2. Вопросы для дискуссии

1. Что такое теория очередей? Какие компоненты присущи очереди?

2. Какие предположения делаются в моделях очередей, опи­санных во введении к этой главе?

3. Укажите наиболее важные операционные характеристики очереди.

4. Как связано время обслуживания и время появления заявок в одноканальной системе очереди?

5. Напишите о трех ситуациях, в которых правило FIFO не применимо для обслуживания в очереди.

6. Приведите примеры четырех ситуаций, в которых имеет место ограниченная (или конечная) длина очереди.

7. Какие компоненты характеризуют следующие системы оче­редей (объясните конфигурацию каждой):

а) парикмахерская;

б) автоматическая мойка машин;

в) автоматическая прачечная;

г) маленький бакалейный магазин.

8. Является ли появление пациентов в приемной врача подчи­няющимся случайному закону? Является ли случайным время приема? При каких обстоятельствах время приема может быть постоянным?

9. Как Вы думаете, распределение Пуассона, которое прини­малось для независимых появлений заявок, хорошо работает в перечисленных ниже системах очередей (обоснуйте вашу позицию в каждом случае):

а) кафетерий в вашем университете;

б) парикмахерская;

в) хозяйственный магазин;

г) приемная стоматолога;

д) аудитория университета;

е) кинотеатр.

2. Задачи и ответы

Задача 5.1 .ПК в1,11,21

Электронная компания ремонтирует сломанные машины, ко­торые поступают в среднем с l = 3 в день (согласно распределению Пуассона). Имеется возможность обслужить в среднем т = 8 ма­шин в день, время ремонта распределено согласно экспоненци­альному закону.

а) Каков коэффициент использования сервисной системы?

б) Чему равно среднее время ремонта сломанной машины?

в) Как много машин ожидают в очереди сервиса в некоторое установленное время?

г) Какова вероятность того, что больше чем одна машина находится в системе? Какова вероятность того, что более чем две машины сломались и ожидают ремонта или сервиса? А больше чем три? Больше чем четыре?

Ответ 5.1: а) .375;

б) 1.6ч;

в) .225.

Задача 5.2.ПК в2,12,22

Автоматическая мойка машин работает шесть дней в неделю, но самый тяжелый день для бизнеса – всегда суббота. Из про­шлых данных менеджер знает, что грязные автомобили прибыва­ют со скоростью 20 в час. Он считает, что с полностью работаю­щей моечной линией автомобили могут быть помыты со скорос­тью один каждые две минуты. Прибытия распределяются по закону Пуассона, а время обслуживания – по экспоненциальному закону. Найдите:

а) среднее число автомобилей в очереди;

б) среднее время ожидания автомобиля перед мойкой;

в) среднее время нахождения автомобиля в сервисной си­стеме;

г) коэффициент использования системы;

д) вероятность отсутствия автомобилей в системе;

е) оборудование полностью автоматической мойки позволяет вымыть один автомобиль каждую минуту с постоянным временем обслуживания. Как вы ответите на вопросы «а» и «б» при новой системе обслуживания?

Ответ 5.2: а) 1.33 автомобиля;

б) 4 мин (.067 ч);

в) 6 мин;

г) .6667;

д) –333;

е) .083 автомобиля, .0042 ч.

Задача 5.3.ПК в3,13,23

Менеджер управляет комплексом кинотеатров, называемых кинотеатры 1, 2, 3, 4. В каждом из четырех показывают разные фильмы, расписание сеансов построено так, чтобы время нача­ла сеансов не совпадало. Кинотеатр имеет одну билетную кассу, и кассир продает 280 билетов в час. Время обслуживания подчи­нено экспоненциальному распределению. Прибытия в нормаль­ный день подчинены закону Пуассона и появляются в среднем 210 в час.

Для определения эффективности существующей операционной системы продажи билетов менеджер определил ряд характе­ристик очереди.

а) Найти среднее число зрителей, ожидающих в очереди би­летов.

б) Какую часть времени кассир занят?

в) Какое среднее время посетитель находится в системе?

г) Каково время ожидания в очереди до того, как она подойдет к билетному окну?

д) Какова вероятность того, что больше чем два человека стоят в очереди? Больше чем три? Больше чем четыре?

Ответ 5.3: а) 2.25;

б) .75;

в) .857 мин;

г) .64 мин;

д) .42, .32, .24.

