Турищев Л.С. Строительная механика УМК Часть 1. Статически определимые системы, Новополоцк ПГУ 2005

тремя независимыми перемещениями. После его присоединения к «земле» с помощью шарнирно подвижной опоры число таких перемещений уменьшается на единицу, так как опора допускает вращение вокруг некоторой оси и поступательное перемещение параллельно определенной прямой. Поэтому положение присоединенного к «земле» диска характеризуется одним линейным и одним угловым перемещениями.

Таким образом, шарнирно подвижная опора эквивалентна одной кинематической связи и может изображаться в виде стержня (рис. 1.10, а).

Ось такого стержня направлена перпендикулярно к допускаемому опорой поступательному перемещению.

а) б)

в) г)

Рис. 1.10

Цилиндрическая шарнирно неподвижная опора уничтожает две степени свободы. В дальнейшем для краткости такую опору будем называть шарнирно неподвижной. После присоединения диска к «земле» с помощью шарнирно неподвижной опоры число таких перемещений уменьшается на две единицы, так как такая опора допускает только вращение вокруг некоторой оси. Поэтому положение присоединенного к «земле» диска характеризуется одним угловым перемещением.

Таким образом, шарнирно неподвижная опора эквивалентна двум кинематическим связям и может изображаться в виде двух стержней

(рис. 1.10, б).

Подвижная защемляющая опора уничтожает две степени свободы. После присоединения диска к «земле» с помощью подвижной защемляющей опоры число таких перемещений уменьшается на две единицы, так как такая опора допускает только поступательное перемещение параллель-

31

но определенной прямой. Поэтому положение присоединенного к «земле» диска характеризуется одним линейным перемещением.

Таким образом, подвижная защемляющая опора эквивалентна двум кинематическим связям и может изображаться в виде двух параллельных стержней перпендикулярно к допускаемому опорой поступательному перемещению (рис. 1.10, в). Расстояние между стержнями считается бесконечно малой величиной.

Неподвижная защемляющая опора уничтожает три степени сво-

боды, так как она не допускает никаких перемещений диска после присоединения к «земле». Неподвижная защемляющая опора эквивалентна трем кинематическим связям и может изображаться в виде сочетания шарнирно подвижной и шарнирно неподвижной опор, расстояние между которыми считается бесконечно малой величиной (рис. 1.10, г).

1.4.6. Подсчет числа степеней свободы для плоских стержневых конструкций

Для подсчета числа степеней свободы конструкция представляется в виде кинематической цепи – совокупности дисков и узлов с наложенными на них внутренними и внешними связями. Внешние связи представляются в эквивалентном стержневом изображении.

Кинематическая цепь состоит из элементов, приносящих степени свободы (диски, узлы) и уничтожающих их (шарниры, стержни, опорные стержни). С учетом числа степеней свободы, приносимых и уничтожаемых соответствующими элементами цепи, формула для подсчета числа степеней свободы плоской стержневой конструкции в общем случае имеет вид

Здесь Д – число дисков, У – число узлов, Ш – число шарниров, С – число стержней внутри цепи, Со – число опорных стержней.

Определение числа шарниров производится с учетом их кратности. Шарнир считается кратным, если он соединяет более двух дисков. Степень кратноститакогошарниранаединицуменьшечисласоединяемыхдисков(рис. 1.11).

Подсчет числа степеней свободы по формуле (1.1) не зависит от способа образования кинематической цепи и может приводить к следующим результатам:

W> 0, W ≤ 0 .

Вслучае W > 0 система является геометрически изменяемой, так как число степеней свободы, приносимых элементами цепи, превышает число

32

степеней свободы, выключаемых кинематическими связями. Условие геометрической изменяемости W > 0 является необходимым и достаточным.

В случае W ≤ 0 система является геометрически неизменяемой, так как число степеней свободы, уничтоженных кинематическими связями, превышает число степеней свободы, приносимых элементами цепи. Однако условие геометрической неизменяемости W ≤ 0 является необходимым, но не достаточным. Покажем это на частном примере.

