2 · (−2y + 2)
Пусть (x, y) = (−2, 1), тогда pξ(x) · pη(y) = 0 ̸= pξ,η(x,y)
Следовательно компоненты зависимы.
Ответ: Плотности компонент и графики функций распределения приведены выше, компоненты зависимы.
□
Задание 2. Найти распределения с.в. ζ и ν; Eζ, Eν, Dζ, Dν Построить графики функций распределе-
ний Fζ(z) и Fν(n). |
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||||
Решение. ζ = ξ4 − 3 |
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||||
supp ξ = [−2; 0] |
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||||
supp ζ = [−3; 13] |
4 |
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||||
g(x) = x4 − 3 g−1 |
(z) = −√ |
z + 3 |
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|||||
Т.к на supp ξ функция убывает: |
√4 |
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2 |
+ 1! = |
√ |
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|||||||||
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|||||
Fζ(z) = 1 − Fξ(g−1(z)) = 1 − − |
− |
z + 3 |
|
z + 3 |
||||||||||||
|
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|
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|||||||||||
|
|
4 |
4 |
|||||||||||||
Тогда Fζ(z) =: |
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||||
|
0, z (−∞; −3] |
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|||||||
|
√ |
z + 3 |
|
|
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4 , z (−3; 13] |
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|||||
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Fζ(z) = |
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1, z (13; +∞)
4
Тогда плотность: |
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||||||||||||||||||
pζ(z) = |
8√ |
1 |
, z [−3; 13] |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z + 3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
0, else |
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13 |
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|
z |
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|
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1 |
13 |
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z |
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t = z + 3 |
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1 16 t 3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассчитаем математическое ожидание и дисперсию: |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Eζ = R z · pζ(z) dz = |
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8√ |
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|
|
dz = |
|
3 |
√ |
|
|
|
dz = |
dt = dz |
|
= |
|
0 |
|
√− |
|
dt = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
z + 3 |
z + 3 |
t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R 16 |
|
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|
16 |
|
|
|
−R |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
−R |
|
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|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
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|
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||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
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|
3 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
1 |
|
|
2 |
· |
|
t |
· |
√t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
16 |
· |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
√t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
√t |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
4 = |
|
|
|
2,33 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
· |
0 |
|
− 0 |
√t |
8 · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
− |
· |
|
0 |
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t = z + 3 |
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Eζ2 = R z2 · pζ(z) dz = |
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√ |
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dt = dz |
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= |
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z + 3 |
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z + 3 |
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−R16 |
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−R |
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(t |
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3) |
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t |
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= |
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dt = |
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dt |
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√t dt + 9 |
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dt |
= |
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√t |
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2R t2 |
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√ |
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t |
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− 4 · t · √t |
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+ 18 · |
√t |
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= 8 · |
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2 · 5 |
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− 4 · 16 · 4 + 18 · 4! = 5 ≈ 28,2 |
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Dζ = Eζ2 − (Eζ)2 = |
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− |
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= |
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≈ 22,76 |
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5 |
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График функции распределения Fζ(z):
5
ν = 3η
"! " ! " !
