у
6
С
–3–2 А
Рис. 5.4
Из таблицы видно, что х1=хmin= –3, при этом уmin=f(xmin)=6, а х2=хmax= –1, при этом уmax=f(xmax)=2.
Отметим также, что функция убывает на промежутках (–∞, –3), (–1, +∞) и возрастает на промежутках (–3, –2), (–2, –1).
Для нахождения точек, подозрительных на перегиб, вычислим
′′ |
2 |
|
, она не равпа 0, тогда точек пе- |
|
вторую производную f (x) = |
(x+2)3 |
|||
региба нет. |
|
|
|
|
Заполним таблицу интервалов постоянной выпуклости: |
||||
|
|
|
|
|
х |
|
|
(–∞, –2) |
(–2, +∞) |
знак f″(x) |
|
|
+ |
– |
Направление выпуклости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы видно, что на промежутке (–∞, –2) кривая у=f(x) выпукла вниз, а на промежутке (–2, +∞) – выпукла вверх.
4. Строим график функции (рис. 5.4).
Упражнения
1. Найти производную с помощью правила Лопиталя:
а)
г)
lim sin Mx ; б) x→0arctgNx
1
lim (M +ex) Nx x→+∞
lim |
ln(1+ Mx3) |
; в) lim |
5Mx −1 |
; |
|
2tgNx |
Nx3 |
||||
x→0 |
x→0 |
|
30
Исследовать на монотонность и экстремум функции: а) y = tg(N + x) + M; б) y = Nx3 +(M +1)x−3;
в) y = Nx2 −log(M+2) (3x−N)
2. Исследовать на выпуклость и точки перегиба функции: а) y =sin(N + x) + M; б) y = Nx5 +(M +2)x3 +1;
в) y = Nx2 −ln(x+ N).
3. Исследуйте по схеме функцию и постройте ее график
y = (õ+ M)3 .
x4 − N2
31