Добавил:

LildeBill Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

идз2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.06.2023

Размер:

293.12 Кб

Скачать

☆

Теория вероятностей и математическая статистика Индивидуальное домашнее задание №2

Задание 1. Дана функция распределения случайной величины ξ

x	(−∞; −3] (−3; −2]	(−2; −1]	(−1; 1] (1; +∞)
	3	2	7
Fξ(x)	0			1
		5
	10		10

Вычислить Eξ, Dξ, Hξ распределение η = ξ4, построить графики функции распределения Fξ(x), Fη(y)

03, x (−∞; −3]

, x

(

−

F (x) =

−

Решение. ξ

, x

(

10, x (−1; 1]

(1; +

)

1, x

∞

Тогда график

функции

распределения F

(x)

Таблица случайной величины ξ:									P
ξ	−3	−2	−1			1			P
ξ	−3	−2	−1			1
P	3	1	3			3		1

	10	10	10
	10	10	10			10
1) Рассчитаем Eξ:
Eξ = −3 ·	3	− 2 ·	1	−	3	3				= −	11
							+
	10		10		10		+		10		10

2) Рассчитаем Dξ:
									Eξ2 = 9 ·			3				1			3			3				37
														+ 4 ·				+				+				=
												10		+ 4 ·			10	+		10		+		10		=		10
									Dξ = Eξ2 − Eξ2 =										37			121				249
																					−				=
																			10		−		100		=		100
3) Рассчитаем Hξ:						+ 10			· log3 10!		= 1,1959 бит
Hξ = −		3 · 10		· log3 10		+ 10			· log3 10!		= 1,1959 бит
			3		3		1		1
4) Рассчитаем распределение η = ξ4:
supp ξ = {−3; −2; −1; 1}
supp η = {1; 16; 81}									3			3				6
P (η = 1) = P (ξ = −1) + P (ξ = 1) =											+				=
P (η = 1) = P (ξ = −1) + P (ξ = 1) =										10	+		10		=	10
							1
P (η = 16) = P (ξ = −2) =
P (η = 16) = P (ξ = −2) =								10
							3
P (η = 81) = P (ξ = −3) =
P (η = 81) = P (ξ = −3) =								10														P
											η	1				16			81			P
											η	1				16			81
											P	6				1			3			1

		06, y (−∞; 1]										10				10			10
												10				10			10

F	(y) =
F	(y) =
η			7
			7
			10, y		(1; 16]
			10, y		(1; 16]
				(81; +
		1, y		(81; +			)
			10, y		(16; 81]

					∞

11		249			□
Ответ: Eξ = −		; Dξ =		; Hξ = 1,1959 бит
	10		100

C, x [−1; 0]

Задание 2. Дана плотность распределения абс. непр. случайной величины ξ: p(x) = 2C, x [0; 3]

0, else

Вычислить C, Eξ, Dξ, Hξ распределение η = ξ2, построить графики функции распределения Fξ(x), Fη(y)

Решение. 1) Вычислим C:

		+∞
		Z	pξ(x) dx = 1
		−∞
−1	0		3	+∞
Z	0 dx + Z	C dx + Z 2C dx + Z			0 dx = 1
−∞	−1		0	3

C ·	dx + 2C · dx = 1
−1	0

0 3

C · x + 2C · x = 1

−1 0

7C = 1

1 C = 7

7, x [−1; 0]

Тогда: pξ(x) =

, x

[0; 3]

0, else

Найдём функцию

распределения F (x):

1) Fξ(x) =

pξ(x) dt =

0 dt = 0

−∞

· t

−1

x 1

2) Fξ(x) = −∞ pξ(x) dt = −∞

0 dt +

dt =

1 =

· (x + 1)

−R0

−

3) Fξ(x) = −∞ pξ(x) dt = −∞

0 dt +

dt + 0

· t

1 +

· t 0 =

· x =

· (2x + 1)

−R0

−

1 6

−

0 dt +

· t

· t 0 =

4) Fξ(x) = −∞ pξ(x) dt = −∞

7 dt + 0

7 dt + 3

0 dt

= 7

1 +

7 + 7 = 1

−R

−

Тогда функция распределения

(x)

0, x

(

;

−∞

−

(x + 1) , x

(

−

1; 0]

(x) =

(2x + 1) , x

(0; 3]

·x

(3; +

)

∞

График функции распределения F (x):

2) Рассчитаем Eξ:

1 x2

2 x2

18 17

Eξ = Z

xpξ(x) dx = Z

x ·

dx + Z

x ·

dx =

0 = −

−

3) Рассчитаем Dξ:

1 x3

2 x3

18 55

Eξ2 = Z

x2pξ(x) dx = Z

x2 ·

dx + Z

x2 ·

dx =

1 +

0 = −

−

Dξ = Eξ2

− Eξ2

289

673

−

196

588

4) Рассчитаем Hξ:

· log2 7 dx +

7 · log2

7 dx! = − −

−

Hξ = −R pξ(x) · log2 pξ(x) dx = −

log

6 log

! ≈ 1,95 бит

−R

= −

6 − 7 log2 7

5) Рассчитаем распределение η = ξ2:

supp ξ = [−1; 3] = [−1; 0] [0; 1] [1; 3]

supp η = [0; 9] = [0; 1] [1; 9]

1) η [0; 1]

g1(x) = x2; g−1

√

= [

−

1; 0]

(y) =

−

= [0; 1]

(x) = x2; g−1

(y) = √

pη(y) =

, η [0; 1]

2√

2) η [1; 9]

14p(y)

= [1; 3]

(x) = x2; g−1

(y) = √

pη(y) =

, η [1; 9]

2√

14√

Тогда pη(y):

pη(y) =

Найдём

√ , y [0; 1]

14 y

√ , y [1; 9]

14 y

0, else

функцию распределения Fη(y):

1) Fη(y) =

pη(y) dt =

0 dt = 0

−∞

3√

y 3

2) Fη(y) = −∞ pη(y) dt = −∞

0 dt + 0

14√

dt =

0 =

3√t

2√t

2√y + 1

3) Fη(y) = pη(y) dt = 0 dt +

dt +

dt =

−∞

0 14√t

14√y

3√t

2√t

3 6 2

4) Fη(y) = pη(y) dt = 0 dt +

dt +

dt + 0 dt

−

= 1

14√y

−∞

0 14√t

7 7

Тогда функция распределения Fη(y):

3√y

(

−∞

; 0]

0, y

, y

(0; 1]

(y) =

y + 1

√

)

1, y

(9; +

, y

(1; 9]

∞

функции распределения F

(y):

График

Смотрите на следующей странице!

17		673			□
Ответ: Eξ =		; Dξ =		; Hξ ≈ 1,95 бит
	14		588

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

#
23.06.2023200.08 Кб19идз1.pdf
#
23.06.2023293.12 Кб9идз2.pdf
#
23.06.2023469.29 Кб5идз3.pdf
#
23.06.2023580.85 Кб10идз4.pdf