Для систем, показанных на рис. 1.12, число W = 0 и, следовательно, их все можно считать геометрически неизменяемыми системами. Однако в случае, показанном на рис. 1.12, а, система действительно геометрически неизменяемая, а в двух других случаях (рис. 1.12, б, в) системы геометрически изменяемые, с мгновенной и конечной изменяемостью соответственно. Причиной является неправильное или дефектное присоединение балки к основанию опорными стержнями, приводящее к возникновению перемещений балки относительно основания.

Рассмотренные примеры подтверждают недостаточность подсчета числа степеней свободы для правильного заключения о кинематических свойствах конструкции при выполнении условия W ≤ 0 . Поэтому подсчет числа степеней свободы в этих случаях дополняется анализом геометрической структуры конструкции.

1.4.7. Анализ геометрической структуры плоских стержневых конструкций

Анализ геометрической структуры конструкции заключается в последовательном рассмотрении схем соединения кинематическими связями дисков и узлов кинематической цепи конструкции между собой и с основанием. Целью такого рассмотрения является поиск схем соединения, при-

33

водящих к возникновению мгновенного центра скоростей для системы в целом или для отдельных ее частей. В случае обнаружения таких схем соединения делается вывод о геометрической изменяемости стержневой конструкции, несмотря на полученный результат подсчета числа степеней свободы W ≤ 0 . Поэтому для проведения анализа геометрической структуры нужно иметь некоторые исходные схемы соединения, приводящие или не приводящие к появлению мгновенного центра скоростей.

Основныесхемысоединенияэлементовкинематическойцепимеждусобой

Два диска, соединенные между собой тремя непараллельными и не пересекающимисяводнойточкестержнями, образуютединыйдиск(рис. 1.13, а).

Рис. 1.13

Неправильное расположение стержней между дисками, приводящее к возникновению мгновенного центра, показано на рис. 1.13, б, в.

Три диска, соединенные между собой тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой, образуют единый диск (рис. 1.14, а).

Неправильное расположение шарниров между дисками, приводящее к возникновению мгновенного центра, показано на рис. 1.14, б.

Два диска, соединенные между собой при помощи шарнира и стержня, ось которого не проходит через центр шарнира, образуют единый диск

(рис. 1.15, а).

Неправильное расположение связей между дисками, приводящее к возникновению мгновенного центра, показано на рис. 1.15, б.

34

Узел, присоединенный к дис- а) б) ку с помощью двух стержней, не лежащими на одной прямой, образуют единый диск (рис. 1.16, а).

Основные схемы присоединения элементов кинематической цепи к основанию

Диск, присоединенный к основанию с помощью неподвижной защемляющей опоры, образует с ним единый диск.

Диск, присоединенный к основанию с помощью шарнирно неподвижной и шарнирно подвижной опор, образует с ним единый диск (рис. 1.17, а). Такое присоединение диска к основанию называется балочной схемой опирания, и оно эквивалентно соединению двух дисков с помощью трех стержней, непараллельных и не пересекающихся в одной точке. Неправильное расположение опор, приводящее к образованию мгновенно изменяемой системы, показано на рис. 17, б.

Два диска, соединенные шарниром и присоединенные к основанию с помощью двух шарнирно неподвижных опор, образуют с ним единый диск

(рис. 1.18, а).

Такое присоединение двух дисков к основанию называется трехшарнирной схемой опирания, и оно эквивалентно соединению трех дисков с помощью трех шарниров, не лежащих на одной прямой. Неправильное взаимное расположение шарнира и опор, приводящее к образованию мгновенно изменяемой системы, показано на рис. 1.18, б.

35

1.4.8. Порядок установления кинематических и статических признаков конструкции

Для установления кинематических и статических признаков плоской стержневой конструкции необходимо:

−изобразить расчетную схему конструкции в виде кинематической цепи;

−подсчитать число дисков Д, число узлов У, число шарниров Ш,

число стержней внутри цепи С, число опорных стержней Со;

−подсчитать число степеней свободы кинематической цепи W;

−если W > 0, сделать вывод о геометрической изменяемости и статической противоречивости конструкции;

−если W ≤ 0 , провестианализгеометрическойструктурыконструкции;

−сделать вывод о кинематических и статических свойствах конструкции с учетом результатов анализа геометрической структуры конструкции.