Задача 5.4.ПК в4,14,24

Университетский кафетерий построен на самообслуживании, когда студенты выбирают блюда, которые хотят, а затем встают в одну очередь платить кассиру. Студенты прибывают со скоростью около четырех человек в минуту согласно закону Пуассона. Один кассир тратит 12 секунд на человека в соответствии с экспоненци­альным распределением.

а) Какова вероятность того, что больше чем два студента на­ходятся в системе? Больше чем три студента? Больше чем четыре?

б) Какова вероятность того, что система пуста?

в) Какое время будет в среднем стоять студент в очереди, прежде чем дойдет до кассира?

г) Каково число студентов в очереди?

д) Каково число студентов в системе?

е) Если добавить второго кассира (который будет работать так же, как и первый), каковы будут операционные характеристики, посчитанные в пп. «б», «в», «г» и «д»? Студенты ждут в одной очереди, и первый обслуживается освободившимся кассиром.

Ответ 5.4: а) .512, .41, .328;

б) .20;

в) .80 мин;

г) 3.2;

д) 4;

е) Р₀ = .429; Wq = .0380 мин.; Lq = .1523; Ls =.9523.

Задача 5.5.ПК в5,15,25

Сезон уборки пшеницы короткий, и фермеры доставляют грузовиками пшеницу в гигантское центральное хранилище в течение двух недель. Вследствие этого грузовики с пшеницей ожидают разгрузки и возвращаются на поля после разгрузки. Центральное хранилище является кооперативной собственнос­тью, и каждый из фермеров заинтересован сделать процесс раз­грузки и хранения эффективным, насколько это возможно. Затра­ты на зерно увеличиваются при задержках разгрузки, и затраты на амортизацию грузовиков и оплату простоев водителям являются важными заботами членов кооператива.

Хотя фермерам трудно установить убыток урожая, но они определили затраты ожидания и разгрузки грузовика и затраты водителя $18 в час. Хранилище открыто и работает 16 часов в сутки и семь дней в неделю в течение двухнедельного сезона уборки. Заполненные грузовики поступают весь день (в течение часов, когда хранилище открыто) со скоростью около 30 машин в час согласно закону Пуассона.

Помогите кооперативу решить проблему уменьшения времени, которое грузовики ожидают в очереди или разгружаются в храни­лище, найдя:

а) среднее число грузовиков в разгрузочной системе;

б) среднее время на грузовик в системе;

в) коэффициент использования для разгрузочной системы;

г) вероятность того, что больше чем три грузовика находятся в cистеме в некоторый момент времени;

д) кооператив, как известно, использует хранилище только две недели в году. Фермеры думают, что, расширяя хранилище, снизят затраты разгрузки на 50 % в следующем году. Это будет стоить $9000. Является ли это решение приемлемым для коопе­ратива?

Ответ 5.5: а) 6 грузовиков;

б) 12 мин;

в) .857143;

г) .54;

д) да, является, $3096.

Задача 5.6.ПК в6,16,26

Магазин успешно торгует по каталогам, и клерк принимает заказы по телефону. Если он занимает линию, автоответчик пред­лагает клиенту подождать. Как только клерк освобождается, зака­зы, которые ждали дольше, обслуживаются первыми. Заказы при­ходят со скоростью около 12 в час. Клерк способен обслужить один заказ в среднем за четыре минуты. Звонки поступают по закону Пуассона, а время обслуживания подчинено экспоненци­альному закону.

Клерк получает $5 в час, но потеря продаж оценивается около $25 за час ожидания в очереди.

а) Какое среднее время должен ждать клиент в очереди, преж­де чем ему ответит и оформит заказ клерк?

б) Каково среднее число заказчиков в очереди?

в) Менеджер решил добавить второго клерка на оформление заказов. Его зарплата также $5 в час. Нужен ли второй клерк? Объясните свой вариант ответа.

Ответ 5.6: а) 16 мин.;

б) 3.20 заказов;

в) второй клерк определенно должен быть добавлен, экономия затрат составит $85 – $13.81 = $71.19 / ч.

Задача 5.7.ПК

Покупатели подходят к автомату, приготавливающему кофе, по правилу четыре человека в минуту согласно распределению Пуассона. Кофейный автомат выдает чашку кофе с постоянной скоростью раз в 10 секунд.

а) Какое среднее число людей ожидает в очереди?

б) Какое среднее число людей в системе?

в) Как долго человек ждет в очереди перед обслуживанием?

Ответ 5.7: а) .666;

б) 1.333;

в) 10 с.

