1 Найти |
lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x−x2 |
|
||||
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет №1. |
|||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
e |
|
по целым положительным |
|
|
Написать разложение функции |
|
= |
|
|
||||||||||||||||
|
степеням x до членов 2 порядка с остаточным членом в форме Лагранжа. |
||||||||||||||||||||
3. |
Найти интеграл ∫ |
(x +2x ln x)dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 + x2 ln x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет №2. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Найти |
lim |
|
1+ x |
1−3x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1+ |
2x − |
1− x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Написать три члена разложения функции f (x) = esin x по формуле Тейлора
вточке a=π/2 с остаточным членом в форме Пеано.
3.Найти интеграл ∫x2 sin xdx.
Билет №3.
1. Найти lim |
3 |
27 + x |
−3 |
|
27 |
− x |
|
. |
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x +2 |
|
x |
4 |
|
|
||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Написать два члена разложения функции f (x) = xx по формуле Тейлора
вточке а=1 с остаточным членом в форме Лагранжа..
3.Найти интеграл ∫(x2 +3)ex dx.
Билет №4.
ln sin x
1. Найти lim 2 x→π (3x−π −1)2
2.Бак с квадратным основанием должен вмещать Т литров. Каковы должны быть его размеры, при которых внутренняя поверхность (без крышки) была бы наименьшей?
3.Найти интеграл ∫arcsin 3xdx.
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет №5. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Найти lim |
1+2sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
ln(1+2tg3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Написать разложение функции f (x) = ln(cos x) по целым положительным |
|||||||||||||||||
3. |
Исследовать асимптотическое поведение функции |
= ∙ . |
||||||||||||||||
|
степеням |
x до членов 4 порядка с остаточным членом в форме Пеано. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет №6. |
|
|
||||||||
1. |
Найти lim |
|
ln(1 +2x − 3x2 + 4x3 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
ln(1 − x +2x2 − 7x3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
Исследовать непрерывность функции f (x) = |
2 |
|
x −1 |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − x4 |
|
|
||||||
3. |
Исследовать на экстремум функцию y = |
x4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
x3 −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет №7.
1. Найти lim |
π |
|
|||
tg2x tg |
|
− x . |
|||
4 |
|||||
x→ |
π |
|
|
||
4 |
|
|
|
2. Составить уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0 . y = arcctg 12+xx , x0 =1 .
3. Найти интеграл ∫х arctgxdx.
|
|
sin( |
x − π / 6) . |
Билет №8. |
|
||||||
1. |
Найти lim |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→π/6 |
|
3 −2 cos x |
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Исследовать непрерывность функции |
f (x) = |
|
|
sin x |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
sin x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти интеграл ∫ |
. |
|
|
|
|
|
||||
cos x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет №9.
1. Найти lim 1 + sin x −1 . x→0 ln(1 + 2tg2x)
2.Написать разложение функции f (x) = ln(1+sin x) по целым положительным степеням x до членов 4 порядка с остаточным членом в форме Пеано.
3.Найти интеграл ∫x3 ln2 xdx.
Билет №10.
1. Найти lim |
ln(1 +2x − 3x2 + 4x3 ) |
. |
|
||
x→0 |
ln(1 − x +2x2 − 7x3 ) |
2.Исследовать непрерывность функции f (x) = x22x−−x14 .
3.Найти интеграл ∫ex sin2 xdx.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет №11. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|||||
1. |
Найти lim |
|
1+2x |
1+3x |
= , = |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Найти интеграл2 |
∫arcsin x dx . |
|
|||||||||||||
|
x→0 |
2 |
|
e |
|
−1 |
|
|
||||||||
2. |
Найти и |
функции, заданной параметрически |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
Билет №12.
1.Найти все значения корня 32 +3i
2.Найти limπ (tgx)cos x .
x→ 2
3. Найти интеграл ∫1 + 4 x dx
2. |
( ) = ln(1 + ) с ( ) |
= |
− 0.5 |
|
|
Билет №13. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
, → 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Сравнить бесконечно малые: |
(x →1) |
|
α (х)= ln x, β (x)=1− |
x |
|
и |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычислить производную второго порядка от неявно заданной функции y( x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
y'' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
3 |
+ y |
3 |
= a |
3 |
|
|
, |
|
|
= |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти интеграл ∫ln(x 2 +1)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. |
Найти |
|
|
lim ln x ln(1 − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет №14. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln(1 + |
) |
||||||||||||||||||||
3. |
Найти интеграл |
|
∫2+3√ +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→1−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
||||
2. |
Найти направления выпуклости и точки перегиба графика функции |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tgx −sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет №15. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. |
Найти lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти вторую производную функции, заданной параметрически |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = arcsin t, |
|
y = |
|
|
1 − t2 |
|
, |
|
|
y'' |
= |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos x |
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
Найти интеграл ∫ |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Найти lim ex sin x − x − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Билет №16. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
( > 0) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
> ln 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
Доказать неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3. |
Найти интеграл |
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 − x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет №17. |
|
|
|
|
|
|||
1. |
Найти lim |
|
ex −cos x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
(x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
ln(1 |
+ x) |
−sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(спираль Архимеда ( ( )- полярные координаты). |
|
|||||||||||||
2.Найти и 2 , если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Найти интеграл |
|
|
|
|
|
+3)sin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+5х |
|
|
|
|
|
|
Билет №18. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −х−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. |
Найти |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ х2 +2x−15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Составить уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке
сабсциссой x0 : y = cos 32 ( 4π+xx ), x0 = 2 .
3.Найти интеграл ∫x ln2 xdx
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Вариант №19. |
|
1. |
Найти |
2x +1 |
|
|
|
|
|||||
sin πx |
|
||||||||||
limx→1 |
3x |
|
2−0.01 , используя понятие дифференциала. |
||||||||
|
|
|
|
5 |
|||||||
2. |
Найти приближенно |
||||||||||
3. |
Найти интегралы: ∫ |
|
2+03.01 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x cos2 x dx |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Билет №20. |
|
1. |
Найти lim |
( |
|
2n3 |
|
|
+1 −5n2 ). |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n → ∞ 2n2 +3 |
5n +1 |
||||||||
2. Разложить многочлен |
P(x) = x5 − 2x4 + x3 − x2 + 2x −1по степеням x −1. |
3. Найти интеграл ∫exdx−1.
1 Найти |
lim |
. |
|
→0 |
Билет №21. |
|
|
2. Написать разложение функции f (x) = e2 x−x2 по целым положительным степеням x до членов 2 порядка с остаточным членом в форме Лагранжа.
3. Найти интеграл ∫ |
(x +2x ln x)dx |
|
|
. |
|
2 + x2 ln x |