1.5. ЭВМ и матрицы в задачах строительной механики

Середина XX столетия ознаменовалась появлением электронных вычислительных машин, оказавших серьезное влияние на развитие многих областей науки и техники. Претерпела и продолжает претерпевать такие изменения и строительная механика. Вычислительные машины значительно облегчили расчеты сложных конструкций. С успехом решен ряд задач строительной механики, достаточно надежное решение которых до появления ЭВМ было практически невыполнимым.

Условно в истории развития строительной механики можно выделить два периода – до и после появления компьютеров. Постоянно увеличивающиеся вычислительные возможности современных ЭВМ, мощные программные продукты и их «дружественный» интерфейс снимают практически все ограничения на сложность решаемых задач строительной механики, связанных с расчетами сооружений на прочность, жесткость и устойчивость.

1.5.1.Особенности развития строительной механики, связанные

сиспользованием в расчетах ЭВМ

Появление ЭВМ принципиально изменило положение границ областей рационального применения классических методов строительной механики. Если совсем недавно считался трудновыполнимым статический расчет конструкций, связанный с определением более десяти совместных

36

неизвестных величин, то сейчас рассчитываются системы со многими сотнями и тысячами таких неизвестных. Классические методы строительной механики, применявшиеся лишь к стержневым системам, с успехом стали применяться при расчете конструкций, в состав которых входят не только стержни, но и тонкостенные элементы – пластины и оболочки.

Возрос интерес к нелинейным задачам строительной механики. На- пряженно-деформированное состояние конструкций стало рассматриваться как физический процесс. Появились методы расчета конструкций, описывающие их поведение в различные периоды существования.

Для гибких конструкций был осуществлен переход от расчета по заданному недеформированному состоянию к расчету по деформированному состоянию. Введение в расчет нелинейных соотношений между деформациями и перемещениями позволило учесть влияние изменения формы и размеров конструкции на ее напряженно-деформированное состояние.

Для жестких конструкций, в которых возможно возникновение неупругих деформаций, появились методы расчета, основанные на замене закона Гука нелинейными зависимостями между напряжениями и деформациями. Это позволило получать параметры напряженно-деформиро- ванного состояния конструкции на всех этапах нагружения, включая и этап разрушения.

Наряду с решением задач, позволявшим более глубоко анализировать напряженно-деформированное состояние конструкций, существенное разрешение получили проблемы оптимального проектирования конструкций. Был решен ряд задач, связанных с оптимизацией действующих нагрузок на конструкцию, ее физических параметров и конфигурации. Без ЭВМ решение таких задач было трудно довести до практического применения.

Появление ЭВМ способствовало развитию методов расчета строительных конструкций на надежность. В основе таких методов лежит вероятностный подход к оценке прочности, устойчивости и жесткости конструкций. Был решен ряд задач, посвященных анализу напряженно-дефор- мированного состояния различных конструкций с учетом случайного характера внешних воздействий и случайной природы физических и геометрических параметров этих конструкций.

1.5.2. Матричная форма расчетов в строительной механике

С появлением вычислительных машин существенно изменилась и форма расчетов конструкций. Наиболее приспособленной к применению ЭВМ оказалась матричная форма расчетов конструкций. Такая форма об-

37

ладает двумя серьезными достоинствами. С одной стороны, расчет, представленный в такой форме, легко программируется. С другой стороны, эта форма удобна для выполнения вычислений на компьютере.

Матричная форма позволяет разбивать весь расчет на две, резко отличные одна от другой части.

В первой рассматриваются и решаются вопросы строительной механики – выбор метода расчета, формирование массивов исходных данных, построение алгоритма расчета, позволяющего получать массивы искомых результатов.

Во второй части сосредоточена вся вычислительная работа, выполняемая в соответствии с алгоритмом расчета.