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1 |
1 |
2 |
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|
2 |
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||||
supp η = [0; 1] = |
0; |
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; |
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; 1 {1} |
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||
3 |
3 |
3 |
3 |
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|||||||||
supp ν = {0, 1, 2, 3} |
|
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|||
Fν(0) |
= P (ν < 0) = P ( 3η < 0) |
= P (η < 0) = Fη(0) = 0 |
3! |
− Fη(0) = |
9 |
|||||||||||
Fν(1) |
= P (ν < 1) |
= P ( 3η < 1) |
= P |
|
0 ≤ η < 3! |
= Fη |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
1 |
|
5 |
|
Fν(2) |
= P (ν < 2) |
= P ( 3η < 2) |
= P |
|
0 ≤ η < 3! |
= Fη |
3! |
− Fη(0) = |
9 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
8 |
|
Fν(3) |
= P (ν < 3) |
= P ( 3η < 3) |
= P (0 ≤ η < 1) = Fη(1) = 1 |
|
|
Тогда функция распределения Fν(n):
6
|
|
|
|
5 |
|
|
( |
−∞ |
; 0] |
|
|
|
|
|
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||||||||||
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0, n |
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|||||||||||
|
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, n |
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(0; 1] |
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9 |
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F |
(n) = |
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||||||
ν |
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8 |
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, n |
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(1; 2] |
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9 |
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1, n |
(2; + ) |
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∞ |
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ν |
0 |
1 |
2 |
P |
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P |
5 |
1 |
1 |
1 |
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9 |
3 |
9 |
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Рассчитаем математическое ожидание и дисперсию: |
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5 |
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1 |
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1 |
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5 |
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Eν = 0 · |
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+ 1 · |
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+ 2 · |
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= |
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≈ 0,56 |
|
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|||||||||||||||
9 |
3 |
9 |
9 |
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Eν2 |
5 |
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1 |
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1 |
7 |
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= 0 · |
|
+ 1 · |
|
+ 4 · |
|
= |
|
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≈ 0,78 |
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|||||||||||||||||||
9 |
3 |
9 |
9 |
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|||||||||||||||||||||||||
Dν = Eν2 − (Eν)2 |
7 |
− |
25 |
|
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38 |
≈ 0,47 |
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||||||||||||||||||||
= |
|
|
= |
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9 |
81 |
81 |
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График функции распределения Fν(n):
Ответ: Eζ ≈ 2,33; Dζ ≈ 22,76; Eν ≈ 0,56; Dν ≈ 0,47. Графики приведены выше.
□
7
Задание 3. Вычислить вектор мат.ожиданий, ковариационные и корреляционные характеристики вектора (ξ, η). Найти условное распределение ξ при η; E(ξ|η); D(ξ|η)
Решение. Вычислим мат. ожидание ξ и η:
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0 |
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x2 |
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1 x3 |
0 |
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1 |
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8 |
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4 |
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Eξ = R x · pξ(x) dx = −2 |
|
−2 dx = − |
2 · 3 |
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−2 = −2 · 3 = −3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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R |
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R |
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Eη = y pη(y) dy = |
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2y |
2 |
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+ 2y dy = |
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y |
|
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+ 2 |
|
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y |
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2 |
|
1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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|
3 |
1 |
|
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2 1 |
|
= + 1 = |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
|
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|
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0 |
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|
|
|
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|
0 |
|
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|
|
|
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|
|
||||
|
|
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|
|
· |
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|
|
|
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|
− |
|
|
|
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− · |
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|
· |
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|
− |
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|
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|||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
0 |
|
|
|
x |
3 |
|
1 |
|
x |
4 0 |
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
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|||||||||||||
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|
− |
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|||||||||||||
E |
ξ2 |
= x2 |
|
pξ(x) dx = |
|
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dx = |
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−2 |
= |
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( |
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4) |
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= 2 |
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|
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||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−2 |
· 4 |
|
|
−2 · |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
Eη |
2 |
= y |
2 |
|
pη(y) dy = |
|
|
|
|
|
2y |
3 |
+ 2y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
y |
|
|
|
|
+ 2 |
|
y |
|
|
|
|
|
1 2 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
3 |
1 |
= + = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
− · 4 |
0 |
|
|
|
|
|
· 3 |
0 |
|
− |
2 3 6 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
||||||
Dξ = Eξ |
|
|
− |
(Eξ) |
|
= 2 − |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
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||||||||||||||
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9 |
|
9 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||
Dη = Eη2 |
|
− (Eη)2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
|
= |
|
− |
|
= |
|
|
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|
|
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|
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|
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|
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|
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|||||||||||||||||||
|
6 |
9 |
18 |
|
|
|
|
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|
Тогда:
E η |
= |
|
|
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4 |