Задача 5.8.ПК в7,17,27

Популярный салон стрижки и причесок недалеко от кампуса университета имеет четырех парикмахеров, которые работают полный день и обслуживают в среднем по 15 минут каждого клиента. Клиенты появляются весь день в среднем со скоростью 12 человек в час. Появление клиентов подчинено закону Пуассо­на, а время обслуживания распределено экспоненциально. От­ветьте на следующие вопросы:

а) Какова вероятность того, что салон-парикмахерская пуст?

б) Каково среднее число клиентов в салоне?

в) Какое время в среднем проводит клиент в салоне?

г) Какое время в среднем клиент ждет приглашения в кресло к мастеру?

д) Каково среднее число ожидающих обслуживания?

е) Каков коэффициент использования системы?

ж) Менеджер думает добавить пятого мастера. Как этот факт отразится на коэффициенте использования?

Ответ 5.7: а) .038;

б) 4.528;

в) 22.6 мин.;

г) 7.6 мин.;

д) 1.5282;

е) 96 %;

ж) 95%.

Задача 5.9.ПК

Администратор большого госпиталя решает проблему палаты неотложной помощи, куда поступают пациенты по различным правилам прибытия в течение дня. Имеются четыре врача, оказы­вающие пациентам необходимую помощь. Если это нужно, паци­енты могут пройти, например, лабораторные анализы, рентгено­скопию и т. д. Поскольку важным требованием является быстрота и эффективность лечения, администрация хочет, чтобы в среднем пациент ждал в очереди не более чем пять минут перед тем, как его осмотрит врач. Пациентов осматривает тот врач, который в данный момент свободен, по правилу «первый пришел, первый обслужен». Прибытия пациентов в обычный день следующие:

Время	Скорость прибытия
9 ч утра – 3 ч вечера	6 пациентов / ч
3 ч дня – 8 ч вечера	4 пациента / ч
8 ч вечера – ночь	12 пациентов / ч

Прибытия подчинены распределению Пуассона, время обслу­живания пациента (12 минут в среднем) подчинено экспоненци­альному закону.

Сколько врачей должно быть на дежурстве в каждый период, чтобы пациенты могли рассчитывать на хороший уровень обслу­живания?

Ответ 5.9: 3, 2 и 4 соответственно.

Задача 5.10.ПК

Один механик обслуживает пять сверлильных станков. Они ломаются в среднем один станок за каждые шесть дней работы, и поломки имеют тенденцию к распределению Пуассона. Механик может выполнить в среднем один ремонт в день. Время ремонта подчинено экспоненциальному распределению.

а) Какое количество станков в среднем ожидает ремонта?

б) Какое количество станков в среднем работает?

в) Каково будет время ожидания ремонта, если добавить вто­рого механика?

Ответ 5.10: а) .54;

б) 3.81;

в) .772 дня.

Задача 5.11.ПК в8,18,28

Два техника наблюдают за группой из пяти компьютеров, которая работает на автоматизированном производстве. В среднем 15 минут (экспоненциальное распределение) тратится на устранение возникающей проблемы с компьютером. Компьютеры рабо­тают в среднем 85 минут (распределение Пуассона) без возникно­вения проблем, устраняемых техником. Каково при этом:

а) среднее число компьютеров, ожидающих обслуживания;

б) среднее число обслуживаемых компьютеров;

в) среднее число неработающих компьютеров.

Ответ 5.11: а) .0.5;

б) .743;

в) .795.

Задача 5.12 в9,19,29

Магазин обслуживает приблизительно 300 человек, делаю­щих покупки между 9-ю утра и 17-ю часами дня в субботу. Для решения, сколько кассиров на узле расчета должно быть каждую субботу, владелец магазина принимает во внимание время ожида­ния в очереди (или затраты ожидания) и затраты сервиса от добавления числа кассиров. Кассир узла обслуживания получает в среднем $4 в час. Когда работает только один кассир, время в очереди покупателя составляет около 10 минут (или 1/6 ч); когда два кассира работают, среднее время уменьшается до 6 минут на человека; 4 минуты – когда три кассира; и 3 минуты – когда работают четыре кассира.

Владелец магазина проводит политику сервиса, удовлетворяю­щего покупателя, и оценивает, что магазин несет потери в $5 за каждый час времени, затраченный покупателем в очереди. Ис­пользуя данную информацию, определите оптимальное число кассиров каждую субботу, минимизирующее общие затраты мага­зина.

Ответ 5.12: opt число кассиров на узле расчета – 3; $196.