Матричная форма расчета обеспечивает компактность записи математических соотношений, связанных с расчетом конструкций, простоту выполнения промежуточных преобразований. Расчет конструкций, представленный в такой форме, легко обозрим независимо от степени сложности рассчитываемой конструкции.

С помощью матриц при расчетах строительных конструкций задаются массивы чисел, которые упорядоченно описывают внешние воздействия, геометрические и физические параметры конструкции и описываются полученные величины, характеризующие ее напряженно-деформиро- ванное состояние. При матричной форме расчетов конструкций используются следующие разновидности матриц:

Прямоугольная матрица с размерами m ×n

Первый индекс элементов определяет номер строки, второй – номер столбца матрицы. Если в матрице число столбцов n =1, то она приобретает вид

a1

а= aM2

am

иназывается матрицей-столбцом или вектором. Второй индекс у элементов в этом случае опускается.

38

Особую роль в расчетах строительных конструкций играет квадратная матрица n -ного порядка, являющаяся частным случаем прямоуголь-

например, матрицы коэффициентов канонических уравнений методов сил и методов перемещений, применяемых при статическом расчете конструкций.

Существенное значение для квадратной матрицы играет величина определителя. Если ее определитель равен нулю, то матрица называется особенной или вырожденной. В противном случае она называется не особенной.

Если у квадратной матрицы все элементы, кроме диагональных, равны нулю aij = 0 (i ≠ j; i, j =1,..., n) , то она называется диагональной.

Если в диагональной матрице все элементы положить равными единице aii =1 ( i =1,..., n) , то такая матрица называется единичной и обычно

обозначается буквой E

Квадратная матрица, у которой все элементы aij ≡ 0 (i, j =1,..., n) , на-

зывается нулевой. Единичная и нулевая матрицы играют в матричной форме расчетов конструкций такую же роль, какую играют единица и нуль в обычной скалярной форме таких расчетов.

Над матрицами, встречающимися при расчетах строительных конструкций, в соответствии с алгоритмами таких расчетов производят определенные операции: сложение, вычитание, перемножение, обращение, возведение в степень, образование функций от матриц и другие операции. Выполнение этих операций и их физический смысл, который они приобретают в задачах строительной механики, будут показаны при рассмотрении конкретных методов расчета конструкций.

1.6. Резюме

Конструктивные элементы жилых, общественных и промышленных зданий, прежде всего, выполняют две функции – ограждающую и несущую.

39

Конструктивные элементы, выполняющие несущую функцию и обеспечивающие безопасное восприятие зданиями внешних воздействий, называются несущими конструкциями.

Для того чтобы здание могло после возведения длительное время надежно функционировать, его несущие конструкции должны обладать тремя свойствами – прочностью, устойчивостью и жесткостью.

Разработкой принципов и методов расчета конструкций на прочность, устойчивость и жесткость занимается строительная механика.

Совокупность схематизированных описаний геометрической формы, материала и внешних воздействий реальной конструкции, используемых при ее расчете, образует расчетную модель конструкции.

Расчетная модель конструкции, у которой между нагрузкой и вызываемыми ею перемещениями, а также внутренними усилиями принимается прямая пропорциональнаязависимость, называетсялинейнодеформируемойсистемой.

Нелинейно деформируемой системой называется расчетная модель конструкции, у которой между нагрузкой и вызываемыми ею перемещениями принимается нелинейная зависимость.

По статическим признакам расчетные схемы конструкций подразделяются на статически определимые, статически неопределимые и статически противоречивые системы.

По кинематическим признакам расчетные схемы конструкций подразделяются на геометрически неизменяемые и геометрически изменяемые системы.

Кинематические признаки по сравнению со статическими признаками расчетных схем являются более глубокими. На их основании могут устанавливаться и статические признаки расчетных схем.

Появление ЭВМ практически сняло все ограничения на сложность решаемых задач строительной механики, связанных с расчетами сооружений на прочность, жесткость и устойчивость.

1.7. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

–строительная механика;

–цели расчета сооружений;

–основная задача строительной механики;

–несущая система;

–несущая конструкция;

40