Турищев Л.С. Строительная механика УМК Часть 1. Статически определимые системы, Новополоцк ПГУ 2005

где Aab – площадь линии влияния внутреннего усилия на участке нагружения. При пользовании формулой (3.15) знак Aab определяется по линии влияния, а знаки для интенсивности g принимаются согласно рис. 3.17, б.

Доказанное выше свойство прямолинейного участка линии влияния справедливо и для распределенной нагрузки как переменной, так и постоянной интенсивности.

Внешний момент (рис. 3.18, а). Пусть к конструкции приложен момент M1 на расстоянии a1 от левой опоры. Представим заданный момент в виде пары вертикальных сил с плечом dx . Ординаты линии влияния под

местами приложения заменяющих сил Mdx1 , соответственно, имеют значе-

ния s и s + ds . Тогда, применяя (3.13), получим следующую формулу для определения S :

где tgα1 – тангенс угла наклона касательной к линии влияния под местом приложения к конструкции момента M1 . При пользовании формулой (3.16) знаки для входящих в нее величин принимаются согласно рис. 3.18, б. Если в точке приложения момента на линии влияния имеется разрыв, то определяемое внутреннее усилие может иметь два значения, соответствующие расположению момента бесконечно близко слева и справа от точки разрыва.

Система внешних моментов (рис. 3.19). Пусть к конструкции приложена система моментов M i (i =1,..., n) на расстояниях ai от левой опоры.

71

S(M1…Mn)

Тангенсы углов наклона касательных к линии влияния под местами их приложения имеют значения tgαi . Исходя из принципа независимости действия сил и с учетом (3.16), получим следующую формулу для определения S :

i=1

Правила знаков при пользовании формулой (3.17) аналогичны введенным правилам для формулы (3.16).

В случае действия на конструкцию неподвижной нагрузки, включающей одновременно несколько видов, внутреннее усилие от ее действия, согласно принципу независимости действия сил, находится сложением внутренних усилий, найденных от действия каждого вида нагрузки отдельно.

3.4.2. Применение линии влияния к определению расчетных значений внутренних усилий от подвижных нагрузок

Определяя внутренние усилия согласно формулам (3.12) – (3.17) для произвольных положений подвижных нагрузок, можно получить функциональные зависимости этих усилий от абсциссы x .

Исследуя полученные зависимости приемами математического анализа разыскания наибольшего и наименьшего значений функции, можно найти опасные положения подвижных нагрузок. Однако разнообразие подвижных нагрузок, отсутствие общих закономерностей в очертаниях линий влияния не позволяют конкретизировать эти приемы для отыскания опасного положения подвижной нагрузки произвольного вида далее общей схемы исследования функций.

72

Поэтому рассмотрим применение линий влияния определенного очертания для отыскания опасных положений подвижных нагрузок конкретных видов, имеющихпрактическоезначениедлястатическогорасчетаконструкций.

Треугольная линия влияния. Такие очертания имеют линии влияния изгибающих моментов, а также линии влияния продольных сил, возникающих в поясах ряда ферм. Будем отыскивать опасные положения двухосной и многоосной подвижных нагрузок и определять расчетные значения внутреннего усилия S расч.

Сначала рассмотрим произвольное положение двухосной нагрузки с одинаковыми значениями сил P1 = P2 = P (рис. 3.20).

Рис. 3.20

При произвольном положении двухосной нагрузки (рис. 3.20, а) внутреннее усилие S согласно (3.13) описывается зависимостью

где s1 и s2 – переменные ординаты линии влияния под левым и правым гру-

зами подвижной нагрузки.

Из (3.18) очевидно, что усилие S принимает наибольшее значение, когда такое значение принимает сумма ординат s1 и s2 . Это достигается при

расположении подвижной нагрузки одним грузом над вершиной линии влияния, а вторым – над более пологим участком линии влияния. Такое положение двухосной нагрузки будет опасным (рис. 3.20, б) и ему соответствует следующее расчетное значение внутреннего усилия

Атеперь рассмотрим произвольное положение многоосной нагрузки

сразличными значениями сил Pi (i =1,..., n) . При произвольном положе-

нии такой нагрузки (рис. 3.21)

Порядок смены знаков зависит от направления движения нагрузки. Выполнение условий (3.22) возможно только при переходе одной из

сил через вершину линии влияния. Сила, для которой эти условия выполняются, называется критической, и при ее нахождении над вершиной по-

ложение подвижной нагрузки является опасным.

Применяя условия (3.22) к (3.21) и подставляя соотношения tgα = smaxa ; tgβ = smaxb ,

74

получим следующие аналитические признаки критической силы:

Здесь Rлев и Rпр – равнодействующие сил, расположенные слева и

справа от критической силы.

Расчетное значение внутреннего усилия с учетом свойства прямолинейного участка линии влияния определяется по формуле

S расч = Rлевsлев + Pкрsmax + Rпрsпр,

где sлев и sпр – ординаты линии влияния, соответственно, под равнодей-

ствующими сил, расположенных слева и справа от критической нагрузки.

Знакопеременная линия влияния произвольного очертания. Та-

кое очертание имеют линии влияния внутренних усилий многопролетных балок, как статически определимых, так и неопределимых. Будем разыскивать опасные положения временной вертикальной нагрузки и определять

соответствующие этим положениям внутренние усилия.