|
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|
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|
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||||||||||
|
|
|
−13 |
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
|||||||||||||
ξ |
|
|
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|||
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|
|
|
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|
|
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|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
компонент: |
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|||||||||||||||||||
Мат. ожидание |
|
произведения |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
1 x4 |
0 |
|
1 |
|||||||||||||
Eξη = |
|
x · y dy = |
|
|
|
|
|
2 dx = |
dx = |
2 = − |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 dx |
|
0 |
|
|
|
|
2 x · |
|
y2 |
0 |
|
8 |
2 x3 |
8 · 4 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
−R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−R |
1 |
|
|
|
4 1 |
|
|
−R |
|
|
|
|
− |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Тогда ковариационная характеристика: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cov(ξ, η) = Eξη − Eξ · Eη = − |
|
|
− |
|
− |
|
|
· |
|
! = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
3 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Корреляционная характеристика: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
cov(ξ, η) |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ρ(ξ, η) = |
√ |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
· |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
r |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
Ковариационная матрица: |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Σ = |
2 |
|
|
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9 |
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
−18 |
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||
Корреляционная |
|
|
матрица: |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
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Найдём условное распределение ξ при η; |
E(ξ|η); D(ξ|η) |
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pξ,η(x, y0) |
1 |
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, (x, y0) D |
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pξ|η=y0 (x) = |
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= |
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pη(y0) |
−2y0 + 2 |
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pξ|η(x) = |
1 |
, x [−2, −2η] |
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−2η + 2 |
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0, else |
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1 −2η |
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1 |
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x2 −2η |
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1 |
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4η2 |
η2 − 1 |
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Eξ|η = xpξ|η(x) dx = |
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x dx = |
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· |
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2 |
= |
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· |
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− 2! = |
|
= |
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2η + 2 2 |
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2η + 2 |
2 |
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2η + 2 |
2 |
η + 1 |
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R |
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− |
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−R |
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− |
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− |
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− |
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R |
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− |
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8
= −η − 1 |
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Проверка по свойству E (Eξ|η) = Eξ : |
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1 |
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4 |
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E (Eξ|η) = E(−η − 1) = −Eη − 1 = − |
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− 1 = − |
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= Eξ |
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3 |
3 |
x3 |
−2η |
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8η3 |
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! = |
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2 |
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2 |
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1 −2η |
2 |
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1 |
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1 |
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− 8 |
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Eξ |
|η = R x pξ|η |
(x) dx = |
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x |
|
dx = |
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· |
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|
= |
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· |
− |
− |
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− |
2η + 2 −2 |
|
|
|
2η + 2 |
3 |
|
|
2 |
|
− |
2η + 2 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4( |
|
η |
3R |
|
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|
4(1 |
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|
2R |
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− |
2 |
) |
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|
− |
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− |
|
+ 1) |
|
− |
η)(1 + η + η ) |
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4(1 + η + η |
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= |
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= |
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= |
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||||||||
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3(1 − η) |
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|
3(1 − η) |
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3 |
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Dξ|η = Eξ2|η − (Eξ|η)2 |
4 |
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4 |
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1 |
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= |
|
· (η2 + η + 1) − (−(η + 1))2 |
= |
|
· (η2 + η + 1) − (η2 + 2η + 1) = |
|
· |
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3 |
3 |
3 |
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1 |
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||
·(η2 − 2η + 1) = |
|
· (η − 1)2 |
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3 |
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Ответ: E |
η |
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= E |
|
4 |
; cov(ξ, η) = −18; ρ(ξ, η) = −2; Eξ|η = −η − 1; Dξ|η = |
3 · (η − 1)2 |
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−13 |
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ξ |
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1 |
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1 |
|
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|
1 |
|
|
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|||||
|
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|
|
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|
|
3 |
|
|
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□
Задание 4. Найти распределение µ; Eµ; Dµ. Построить график функции распределения Fµ(m)
Решение. µ = −2ξ − 4η supp ξ = [−2; 0] supp η = [0; 1]
supp µ = [0; 4]
9
!
Fµ(m) = P(−2ξ − 4η < m) = P ξ + 2η > − |
|||||
m (−∞; 0] : P ξ + 2η > − 2 ! = 0 |
|
||||
|
|
|
m |
|
|
m (0; 4] : |
|
|
|
2 ! |
|
P ξ + 2η > − 2 ! |
= 1 − P ξ + 2η < − |
||||
|
m |
|
|
|
m |
m
2
|
m − m − 2x |
m |
|
|
|||||
|
− |
2 |
|
4 |
− |
2 |
|
− m − 2x |
|
|
−R2 |
R |
−R |
|
|
||||
= 1 − |
|
|
dx |
0 |
dy = 1 − |
4 |
dx = |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
10