идз1

Теория вероятностей и математическая статистика

Индивидуальное домашнее задание №1

Задание 1. Подбросили 5 игральных костей. Найти вероятность, что выпадут ровно 4 различных числа.

Решение. Пусть A – событие, что на костях выпало ровно 4 различных числа. Количество всех исходов будет равно: #Ω = 65.

Количество способов выбрать 4 числа из 6: C64.

Количество размещений с повторением 4 чисел на 5 костях: 45. Сюда входят исходы, в которых на всех костях будет 1 число, 2 различных числа и 3 различных числа. Эти исходы не считаются благоприятными.

Количество исходов, в которых на всех костях выпало ровно 1 число (например, наборы 1,1,1,1,1; 2,2,2,2,2 и т.д.): 4.

Количество исходов, в которых на всех костях выпало ровно 2 числа (например, наборы 1,1,1,1,2; 2,5,5,2,5 и т.д.): C42 · (25 − 2). Вычитаем 2, т.к. это исходы, когда на всех костях 1 число, они учтены в предыдущем случае.

Количество исходов, в которых на всех костях выпало ровно 3 числа (например, наборы 1,2,3,1,2;

2,3,3,3,1 и т.д.): C43 · 35 − C32 · (25 − 2) − 3 . Где C32 ·(25 −2) - число исходов, когда на всех костях выпало ровно 2 числа, 3 - число исходов, когда на всех костях выпало ровно 1 число. Эти исходы учтены в предыдущих случаях.

Тогда количество благоприятных исходов: #A = C64· 45 − 4 − C42 · (25 − 2) − C43 · 35 − C32 · (25 − 2) − 3 . Отсюда получаем, что вероятность наступления события A равна:

= 15 · (1020 − 6 · 30 − 4 · (240 − 3 · 30)) ≈ 0,4629 7776

Ответ: 0,4629

□

Задание 2. Прямые разбивают плоскость на равносторонние треугольники со стороной 12. Определить вероятность того, что монета диаметра 5, наугад брошенная на плоскость, не персечёт ни одной прямой.

Решение. Пусть A – событие, что монета не пересечёт прямую.

Монета не пересечёт прямую, в случае, если расстояние от центра монеты до стороны треугольника

5

больше радиуса монеты: R = 2 = 2,5. Таким образом, центр монеты должен попасть в треугольник, подобный первому, каждая точка которого лежит на расстоянии 2,5 от каждой стороны треугольника.

1

Площадь подобных треугольников относится как квадрат коэффицентов подобия. Сторона большого треугольника – 12.

Сторона маленького треугольника:

12 − 2 · x − 2 · z

Задание 3. Вероятность наличия k единиц некачественной продукции в партии 2500 ед. дана в таблице

Взято наугад 150 ед., среди которых одна некачественна. Определить вероятность того, что в исходной партии не более 2 некачественных.

2

Решение. Пусть A – событие, что в 150 ед. есть одна некачественная. H1 - в исходной партии 1 некачественная: PH1 = 0,1

H2 - в исходной партии 2 некачественных: PH2 = 0,3 H3 - в исходной партии 3 некачественных: PH3 = 0,2 H4 - в исходной партии 4 некачественных: PH4 = 0,1 H5 - в исходной партии 5 некачественных: PH5 = 0,3

Число способов взять 150 изделий из 2500: C2500150 Число способов из k некачественных взять 1: Ck1

Остальные 149 изделий качественные из 2500 − k: C149 −

2500 k

Т.к. посчитать такое большое число не представляется возможным, используем схему Бернулли и k

Задание 4. Чтобы наладить производство треубется заключить контракт на поставку товаров трёх типов. По 1-му типу товаров ведутся переговоры с 3-мя фирмами, по 2-му – с 3-мя и по 3-му

– с 4-мя. Вероятности заключить контракт с каждой фирмой по 1-му типу товара независимо от других 0,7; по 2-му типу – 0,4 и по 3-му – 0,4. Определить вероятность того, что производство будет налажено.

Решение. Пусть A – событие, что производство будет налажено. Вероятность не заключить контракт по 1-му типу товаров: 0,33 Тогда вероятность заключить контракт хотя бы с одной фирмой: 1 − 0,33 Вероятность не заключить контракт по 2-му типу товаров: 0,63

Тогда вероятность заключить контракт хотя бы с одной фирмой: 1 − 0,63 Вероятность не заключить контракт по 3-му типу товаров: 0,64 Тогда вероятность заключить контракт хотя бы с одной фирмой: 1 − 0,64 Т.к. события независимы, вероятность события A:

PA = (1 − 0,33) · (1 − 0,63) · (1 − 0,64) = 0,973 · 0,784 · 0,8704 ≈ 0,664

3

Задание 5. Вероятность успеха в схеме Бернулли равна 1/1000. Проводится 2000 испытаний. Написать точную формулу и вычислить приближённо вероятность того, что число успехов не превышает 3.

4