При произвольном положении временной нагрузки (рис. 3.22) внутреннее усилие S согласно (3.15) описывается зависимостью

стками линии влияния. Такому ее расположению соответствует наибольшее значение внутреннего усилия, которое определяется по формуле

Smax = q∑Ai+ .

i

75

3.4. Резюме

Расчет на действие подвижной нагрузки связан с определением ее опасных положений, при которых внутренние усилия принимают экстремальные значения.

Для линейно деформируемых систем отыскание опасных положений любых подвижных нагрузок основано на использовании линии влияния.

Линией влияния некоторой величины, возникающей в определенном месте конструкции, называется график, описывающий изменение этой величины в зависимости от положения движущегося по конструкции вертикального сосредоточенного единичного груза.

Существует два способа построения линий влияния – статический и кинематический.

Линии влияния можно применять для определения внутренних усилий от неподвижных нагрузок.

3.5. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

–подвижная нагрузка;

–временная нагрузка;

–опасное положение подвижной нагрузки;

–линия влияния;

–ордината линии влияния;

–способы построения линий влияния;

–определение по линиям влияния внутренних усилий от различных видов неподвижной нагрузки;

–определение по линиям влияния внутренних усилий от различных видов подвижной нагрузки;

–размерность ординат линий влияния.

Проверьте, как Вы умеете для статически определимых стержневых конструкций:

–строить линии влияния M, Q статическим способом;

–строить линии влияния M, Q кинематическим способом;

–определять по линиям влияния внутренние усилия от неподвижной нагрузки;

–определять по линиям влияния внутренние усилия от подвижной нагрузки.

77

М-4. РАСЧЕТПЛОСКИХСТАТИЧЕСКИОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ

4.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются:

−рассмотрение понятия фермы и ее расчетной схемы;

−изучение методов определения внутренних усилий в фермах от неподвижной нагрузки;

−рассмотрение особенностей построения линий влияния внутренних усилий простых ферм статическим методом;

−изучение закономерностей распределения продольных сил в простых фермах.

Структура изучаемого модуля включает следующие учебные элементы:

1.Отличительные особенности фермы.

2.Определение внутренних усилий в простых и сложных фермах от неподвижной нагрузки.

3.Аналитическое определение внутренних усилий в составных фермах от неподвижной нагрузки.

4.Построение линий влияния внутренних усилий в стержнях простых ферм.

5.Анализ распределения продольных сил в стержнях простых ферм. При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле-

дующей литературы: [1, c. 145 – 177]; [3, c. 120 – 191]; [4, c. 97 – 102, 139 – 141]; [5, c. 104 – 110, 117 – 121, 127 – 129].

4.1.Отличительные особенности фермы

4.1.1.Понятие о ферме и ее расчетной схеме

Одной из распространенных стержневых конструкций, которая применяется при возведении промышленных и общественных зданий, являет-

78

ся ферма. Такие конструкции могут быть железобетонными, металлическими, деревянными и металлодеревянными.

Реальная ферма представляет собой геометрически неизменяемую стержневую конструкцию с жестким соединением прямолинейных стержней в узлах. Особенностью фермы является то, что она остается геометрически неизменяемой при условной замене жестких узлов шарнирами (рис. 4.1). У рамных и других реальных стержневых конструкций такой особенности нет.

такой замены. Теоретическое обоснование замены жестких узлов шарнирами и пределы ее применимости будут рассмотрены позже при изучении методов расчета статически неопределимых стержневых систем.

При дальнейшем изложении фермой будет называться геометрически неизменяемая шарнирно стержневая система, все стержни которой соединяются шарнирами по концам (рис. 4.2, а).

Рис. 4.2

В случае несоблюдения этого условия и соединения стержней с помощью шарниров в промежуточных сечениях (рис. 4.2, б) шарнирно стержневая система не является фермой, а относится к комбинированным системам.

4.1.2. Особенности работы фермы при узловой нагрузке

При расчете ферм возможно узловое и внеузловое приложение нагрузки. В первом случае действующая нагрузка представляет собой систему сосредоточенных сил, приложенных к узлам фермы. Во втором случае

79

действующая нагрузка может прикладываться к стержням фермы в произвольных сечениях.

При узловой нагрузке в прямолинейных стержнях фермы не возникают изгибающие моменты и поперечные силы, а продольные силы постоянны по длине каждого стержня. Обоснуем такую особенность работы на примере фермы, показанной на рис. 4.3, а.

Рис. 4.3

Вырежем прямолинейный стержень, примыкающий к узлам m и n двумя бесконечно близкими от них сечениями, и рассмотрим его равновесие (рис. 4.3, б). Поскольку главные моменты внутренних сил в концевых сечениях стержня тождественно равны нулю, то из условия равновесия стержня получим, что главные векторы внутренних сил равны по величине Rm = Rn = R и направлены вдоль оси стержня в противоположные стороны. Отсюда следует, что во всех сечениях стержня M и Q тождественно равны нулю, а продольная сила N постоянна по длине стержня.

Рассуждая аналогично, можно показать, что изгибающие моменты и поперечные силы в случае прямолинейного стержня ij с внеузловой нагрузкой (рис. 4.3, в) или криволинейного стержня km (рис. 4.3, г) не равны нулю, а продольные силы переменны по их длине.

4.1.3. Терминология и система обозначений

При расчете ферм используется специальная терминология и система обозначений. Их применение также относится к числу отличительных особенностей фермы.

80